Примеры решения задач по классической механике Порядок решения задачи на уравнение траектории

Задача. Даны законы поступательного движения тела по осями:,. Найти уравнение траектории.

Решение.

Из первого или из второго уравнения, где это проще, выражаем время и подставляем в другое уравнение. Если время находится под знаком синуса или косинуса, то выражаем из первого и второго уравненийии используем формулы тригонометрии.

Порядок решения прямой задачи

Задача. Тело массыдвижется поступательно и прямолинейно по закону, м. Найти силу, импульс и кинетическую энергию тела в заданный момент времени (в частности в момент изменения направления движения).

Решение.

Сначала находим зависимость скорости тела от времени

потом зависимость ускорения от времени

Время остановки находим из условия

Все стальные величины найдем по второму закону Ньютона и другим формулам.

Задача. Тело с моментом инерциивращается по закону, м. Найти момент силы, момент импульса и кинетическую энергию тела в заданный момент времени (в частности в момент изменения направления движения).

Решение.

Сначала находим зависимость угловой скорости тела от времени

потом зависимость угловго ускорения от времени

Время остановки находим из условия

Все стальные величины найдем по второму закону Ньютона и другим формулам.

Порядок решения обратной задачи

Задача. Тело массыначинает двигаться (из точки с координатойпод действием силы. Найдите скорость и координату тела в некоторый момент времени.

Решение.

Из условия задачи можно найти ускорение тела:

Для решения задачи используем формулы определения скорости и ускорения тела, из которых путем взятия определенного интеграла можно будет найти искомые зависимости и величины:

Так как начальная скорость равна нулю,

Итак

Задача. Маховик с заданным моментом инерцииначал вращаться под действием момента сил. Найдите его угловую скорость, момент импульса и кинетическую энергию в некоторый момент времени.

Решение.

Из условия задачи можно найти угловое ускорение тела:

Зависимость угловой скорости от времени находим, как и в предыдущей задаче:

Момент импульса и кинетическую энергию считаем по формулам:

Задача 8. Кинетическая энергия вращающегося маховика зависит от времени по закону:Е_кин= 240t⁴ , Дж. Найдите его момент импульса и вращающий момент сил через времяt= 2 c после начала движения. Момент инерции маховика равен 20 кг·м². Ответ: 400 Дж∙с, 400 Н∙м.

Решение.

Используем формулу кинетической энергии вращающегося тела и подставим в условие задачи:

Откуда

Найдем зависимость углового ускорения от времени:

Найдем угловую скорость через время t= 2 c после начала движения:

Момент импульса тела

Найдем угловое ускорение через время t= 2 c после начала движения:

Вращающий момент сил

Задача 14. Намотанная на нить катушка висит на этой нити. Нить расположена строго вертикально. Катушка расположена строго горизонтально. Масса катушки 25 г, ее момент инерции равен 3,6∙10^-6кг∙м². Радиус катушки равен 1,5 см. Катушка сматывается с нити без скольжения. Ускорение свободного падения примите равным 9,8 м/с². Найдите ускорение катушки. Ответ: 6,0 м/с².

Решение.

Исходя из условия задачи, мы знаем, что линейное ускорение цилиндрабудет направлено вертикально вниз, и что при этом он будет вращаться по часовой стрелке, и при этом егоугловое ускорениетакже будет направлено по часовой стрелке. Сделаем рисунок.

На цилиндр действуют два тела: Земля и нить. Активной силой является сила, с которой Земля действует на цилиндр. Эта сила есть сила тяжести . Она направлена вертикально вниз. Сила тяжести тянет цилиндр вертикально вниз. Цилиндр при этом растягивает нить.

В ответ на свое растяжение нить действует на цилиндр с силой реакции , направленной вдоль нити вертикально вверх.

Применим уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:

Исходя из условия задачи, мы знаем, что линейное ускорение цилиндрабудет направленовертикально вниз.Поэтому запишемуравнение второго закона Ньютона в проекции на ось, совпадающую с направлением ускорения, то есть вертикально вниз. Это первое уравнение справа от рисунка.

Этого уравнения недостаточно для решения задачи, поскольку в нем две неизвестных величины: и. Это естественно, потому что цилиндр еще и вращается. Поэтому запишемуравнение второго закона Ньютона для вращательного движения в проекции на направление вращения. Это второе уравнение справа от рисунка.

