Тема 4. Показатели вариации

Задача 4.1.

При изучении влияния рекламы на размер среднемесячного вклада в банках района обследовано 2 банка. Получены следующие результаты:

	Размер месячного	Число вкладчиков
	вклада, рубли
		Банк с рекламой	Банк без рекламы
	До 500	-	3
	500-520	-	4
	520-540	-	17
	540-560	11	15
	560-580	13	6
	580-600	18	5
	600-620	6	-
	620-640	2	-
	Итого	50	50

Определить:

1)для каждого банка: а) средний размер вклада за месяц; б) дисперсию вклада;

2)средний размер вклада за месяц для двух банков вместе.

3)Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от рекламы;

4)Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от всех факторов, кроме рекламы;

5)Общую дисперсию, используя правило сложения;

6)Коэффициент детерминации;

7)Корреляционное отношение.

Решение.

По исходным данным составим таблицу 1

		Таблица 1
Размер месячного	Число вкладчиков
вклада, рубли, xi	Банк с рекламой, ni	Банк без рекламы, mi
490	0	3
510	0	4
530	0	17
550	11	15
570	13	6
590	18	5
610	6	0

84

= 636,16 .

Dy = ∑

630	2	0
Итого	50	50

Обозначим: банк A – банк без рекламы, B – банк с рекламой. 1. Средний размер вклада за месяц в банке A равен

y= ∑xi mi = 27140 = 542,8 руб.

∑mi 50

Дисперсия вклада за месяц в банке A равна

(xi − y)2 mi = 31808 ∑mi 50

Средний размер вклада за месяц в банке B равен

z= ∑xi ni = 29000 = 580,0 руб.

∑ni 50

Дисперсия вклада за месяц в банке B равна

Dz

= ∑(xi − z)2 ni

=

23400

= 468,0 .

∑ni

50

2. Средний размер вклада за месяц для двух банков вместе равен

u

=

y m + z n

=

542,8 50 +580 50

=

542,8 +580

= 561,4 руб.

2

m + n

50 +50

3. Дисперсия вклада для 2-х банков, зависящая от рекламы, равна

Dyz

=[( y −

u

)2 +(z −

u

)2 ] / 2 =[(542,8 −561,4)2 +(580 −561,4)2 ] / 2 = 345,96 .

4. Дисперсия вклада для 2-х банков, зависящая от всех факторов, кроме рекламы, равна

Dε = Dy + Dz = 636,16 + 468 =1104,16 .

5. Общая дисперсия равна

D= Dyz + Dε = 345,96 +1104,16 =1450,12 .

6.Коэффициент детерминации равен

η2 = DDyz = 1450345,96,12 = 0,239 .

7. Корреляционное отношение равно

η = η2 = 0,239 = 0,488 .

Задача 4.2.

Имеются данные о распределении населения России по размеру денежного дохода в условном году

85

Группы населения по	Численность населения,
доходам в мес., тыс. руб.	% к итогу
До 3	21
3-5	41
5-7	22
7-9	10
9-11	5
Более 11	1
итого	100

Определить:1) среднедушевой доход за изучаемый период в целом, используя упрощенный способ; 2) среднедушевой доход в форме моды и медианы для дискретного и интервального рядов; 3) дисперсию способом моментов; 4) среднее квадратическое отклонение; 5) коэффициент вариации.

Решение.

По исходным данным составим таблицу 1

Таблица 1

Интервалы групп		Середины	Численность
населения по доходам		интервалов групп,	населения, % к
в мес., тыс. руб.		xi, тыс. руб.	итогу, wi
			21
1	- 3	2
3	- 5	4	41
5	- 7	6	22
7	- 9	8	10
9 - 11		10	5
11	- 13	12	1
Итого			100

Среднедушевой доход за изучаемый период в целом равен

x =	∑xi fi	=	2 21 +... +12 1		=	480	= 4,8 тыс. руб.
	∑ fi
			100			100

Среднедушевой доход в форме моды равен:

-для дискретного ряда 4 тыс. руб.,

-для интервального ряда (3 – 5) тыс. руб.. Среднедушевой доход в форме медианы равен:

-для дискретного ряда 4 тыс. руб.,

-для интервального ряда (3 – 5) тыс. руб. Дисперсия способом моментов равна

86

Накопленные частоты, %

21

62

84

94

99

100

=

∑xi2 fi

−4,82 =

22 21 +... +122 1

Dx

= x2 − x 2

− 4,82

= 28,16 − 23,04 = 5,12 .

