Билет № 5.

1). Классификация методов вычисления собственных значений матрицы.

2). Схема Жордана решения систем линейных алгебраических уравнений.

  Собственные значения матрицы  (i, k = 1, 2,..., n) называют Собственные значения соответствующего ей линейного преобразования п-мерного комплексного пространства. Их можно определить также как корни определителя матрицы А — λЕ (где Е — единичная матрица), т. е. корни уравнения   , (*)   называемого характеристическим уравнением матрицы. Эти числа совпадают для подобных матриц А и В^–1 AB (где В — неособенная матрица) и характеризуют поэтому свойства линейного преобразования, не зависящие от выбора системы координат. Каждому корню λ_i; уравнения (*) отвечает вектор x_i ¹ 0 (собственный вектор) такой, что Ax_i = λ_ix_i. Если все Собственные значения различны, то множество собственных векторов можно выбрать за базис векторного пространства. В этом базисе линейное преобразование описывается диагональной матрицей      Каждую матрицу А с различными Собственные значения можно представить в виде С^–1LС. Если А — самосопряжённая матрица, то еёСобственные значения действительны, собственные векторы ортогональны, а матрицу С можно выбрать унитарной. Модуль каждого Собственные значения унитарной матрицы равен 1. Сумма Собственные значения матрицы равна сумме её диагональных элементов, т. е. следу её матрицы. Знание Собственные значения матрицы играет важную роль в исследовании сходимости некоторых приближённых методов решения систем линейных уравнений.

Схема Жордана.решения систем линейных алгебраических уравнений.

Метод нахождения решения системы (Ax=y) методом Жордана заключается в преобразовании матрицы к единичному виду (на диагонали единицы, остальные- нули)

1. Осуществление элементарных преобразований (перестановка строк, умножение матрицы на число- не ноль, прибавление строки к строке) над данной матрицей приводя ее к матрице, эквивалентной данной и приведение в конечном итоге к матрице единичного вида

2. СЛАУ задаваемая матрицей единичного вида по сути является решением данной системы уравнений a11…..a1nx1y1 10…..00x1y1*

………… … = … ……… … = …

an1……annxnyn00….01xny2*

* означает, что значения изменились относительно первоначальных значений

значит x1=y1*….xn=yn* и эта схема не обладает обратным ходом.

Отводимая память P=n²

ТрудоемкостьТ=1/2 n²

1. Трудоемкость выше, чем у гаусса

2. Существует универсальная схема с выбором ведущих элементов

3. С помощью преобразования Жордана, система из mуравнений сnнеизвестными с матрицей рангаm, может быть приведена к каноническому виду.

Сам по себе метод – основа симплекс-метода для решения задач линейного программирования.

Применение метода:

метод используется, если много правых частей и значение их заранее известны и не требуется обратный ход