- •Связь между координатным и векторным способом:
- •Докажите формулу распределения скоростей точек плоской фигуры.
- •Сформулируйте и докажите теорему о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки.
- •Опишите, как определяется скорость точек плоской фигуры и её угловая скорость с помощью мгновенного центра скоростей.
- •Опишите частные случаи определения положения мгновенного центра скоростей.
- •Докажите формулу распределения ускорений точек плоской фигуры.
- •Дайте определения мгновенного центра ускорений. Как определить его положение? Как определяются ускорения точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей.
- •Докажите формулу для определения скоростей точек тела, движущегося около неподвижной точки.
- •Доказать формулу распределения ускорений точек твердого тела, движущегося около неподвижной точки. Формулы вращательного и осестремительного ускорений и их направления.
- •Дайте определения сложного движения точки и основных понятий этого движения.
- •Сформулируйте и докажите теорему о сложении скоростей в сложном движении точки.
- •Сформулируйте и докажите теорему о сложении ускорений в сложном движении точки.
- •Дайте вывод формулы ускорения Кориолиса и проведите анализ этой формулы.
- •Дайте определения пары вращений. Докажите какому движению эквивалентна пара вращений.
- •Сложение вращений твёрдого тела относительно параллельных осей. Рассмотреть случай, когда угловые скорости направлены в одну сторону.
- •Сложение вращений твёрдого тела относительно параллельных осей. Рассмотреть случай, когда угловые скорости направлены в одну сторону.
-
Дайте определения пары вращений. Докажите какому движению эквивалентна пара вращений.
Парой вращений (, -) называется совокупность двух вращений твердого тела относительно параллельных осей и с равными по величине, но противоположно направленными угловыми скоростями.
Для произвольной точки М ее абсолютная скорость: , или, учитывая, что
или, учитывая, что =-, имеем: (1)
Векторы и не зависят от положения точки М и поэтому из (1) с учетом произвольности выбора точки М следует, что скорости всех точек тела одинаковы. Таким свойством обладает только поступательное движение. Формулу (1) можно переписать так: (2).
Векторное произведение, стоящее в правой части равенства (2), называется моментом пары вращения который так же, как и момент пары сил, является свободным вектором. Таким образом, пара вращений эквивалентна мгновенно-поступательному движению со скоростью, равной моменту пары угловых скоростей.
-
Сложение вращений твёрдого тела относительно параллельных осей. Рассмотреть случай, когда угловые скорости направлены в одну сторону.
Предположим, что тело вращается с угловой скоростью вокруг оси системы координат , которая вращается с угловой скоростью вокруг оси неподвижной системы координат причем оси и параллельны.
Скорость произвольной точки М тела (1). Скорости , и лежат в плоскости, перпендикулярной осям и , а это означает, ввиду произвольности точки М, что тело движется плоскопараллельно.
Найдем в плоскости мгновенный центр вращения. Для точки Р, лежащей на прямой , и коллинеарны и направлены в разные стороны тогда, когда точка Р лежит между и , в случае, если и направлены в одну сторону. Для того, чтобы их геометрическая сумма была равна нулю, нужно чтобы: ·Р=·Р => /Р=/Р
Т.е. точка Р (мгновенный центр скоростей) делит отрезок , внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей.
В каждом случае скорость точки Р равна нулю: (2).
Вернемся теперь к равенству (1), которое перепишем с учетом того, что:
;
Раскрывая скобки и используя равенство (2), получим:
(3)
С другой стороны, при плоскопараллельном движении: (4), сравнивая (3) и (4), получим:
Таким образом, мы доказали, что совокупность двух вращений твердого тела вокруг параллельных осей, не образующих пару вращений, эквивалентна одному вращению вокруг мгновенной оси с угловой скоростью, равной векторной сумме угловых скоростей составляющих вращений. Мгновенная ось делит расстояние между осями составляющих вращений внутренним образом) на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей, в зависимости от того, в одну или разные стороны направлены векторы этих скоростей.
-
Сложение вращений твёрдого тела относительно параллельных осей. Рассмотреть случай, когда угловые скорости направлены в одну сторону.
Пусть тело вращается с угловой скоростью вокруг оси жестко скрепленной с другим телом, которое движется поступательно со скоростью . При этом векторы и перпендикулярны.
Так как поступательное движение эквивалентно паре вращений с моментом, равным скорости V, то эту скорость можно заменить парой угловых скоростей (, -), расположенных плоскости, перпендикулярной , причем составляющие пары вращений по модулю равны заданной угловой скорости. Для эквивалентности этой пары вращений данному поступательному движению достаточно следующего условия: .
В этом случае при - плечо пары . В точке векторная сумма и - равна нулю. Следовательно, составное движение тела в случае, когда скорость поступательного движения перпендикулярна угловой скорости вращательного движения, эквивалентно вращению с той же угловой скоростью вокруг мгновенной оси, параллельной оси заданного вращения z и отстоящей от нее на расстоянии .