-Формула для поиска обратной матрицы, где

- определитель матрицы A

- алгебраические дополнения элементов матрицы A

Они ищутся следующим образом:

Как запомнить формулу для обратной матрицы:

т.е. в исходной матрице надо поменять местами элементы на главной диагонали, а у двух оставшихся элементов изменить знак на противоположный

Найдем матрицу обратную к матрице (алгоритм описан выше)

= > => обратная матрица существует

Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы

элементы на главной диаг. переставили местами,

У оставшихся элементов поменяли знаки

Матричные уравнения:

Рассмотрим систему уравнений, состоящую из 5 уравнений ( - неизвестные, остальные коэффициенты – известные числа, цель найти неизвестные )

скалярная форма записи

Используя матрицу , матрицу-вектор B=

и матрицу-вектор ,

можем записать систему уравнений в матричной форме :

Или в сокращённой форме

Если обе части скалярного уравнения домножить на число (это число обратное к – их произведение равно 1) то имеем

Возникает вопрос : как решать матричное уравнение (будем использовать метод решения основанный на умножении на обратную матрицу - она является аналогом обратного числа в матричном случае, т.к. единичной матрице

- произведение двух матриц равно третьей; A, B – известные матрицы,

неизвестная матрица – её надо найти

Домножим обе части уравнения на (обратную матрицу к матрице A) слева

[!!! Это можно делать только в случае если существует (т.е. ) – аналогично со скалярным уравнением (см. выше)].

т.к.

т.к. ( => перемножив и B найдём решение X

Пример 1 (на метод обратной матрицы):

- матричное уравнение

Найдем матрицу обратную к матрице A (алгоритм описан выше)

(см. Алгоритм перемножения матриц)

распишем подробно, как производится умножение:

Проверка (надо подставить полученную матрицу и проверить, что действительно в результате умножения получается матрица B)

- убедиться самим, перемножив матрицы.

Пример 2 (на метод обратной матрицы):

Дано :

- система в скалярном виде. Найти решение системы методом обратной матрицы и сделать проверку, решив систему методом Крамера

Запишем систему в матричном виде:

, где - матрица системы, - столбец свободных коэффициентов,

- столбец неизвестных

- матрица обратима (т.е. обратная матрица существует)

-обратная матрица ищется по алгоритму описанному выше (проверить самим)

- формула для поиска решения методом обратной матрицы

- решение системы

ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

Задача 1.

Предприятие производит продукцию трёх видов и использует сырьё двух типов. Норма затрат сырья на единицу продукции каждого типа задана матрицей

-норма затрат сырья i-го типа (кол-во единиц) на единицу продукции j-го типа

Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей- строкой

- стоимость единицы сырья j-го типа

- получим матрицу-строку стоимости единицы продукции каждого типа.

Обозначим полученную матрицу буквой C

Каковы общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого типа, 200 единиц продукции второго типа и 150 единиц продукции третьего типа.

Введём матрицу-вектор

, который отражает необходимое количество продукции каждого типа

полные затраты рассчитаны

Задача 2.

Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трёх видов: сапог, кроссовок и ботинок, при этом используется сырьё трёх типов . Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объём расхода сырья на 1 день заданы таблицей:

Вид сырья	Нормы расхода сырья на одну пару, усл.ед.			Расход сырья на 1 день, усл. ед
	сапоги	кроссовки	ботинки
S1	5	3	4	2700
S2	2	1	1	900
S3	3	2	2	1600

Найти ежедневный объём выпуска каждого вида обуви:

Решение: Пусть ежедневно фабрика выпускает пар сапог, пар кроссовок и

пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему:

скалярная форма

В матричном виде система выглядит следующим образом:

получаем матричное уравнение,

которое в сокращённом виде записывается как

можно его решить с помощью метода обратной матрицы, рассмотренного выше

Следовательно, фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 – кроссовок и 200 пар ботинок.

Можно это матричное уравнение решить с помощью метода Гаусса, который будет рассмотрен в следующей лекции.

11