100

∑ fi

Среднее квадратическое отклонение равно

σx

=

Dx =

5,12 = 2,263 .

Коэффициент вариации равен

v =

σx

=

2,263

= 0,471, или 47,1%.

x

4,8

Задача 4.3.

Для статистической совокупности; 5, 4, 4, 2, 0, 2, 5, 2, 2, 4 вычислить коэффициент вариации и построить полигон частот.

Решение.

Коэффициент вариации равен

v =

sx

100%

,

x

где sx – среднее квадратическое отклонение, x

– среднее арифметическое значение.

Среднее арифметическое значение равно первому начальному моменту выборки

данных

1

n

10

5 + 4 +K+ 2 + 4

30

x =

∑xi =

1

∑xi

=

=

= 3 .

n

10

i=1

10 i=1

10

Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии

10

sx = D[x] = x2 −(x)2 =

∑xi2

−(x)2

5

2

+

4

2

+K+ 4

2

i=1

=

−32 =

10

10

=

11,4 −9 =

2,4 =1,549 .

Отсюда коэффициент вариации равен

v =

sx

=

1,549

100%

= 51,6 %.

x

3

Построим статистический ряд распределения

xi	0	2	4	5
ni	1	4	3	2

По статистическому ряду распределения построим полигон частот

87

	5
	4
ni	3
Частоты
	2
	1
	0
	0	1	2	3	4	5
				Значения x i
Задача 4.4.

В таблице приведены данные о распределении предприятий района по размеру прибыли за последний отчетный год.

	Прибыль, млн. руб.	Количество
		предприятий
	До 60	15
	60-80	35
	80-100	30
	100-120	12
	120 и более	8
	Итого	100

Рассчитайте:

-средний размер прибыли в расчете на одно предприятие;

-коэффициент вариации средней;

-долю предприятий, прибыль которых превосходит 100 млн. руб. Сделайте выводы.

Решение.

Преобразуем исходную таблицу к стандартному виду.

88

Интервалы прибыли,		Средняя прибыль xi,	Количество
млн. руб.		млн. руб.	предприятий ni
			15
40	- 60	50
60	- 80	70	35
80 - 100		90	30
100	- 120	110	12
120	- 140	130	8
	Итого		100

Средний размер прибыли в расчете на одно предприятие определим по формуле

средней арифметической взвешенной

x =

∑xi ni

=

50 15 +70 35

+90 30 +110 12 +130 8

=

8260

= 82,6 млн. руб.

∑ni

15 +

35 +30 +12 +8

100

Дисперсия прибыли равна

D =

∑(xi

− x)2 ni

=

(50 −82,6)2 15 +... + (130 −82,6)2 8

=

50124

= 501,24 .

∑ni

100

100

Отсюда среднее квадратическое отклонение прибыли равно

s = D = 501,24 = 22,388 млн. руб.

Тогда коэффициент вариации средней прибыли равен

	v =	s	=	22,388	= 0,271 , или 27,1%.
		x		82,6

Доля предприятий, прибыль которых превосходит 100 млн. руб. равна

w =	n4 + n5	=	12 +8		=	20		= 0,2 , или 20%.
	∑ni			100		100

Выводы. Поскольку коэффициент вариации средней прибыли меньше 30%, то исходную выборку считаем однородной.

Задача 4.5.

В трех магазинах 16 июля 2000 года были проданы кроссовки следующих размеров:

Размер	40	41		42	43	44	45
Магазин № 1	18	10		2	35	20	15
Магазин № 2	2	21		15	17	15	10
Магазин № 3	17	6		20	40	12	15
			89

1.Изобразите данные в виде полигонов распределения и суммарный.

2.Вычислите дисперсии (общую, групповые, межгрупповую).

3.Рассчитайте коэффициенты вариации.

4.Найти моду и медиану суммарного распределения.

Решение.
Составим таблицу с частотами разных размеров обуви						w	=	ni	. Имеем:
						i		n
	Размер	40	41	42			43			44	45
	Магазин № 1	0,18	0,1	0,02		0,35				0,2	0,15
	Магазин № 2	0,025	0,263	0,188		0,213				0,188	0,125
	Магазин № 3	0,155	0,055	0,182		0,364				0,109	0,136
	Все магазины	0,128	0,128	0,128		0,317				0,162	0,138

Изобразим ниже данные в виде полигонов распределения и суммарный.

