Билет № 14.

1). Нормализованные процессы разложения и их использование для определения ранга матрицы.

2). Постановка задачи построения интерполяционного многочлена. Кусочно-линейная интерполяция.

Минор матрицы

  А - прямоугольная матрица размеров m*n, k - любое целое положительное число, не превышающее min(m,n). Выбираем в матрице произвольныеk строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель полученной матрицы называется минором k-го порядка матрицы А.

Ранг матрицы

  Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минораэтой матрицы.

Постановка задачи построения интерполяционного многочлена. Кусочно-линейная интерполяция

Интерполяционный многочлен

Пусть функция у =f(x) задана таблицей своих значений:y_i=f(x_i), i=0,1,...,n,.

Многочлен называется интерполяционным для функцииf(x), если его значения в точках ,совпадают со значениями функции, то есть выполнены равенства:,.

Кусочно-линейная интерполяция.

При решении ряда задач требуется восстановить функцию y=f(x) для произвольного значения x на отрезке [a,b], если известны ее значения в некотором конечном числе точек этого отрезка. Кроме того, функция y=f(x) может быть задана формулой, вычисление значений которой очень трудоемко. Данная задача решается путем интерполяции.

Нахождение функции-интерполянты F(x),где F(x_i)=f_i, называют интерполяцией, а точки x₀, x₁,... , x_N - узлами интерполяции. Величины h_i=x_i-x_i-1, - называютшагами табличной функции.

Простейшим видом интерполяции является кусочно-линейная интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки , соединяются прямолинейными отрезками, и функцияf(x) приближается полученной ломаной.

Поскольку имеется N интервалов (x_i-1 , x_i), то для каждого их них в качестве уравнения интерполянты используется уравнения прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (x_i-1 , f_i-1) и (x_i , f_i), в виде

Отсюда

y = a_ix + b_i F(x), x (x_i-1, x_i) (1)

Следовательно, при использовании кусочно-линейной интерполяции сначала нужно определить номер i интервала, в который попадает значение аргумента x, затем подставить x и i в формулу (1) и найти приближенное значение функциив точкеx.