- •Практикум
- •Занятие 7.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Занятие №9.
- •Правило Лопиталя.
- •Производная функции, заданной параметрически.
- •Примеры
- •Как определять интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Перечень вариантов домашней контрольной работы по теме «Исследование функций и построение их графиков»
- •Список литературы
- •Скворцова Мария Ивановна Мудракова Ольга Александровна Кротов Герман Сергеевич
Задачи для самостоятельного решения
Найти интервалы возрастания, убывания функции и экстремумы
а) ;б) ;в) .
Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции:
а) ;б) ;в) .
Найти асимптоты графика функции:
а) ;б) ;в) .
Ответы
а) Функция возрастает при, убывает при;— точка минимума.
б) Функция возрастает при, убывает при;— точка минимума;— точка разрыва.
в) Функция возрастает при, убывает при;— точка максимума,— точка минимума.
2) а) График функции выпуклый при, вогнутый при;— точка перегиба.
б) График функции выпуклый при, вогнутый при;— точки перегиба.
в) График функции выпуклый при, вогнутый при;— точка перегиба.
3) а) ; б); в).
Занятие №12
Общая схема исследования функций и построения их графиков
Исследование функций и построение их графиков следует проводить по следующему плану:
Найти область определения функции; указать точки разрыва;
Определить чётность (нечётность), периодичность функции;
Найти интервалы возрастания (убывания) функции и её экстремумы;
Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции;
Найти асимптоты графика функции;
Найти точки пересечения графика с осями координат;
Построить график по результатам этого исследования.
Примеры
Исследовать функцию и построить её график.
1) Область определения функции: ;— точка разрыва 2-го рода;
2) функция не является ни чётной, ни нечётной (так как не выполняются равенства для всехиз области определения функции); функция не является периодической;
3) найдём .
Имеем: при;при. Получаем следующее распределение знаков, по которому мы определяем, на каких интервалах функциявозрастает, а на каких — убывает:
-
x
0
y'
—
0
+
∞
—
y
Точка минимума
Точка разрыва
Так как знак при переходе через точкуизменяется с «—» на «+», то в этой точке у функции минимум, причём;
Найдём . Очевидно, чтопри. Поэтому точек перегиба нет, а график функции вогнутый всюду;
-
x
0
y'’
+
∞
+
y
Точка раз-рыва
5) Найдём асимптоты графика. Прямая — вертикальная асимптота, так как— точка разрыва 2-го рода. Ищем наклонные асимптоты вида. Имеем:
; . Поэтому— наклонная асимптота при.
6) Найдём точки пересечения графика с осями координат. Для этого в общем случае надо взять и найти соответствующее значение. Затем взятьи найти соответствующее значение. В данном случае получаем только одну такую точку:.
7) Построить график функции по результатам этого исследования. Для этого сначала строим асимптоты (если они есть), и указываем опорные точки: экстремумы, точки перегиба, точки пересечения с осями координат.
1
Рис. 2
Замечание. График функции асимптоту не пересекает, так как уравнение не имеет решений.
Исследовать функцию и построить её график.
1) Область определения функции: ;— точки разрыва.2-го рода;
Функция нечётная, т.е. ; функция не является периодической.
Найдём . Имеем:при;при. Получаем следующее распределение знаков, по которому мы определяем, на каких интервалах функциявозрастает, а на каких — убывает.
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
y' |
— |
0 |
+ |
∞ |
+ |
0 |
+ |
∞ |
+ |
0 |
— |
y |
|
Т.мин. |
|
Точка разр. |
|
0 |
|
Т. разр. |
|
Т. макс. |
|
Так как знак при переходе аргументачерез точкименяется, то в этих точках — экстремумы, причём,.
Найдём . Очевидно, чтопри;при. Получаем следующую расстановку знаков, по которой мы определяем, на каких интервалах график функциивыпуклый, а на каких — вогнутый.
-
x
0
y'’
+
∞
—
0
+
∞
—
y
Т.раз-рыва.
Т. пере-гиба
Т.раз-рыва
5) Найдём асимпоты графика. Прямые — вертикальные асимптоты, так как— точки разрыва 2-го рода. Ищем наклонные асимптоты вида. Имеем:
; . Поэтому— наклонная асимптота при.
6) Найдём точки пересечения графика с осями координат. В данном случае получаем только одну такую точку .
7) Построим график по результатам этого исследования:
-3 3
Рис. 3