Частота

Магазин № 1

0,4

0,3

0,2

0,1

0

39

40

41

42

43

44

45

46

Размер

90

Частота

Частота

Частота

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

39

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

39

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

39

Магазин № 2

40

41

42

43

44

45

46

Размер

Магазин № 3

40

41

42

43

44

45

46

Размер

Все магазины

40

41

42

43

44

45

46

Размер

91

Общий средний размер обуви по всем магазинам найдем по формуле средней арифметической взвешенной

y =

∑y j nij

=

40 (18

+ 2

+17)

+... + 45 (15 +10 +15)

=

12375

= 42,672 .

∑nij

(18

+ 2

+17)

+... + (15 +10 +15)

290

Среднее значение квадратов равно

∑y2j nij

402 (18

+ 2

+17)

+... + 452 (15 +10 +15)

528765

y

2

=

=

=

=1823,328

∑nij

(18

+ 2

+17)

+... + (15 +10 +15)

290

Общая дисперсия равна

σ2y = y 2 − ( y)2 =1823,328 − 42,6722 = 2,3927 .

Средние размеры обуви по каждому из магазинов соответственно равны:

y

=

∑y j n1 j

=

40 18 +... + 45 15

=

4274

= 42,74 ;

∑n1 j

18 +... +15

100

1

y2

=

∑y j n2 j

=

40 2 +... + 45 10

=

3412

= 42,65 ;

∑n2 j

2 +... +10

80

y3

=

∑y j n3 j

=

40 17 +... + 45 15

=

4689

= 42,627 .

∑n3 j

17 +... +15

110

Межгрупповая дисперсия равна

δ2

= ∑( y j − y)2 n j =

(42,74 − 42,672)2 + (42,65 − 42,672)2 + (42,627 − 42,672)2

=

y

∑n j

100 +80 +110

= 0290,721 = 0,0025 .

Внутригрупповая дисперсия равна

δε2 = σ2y −δ2y = 2,3927 −0,0025 = 2,390 .

Коэффициент вариации равен

ν = σyy 100 = 422,,3927672 100 = 3,62% .

Из последней строки последней таблицы видим, что мода Mo = 43, а медиана равна

Me = 43 .

Задача 4.6.

По данным таблицы вычислите среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратичеcкое отклонение, коэффициент вариации. Сделайте выводы.

92

Курс продажи акций, руб.	Кол-во проданных акций, шт.
1093	487
1059	309
1154	101

Решение.

Средний курс акций определим по формуле средней арифметической взвешенной:

n

x =

∑xi ni

1093

487 +1059 309 +1154 101

976076

i=1

=

=

=1088,16 руб.

n

487 +309 +101

897

∑ni

i=1

Среднее линейное отклонение равно

n

d =

∑

xi − x

ni

1039 −1088,16

+

1059 −1088,16

+

1154 −1088,16

=

18018,45

i=1

=

=

n

897

897

∑ni

i=1

=20,09 руб.

По методу моментов дисперсия равна

25

D[x] =

−(

)2

∑xi2 ni

−(

)2 =

1093

2

487

+1059

2

309

+1154

2

101

−1088,162 =

x2

=

i=1

x

x

n

∑ 897 ni

i=1

793,73 руб2.

Отсюда среднее квадратическое отклонение равно

sx = D[x] = 793,73 = 28,17 руб.

Коэффициент вариации равен

v = sxx = 108828,17,16 = 0,0259 , или 2,59%.

Вывод. Поскольку коэффициент вариации меньше 30%, то выборка является однородной.

Задача 4.7.

По данным о распределении сотрудников двух фирм по тарифному разряду вычислите дисперсию (по взвешенной формуле) и среднее квадратическое отклонение (по простой формуле). Сравните полученные результаты.

93

Фирма С		Фирма Д
Тариф, разряд	Число	Тариф, разряд	Число
	сотрудников		сотрудников
12	13	12	17
13	14	13	29
14	21	14	19
15	51	15	37
16	43	16	19
17	14	17	29
18	10	18	17

Решение.

