- •Практикум
- •Занятие 7.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Занятие №9.
- •Правило Лопиталя.
- •Производная функции, заданной параметрически.
- •Примеры
- •Как определять интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Перечень вариантов домашней контрольной работы по теме «Исследование функций и построение их графиков»
- •Список литературы
- •Скворцова Мария Ивановна Мудракова Ольга Александровна Кротов Герман Сергеевич
Примеры
Найти экстремумы и интервалы возрастания (убывания) функции .
Найдём . Тогдапри. Нанесём эти точки на числовую ось и укажем сверху знакив каждом из полученных интервалов. Внизу, под осью, укажем при помощи наклонных стрелочек характер поведения функции: убывание или возрастание функции. Затем, под критическими точкамиукажем, какими точками они являются — максимума или минимума (используя правило, данное выше).
-
x
-1
0
Y'
—
0
+
0
—
0
+
y
Т. мин.
Т. макс.
Т. мин.
Найти экстремумы и интервалы возрастания (убывания) функции .
Найдём . Тогдапри. Имеем:
-
x
0
y'
—
∞
+
y
Т. мин.
Определение. График функции называетсявыпуклым (вогнутым) на , если он расположен ниже (выше) касательной, проведённой в каждой точке; точкаграфика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называетсяточкой перегиба.
Определение. Точка , в которойопределена, но либо, либо, илине существует, называетсякритической точкой 2-го рода.
Как определять интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции:
1) Найти ;2) определить критические точки 2-го рода для ;3) нанести эти точки, а также точки разрыва функции, на числовую ось;4) определить знак в каждом из интервалов, на которые эти точки разбивают числовую ось.
Если , то график функциивыпуклый (вогнутый) на этом интервале. Еслине меняет знак, то в вышеуказанной точке нет перегиба графика функции.
Пример
Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции .
Найдём, а затем и. Тогдапри. Укажем знакина каждом из интервалов, на которые разбивают числовую ось эти точки. Внизу, под осью, укажем особенности графика — выпуклый он или вогнутый при помощи условных знаков и , соответственно.
-
x
0
1
3
y'’
+
0
+
0
—
0
+
y
Нет пере-гиба
Т. пере-гиба
Т. пере-гиба
Определение. Асимптота графика функции — это прямая, такая, что расстояние от переменной точкина графике до прямой стремиться к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат.
Определение. Прямая называетсявертикальной асимптотой, если
(т.е. — точка разрыва 2-го рода).
Определение. Прямая , где,называетсянаклонной асимптотой. В случае, если , соответствующая прямая называетсягоризонтальной асимптотой.
Пример
Найти асимптоты графика функции а) ; б).
а) Так как — точка разрыва 2-го рода, то— вертикальная асимптота графика.
Найдём теперь асимптоты вида . Определими:
; .
Получаем уравнение наклонной асимптоты: .
б) Вертикальных асимптот у графика нет, так как функция всюду непрерывна. Найдём теперь наклонные асимптоты вида, рассматривая отдельно случаи,.
Так как при , то наклонной асимптоты принет. При,. Таким образом, уравнение наклонной (горизонтальной) асимптоты при:. Заметим, что для вычисления пределамы использовали правило Лопиталя.