Средний тарифный разряд определим по формуле средней арифметической взвешенной. Для фирмы С средний тарифный разряд составит

	n
x =	∑xi ni		12 13	+... +18 10		2503
	i=1	=			=		=15,08 .
	n			+... +10
		13				166
	∑ni

i=1

Для фирмы Д средний тарифный разряд составит

	n
y =	∑yi mi		12 17	+... +18 17		2505
	i=1	=			=		=15 .
	n			+... +10
		13				167
	∑mi

i=1

Определим вначале среднее квадратическое отклонение по простой формуле. По методу моментов дисперсия тарифного разряда для фирмы С равна

n

D1[x] =

−(

)2 =

∑xi2

−(

)2

=

12

2

+... +18

2

x2

i=1

−15,082 =1,644 .

x

x

n

7

Отсюда среднее квадратическое отклонение равно

s1x = D1[x] = 1,644 =1,28 .

По методу моментов дисперсия тарифного разряда для фирмы Д равна

m

D1[ y] =

−(

)2 =

∑yi2

−(

)2

=

12

2

+... +18

2

y2

i=1

−152 = 4 .

y

y

m

7

Отсюда среднее квадратическое отклонение равно

s1y = D1[ y] = 4 = 2 .

Определим теперь среднее квадратическое отклонение по взвешенной формуле. По методу моментов дисперсия тарифного разряда для фирмы С равна

94

n

D2 [x] =

−(

)2

∑xi2 ni

−(

)2

=

12

2

13 +... +18

2

10

x2

=

i=1

−15,082

= 2,301.

x

x

n

166

∑ni

i=1

Отсюда среднее квадратическое отклонение равно

s2 x = D2 [x] =

2,301 =1,52 .

По методу моментов дисперсия тарифного разряда для фирмы Д равна

m

D2 [ y] =

−(

)2

∑yi2 mi

(

)2

=

12

2

17

+... +18

2

17

−152 = 3,449 .

y2

=

i=1

−

y

y

m

167

∑mi

i=1

Отсюда среднее квадратическое отклонение равно

s2 y = D2 [ y] =

3,449 =1,86 .

Вывод. При оценке показателей вариации сгрупированных данных необходимо использовать взвешенные формулы.

Задача 4.8.

Распределение работников двух бригад по стажу работы характеризуется следующими данными:

	Стаж работы, лет	Число рабочих, чел.
		Бригада № 1	Бригада № 2
	До 5	2	7
	5 – 10	15	25
	10 – 15	20	12
	15 и более	3	8

Определите, в какой бригаде состав работников по стажу работы более однороден.

Решение.

Сформируем интервалы для всех групп рабочих по стажу работы:

Стаж работы, лет		Среднегрупповое	Число рабочих, чел.
		значение стаж	Бригада № 1, ni	Бригада № 2, mi
		работы ri, лет
0	– 5	2,5	2	7
5 – 10		7,5	15	25
10	– 15	12,5	20	12
15	– 20	17,5	3	8

95

Показателем однородности выборки служит коэффициент вариации.

Определим средние значения стажа работы в каждой бригаде по формуле средней арифметической взвешенной.

Средний стаж работы в 1-й бригаде равен

x =	∑ri ni	=	2,5 2 +... +17,5 3			=	420			=10,5 лет.
	∑ni		2 +... +3				40
Средний стаж работы во 2-й бригаде равен
y =	∑ri mi	=		2,5 7 +... +17,5 8		=	495			= 9,519 лет.
	∑mi
			7 +... +8				52

Определим дисперсии стажа работ в каждой бригаде по формуле моментов. Дисперсия стажа работ в 1-й бригаде равна

∑ri

2 ni

2,52 2 +... +17,52 3

D[ X ] = x2

− x 2

=

− x 2

=

−10,52 =12,25 .

∑ni

2 +... +3

Дисперсия стажа работ во 2-й бригаде равна

∑ri

2 mi

2,52 7 +... +17,52 8

D[Y ] = y2

− y 2

=

− y 2

=

−9,5192 = 20,442 .

7 +... +8

∑mi

Определим средние квадратические отклонения стажа работ в каждой бригаде. Среднее квадратическое отклонение стажа работ в 1-й бригаде равно

σx = D[X ] = 12,25 = 3,5 .

Среднее квадратическое отклонение стажа работ во 2-й бригаде равно

σy = D[Y ] = 20,442 = 4,521 .

Определим коэффициенты вариации стажа работ в каждой бригаде. Коэффициент вариации стажа работ в 1-й бригаде равен

vx = σxx = 103,,55 = 0,333 .

Коэффициент вариации стажа работ во 2-й бригаде равен vy = σyy = 94,,519521 = 0,475 .

Поскольку коэффициент вариации стажа работ в первой бригаде меньше чем во второй, то делаем вывод о том, что состав работников в первой бригаде по стажу работы более однороден.

Задача 4.9.

96

По нижеследующим данным вычислите показатели степени вариации, сделайте выводы.

Группы
деталей по										40-50									50-60				60-70									70-80							80-90					90-100						100-110		110-120	Итого
весу, г.
Число										2										4			12									18							21					24						11		8	100
деталей
Решение. Составим вариационный ряд
															Группы деталей по																						Середины								Число деталей, ni
																					весу, г.												интервалов, xi, г.
																				40-50																		45											2
																				50-60																		55											4
																				60-70																		65											12
																				70-80																		75											18
																				80-90																		85											21
																				90-100																		95											24
																				100-110																		105											11
																				110-120																		115											8
																					Итого																												100
Средний вес детали равен
			∑xi ni													45 2 +55 4 +... +115 8																						8580
	x =														=																				=							= 85,8 г.
						∑ni
																				2 + 4 +... +1																		100
Размах вариации равен
	R = xmax									− xmin =115 − 45 = 70 г.
Среднее линейное отклонение равно
				∑				xi −							ni
d =													x						=		45 −85,8					+			55 −85,8								+... +				115 −85,80								=13,312 г.
									∑ni
																																100
Дисперсия равна:
	sx2 =						−(					)2					∑xi2 ni						−(				)2 =			452 2 +... +115 8
					x2										=																													−85,82					= 273,36 .
											x													x
																			∑ni																100
Среднее квадратическое отклонение равно
	sx =					sx2				=					273,36 =16,434 г.
Коэффициент вариации равен

97

v =	sx			=	16,434		= 0,1927 , или 19,27%.
						85,8
		x

Выводы. Поскольку коэффициент вариации v < 30% , то выборка является однородной.

Задача 4.10.

Имеются данные о чистой прибыли (балансовой за вычетом налогов) предприятий двух районов:

Район	Число предприятий	Чистая прибыль, млн. р.
1	6	4, 6, 9, 4, 7,	6
2	10	8, 12, 8, 9, 6, 5, 7,	7, 8, 10

Определите:

1.Дисперсии чистой прибыли: групповые, среднюю из групповых, межгрупповую, общую.

2.Коэффициент детерминации и корреляционное отношение.

Сделайте выводы.

Решение.

Сгруппируем данные:

Район	ni	xij			j
				x
1	6	4		6
		6
		9
		4
		7
		6
2	10	8		8
		12
		8
		9
		6
		5
		7
		7
		8
		10

Эмпирическое корреляционное отношение определяется по формуле

98

ηxy

=

δ2

1 −

s2

x =

ост ,

sx2

sx2

где

sx2 =

1

∑L (x j

−

)2 n j - общая дисперсия,

x

n

j=1

L

n j

sост2

=

1

∑s2jx n j , где s2jx =

1

∑(x ji −

j )2

- групповые дисперсии,

x

n

n

=

j

i=1

j 1

δ2x =

1

∑L (

j

−

)2 n j - межгрупповая дисперсия.

x

x

n

j=1

Определим средние величины:

=

4 + 6 +K+10

= 7,25 ;

x

16

1 =

4 + 6 +K+ 6

= 6 ,

2

=

8 +12 +K+10

= 8 .

x

x

6

10

Подставив найденные средние в приведенные формулы, получим общую, групповые и межгрупповую дисперсии:

sx2	=	(4 −7,25)2 +(6 −7,25)2 +K+(10 −7,25)2								= 4,3125 ,
						16
s12x	=		(4 −6)2		+(6 −6)2	+K+(6 −6)2		= 3 ,
					6
s22x	=			(8 −8)2	+(12 −82	+K+(10 −8)2			= 3,6 ,
					10

δ2x = 161 [(6 −7,25)2 6 + (8 −7,25)2 10]= 0,9375 .

Отсюда

ηxy =	δ2x	=	0,9375	= 0,217 = 0,466 .
	sx2		4,3125

Эмпирическое корреляционное отношение является показателем разброса точек диаграммы рассеяния относительно эмпирической линии регрессии.

Коэффициент детерминации равен

R2 = η2xy = 0,217 .

Выводы. Поскольку коэффициент детерминации оказался слишком малым, то можно говорить об отсутствии связи между прибылью и районом расположения предприятий.

Задача 4.11.

99

По данным таблицы вычислите среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Сделайте выводы.

Курс продажи акций, руб.	Кол-во проданных акций, шт.
1092	488
1059	309
1150	105

Решение.

Определим показатели вариации для курса продажи акций.

Средняя арифметическая равна первому начальному моменту выборки данных:

1

n

1

3

1092 +1059 +1150

3301

x

=

∑xi

=

∑xi

=

=

=1100,33 руб.

n

3

3

i=1

3 i=1

Среднее линейное отклонение равно

d = 1 ∑ xi − x =

1 ∑ xi − x =

1092 −1100,33

+

1059 −1100,33

+

1150 −1100,33

=

n

3

i=1

n

3 i=1

3

=

99,333

= 33,11 .

3

Дисперсия равна

3

D[x] =

−(

)2 =

∑xi2

−(

)2

=

1092

2

+1059

2

+K+1150

2

x2

i=1

−1100,332 =1414,89 .

x

x

3

3

Отсюда среднее квадратическое отклонение равно

sx = D[x] = 1414,89 = 37,62 .

Коэффициент вариации равен

v = sxx = 1100,3337,62 = 0,0342 , или 3,42%.

Определим показатели вариации для количества проданных акций. Средняя арифметическая равна первому начальному моменту выборки данных:

1

n

1

3

488 +309 +105

902

y

=

∑yi

=

∑yi

=

=

= 300,67 .

n

3

3

i=1

3 i=1

Среднее линейное отклонение равно

d =

1 ∑ yi − y =

1 ∑ yi − y =

488 −300,67

+

309 −300,67

+

105 −300,67

=

n

3

i=1

n

3 i=1

3

= 23993 = 799,67 .

Дисперсия равна

100

3

D[ y] =

−(

)2

∑yi2

−(

)2

=

488

2

+309

2

+K+105

2

y2

=

i=1

−300,672 = 24482,89 .

y

y

3

3

Отсюда среднее квадратическое отклонение равно

sy =

D[ y] =

24482,89 =156,47 .

Коэффициент вариации равен

v =

sy

=

156,47

= 0,5204 , или 52,04%.

300,67

y

Выводы.

1.Поскольку коэффициент вариации меньше 30%, то выборка относительно курса продажи акций является однородной.

2.Поскольку коэффициент вариации больше 30%, то выборка относительно количества проданных акций не является однородной.

Задача 4.12.

Имеются следующие данные по предприятиям отрасли за отчетный год (цифры условные). Основание группировки – среднегодовая стоимость ОПФ.

	Среднесписоч-	Стоимость	Среднегодовая	Себестоимость	Размер произ-
№№		произведенной
	ное число рабо-	продукции,	стоимость	единицы	водственной
	чих, чел.		ОПФ, млн. руб.	продукции, руб.	площади, м2
		млн. руб.
3	500	26,1	23,7	870	1739
4	460	14,8	23,1	1210	1559
5	395	16,5	18,6	1150	1704
6	280	31,9	29,3	925	1727
7	580	14,7	13,0	1630	1804
8	200	8,3	8,0	1390	1845
9	470	9,4	8,9	730	1717
10	340	12,2	11,5	974	1489
11	500	19,6	17,0	890	1380
12	250	19,0	15,6	905	1540
13	310	12,0	11,1	430	1861
14	410	12,4	12,7	830	1949
15	635	17,0	14,3	920	1918
16	400	14,0	13,6	1100	2050
17	310	14,4	13,2	970	1743
18	450	14,5	13,9	1000	1665
19	380	17,1	15,2	700	1804
20	350	17,8	16,4	810	1775
21	330	21,2	18,5	780	1784
22	460	10,6	10,3	1250	1590

Результаты расчетов представить в таблице.

101

1.Построить статистический ряд распределения согласно заданию. Определить количество групп по формуле Старджесса. Группировку осуществлять с равными интервалами. Построить графики ряда распределения: гистограмму, полигон, кумулянту.

2.По каждой группе и совокупности предприятий определить:

-число предприятий и их удельный вес в общем количестве предприятий. Построить структурную секторную диаграмму. К какому виду относительных показателей относится удельный вес предприятий?

-Групповые и общие итоги по следующим показателям: среднесписочное число рабочих, стоимость произведенной продукции, среднегодовая стоимость ОПФ;

-Дополнительно каждую группу охарактеризовать следующими показателями: производительность труда одного рабочего, стоимость произведенной продукции в среднем на одном предприятии, среднегодовая стоимость ОПФ на одном предприятии.

3. По данным группировки определить:

-средний уровень ряда (по формуле средней арифметической и способом моментов);

-размах вариации;

-среднее линейное отклонение;

-дисперсию (по формуле средней арифметической и способом моментов);

-среднее квадратическое отклонение;

-коэффициент вариации;

-моду и медиану расчетным способом и по графикам.

Решение.

Количество интервалов по формуле Старджесса равно

L =1 +[3,322 lg n]=1 +[3,322 lg19]= 4 .

	h =	xmax − xmin	=	29,3 −8	= 5,325	млн. руб.
		L		4

Построим статистический ряд распределения согласно заданию.

				Среднесписочное		Стоимость		Себестоимость		Размер произ-
		Число				произведенной
	Группы по	предприятий		число рабочих,		продукции, млн.		единицы		водственной
№				чел.				продукции, руб.		площади, м2
	среднегодовой					руб.
груп-	стоимости
пы	ОПФ, млн.
	руб.
			Удельный
		Общее	вес в	Всего в	В средем	Всего в	В средем	Всего в	В средем	Всего в	В средем
		число	общем	группе	в группе	группе	в группе	группе	в группе	группе	в группе
			числе, %

Производительность труда одного рабочего, млн. руб./чел.

102

1	8 - 13,325	8	40	3080	385	94	11,75	8204	1025,5		13998	1749,75	0,03052
2	13,325 - 18,65	9	45	3690	410	156,7	17,411	8255	917,22		15620	1735,56	0,04247
3	18,65 - 23,975	2	10	960	480	40,9	20,45	2080	1040		3298	1649	0,04260
4	23,975 - 29,3	1	5	280	280	31,9	31,9	925	925		1727	1727	0,11393
	Всего	20	100	8010	×	323,5	×	19464	×		34643	×	×
	Гистограмма имеет вид:
	0,012614789
	0,008409859
	0,00420493
		0
				8 - 13,325	13,325 - 18,65 18,65 - 23,975					23,975 - 29,3
	Полигон имеет вид:

Число предприятий

10

8

6

4

2

0

0

5

10

15

20

25

30

Стоимость ОПФ, млн. р.

103

Кумулянта имеет вид:
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
8 - 13,325	13,325 - 18,65	18,65 - 23,975	23,975 - 29,3
Построим структурную секторную диаграмму:

Число предприятий в каждой группе (по величине ОПФ, млн. руб.), в ед.

1

2

8
			8 - 13,325
			13,325	- 18,65
			18,65 - 23,975
			23,975	- 29,3

9

Средний уровень ряда (величины ОПФ) равен

104

			∑xi ni		10,663 8 +15,988 9 + 21,313 2 + 26,638 1				298,45
	x =			=				=		=14,923 млн. руб.
			∑ni
					8 +9 + 2 +1				20

Здесь при расчете использовались среднегрупповые значения ОПФ:

10,663 =

8 +13,225

, 15,988 =

13,225 +18,65

,

2

2

21,313 =

18,65 + 23,975

,

26,638 =

23,975 + 29,3

.

2

2

Размах вариации равен

R = xmax

− xmin = 29,3 −8 = 21,3 млн. руб.

Среднее линейное отклонение равно

∑

xi −

ni

d =

x

=

10,663 −14,923

+... +

26,638 −14,923

= 3,408 .

∑ni

20

Дисперсия равна:

- по формуле средней арифметической

sx2 = ∑(xi

−

)2 ni

x

=

(10,663 −14,923)2 +... + (26,638 −14,923)2

=18,715 ;

∑ni

20

- по формуле моментов

sx2 =

−(

)2 =

∑xi2 ni

−(

)2 =

10,6632

+... + 26,638

x2

−14,9232

=18,715 .

x

x

20

∑ni

Среднее квадратическое отклонение равно

sx =

sx2

=

18,715 = 4,326 .

Коэффициент вариации равен

v = sxx = 144,,326923 = 0,290 , или 29%.

Мода – наиболее часто встречающееся значение ряда распределения. Поскольку во 2-й группе больше всего предприятий, то мода равна среднегрупповому значению во 2-й группе,

т.е. 15,988 млн. руб.

Медиана равна центральному элементу вариационного ряда. Центр вариационного ряда находится во 2-й группе, поэтому медиана равна 15,988 млн. руб.

105