Появилось новая неизвестная величина – угловое ускорение. Формула связи между угловым и линейным ускорением (третье уравнение справа от рисунка) замкнет систему уравнений.

После преобразований, сделанных справа от рисунка, мы получили решение задачи, то есть нашли формулы для расчета линейного ускорения цилиндра.

Посчитаем величину линейного ускорения цилиндра:

Если цилиндр сплошной, применим формулу для расчета момента инерции сплошного цилиндра: Получим для расчета ускорения

Задача 19. Найдите зависимость скорости цилиндра от времени, если он скатывается с наклонной плоскости с углом наклона = 30⁰к горизонту. Масса цилиндраm= 3 кг, его момент инерции равен 2 кг·м², радиусR= 0,8 м. Ускорениепринять равным 9,8 м/с². Ответ: 2,4t, м/с.

Решение.

Исходя из условия задачи, мы знаем, что линейное ускорение цилиндрабудет направлено вниз вдоль наклонной плоскости, и что при этом он будет вращаться по часовой стрелке, и при этом егоугловое ускорениетакже будет направлено по часовой стрелке. Сделаем рисунок.

На цилиндр действуют два тела: Земля и наклонная плоскость. Активной силой является сила, с которой Земля действует на цилиндр. Эта сила есть сила тяжести . Она направлена вертикально вниз. Эта сила тяжести имеет две проекции (две составляющие):,перпендикулярную наклонной плоскости, и , направленную вниз вдоль наклонной плоскости. Сила тяжести оказывает двойное действие на цилиндр: прижимает его к наклонной плоскости перпендикулярно ей с силой и стаскивает его вдоль наклонной плоскости с силой.

Ответ – реакциюна эти двесоставляющие дает наклонная плоскость. В ответ на прижимающую силу наклонная плоскость действует с силой нормальной реакции, направленной противоположно прижимающей силе. Прижатый к наклонной плоскости цилиндр по условию не скользит вдоль наклонной плоскости. Это потому, что в ответ на стаскивающуюсилу наклонная плоскость действует на цилиндр с силой трения., направленной вдоль наклонной в противоположном направлении.

Применим уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:

Исходя из условия задачи, мы знаем, что линейное ускорение цилиндрабудет направлено вдоль наклонной плоскости, перпендикулярно наклонной плоскости ускорения нет. Поэтом запишемуравнение второго закона Ньютона в проекции на ось, совпадающую с направлением ускорения, то есть вдоль наклонной плоскости вниз. Это первое уравнение справа от рисунка.

Этого уравнения недостаточно для решения задачи, поскольку в нем две неизвестных величины: и. Это естественно, потому что цилиндр еще и вращается. Поэтому запишемуравнение второго закона Ньютона для вращательного движения в проекции на направление вращения. Это второе уравнение справа от рисунка.

Появилось новая неизвестная величина – угловое ускорение. Формула связи между угловым и линейным ускорением (третье уравнение справа от рисунка) замкнет систему уравнений.

После преобразований, сделанных справа от рисунка, мы получили решение задачи, то есть нашли формулы для расчета линейного ускорения и скорости цилиндра.

Найдем зависимость скорости цилиндра от времени:

Если цилиндр полый, как в условии задачи 18, применим формулу для расчета момента инерции полого цилиндра: Получим для расчета ускорения

Задача 24. Пуля, масса которой 10 г и скорость 500 м/с, попадает в дверь ширины l = 120 см и застревает в ней на расстоянии a = 80 см от оси. Масса двери равна 60 кг. Найдите угловую скорость двери после попадания в нее пули (скорость пули перпендикулярна плоскости двери). Ответ: 0,14 1/с.

Решение.

Сделаем рисунок.

Летящая пуля обладает импульсом и моментом импульсаотносительно оси, на которой закреплена дверь. Плечо импульса пули равно.

Пуля, попав в дверь и застряв в ней, толкнет дверь. Но дверь закреплена на своей оси, и сила реакции, возникшая со стороны этой оси, подействует на дверь и поменяет суммарный импульс пули и двери. Однако у этой силы реакции нет плеча, поскольку она проходит через ось. Следовательно, эта сила не сможет создать вращающий момент.

Только момент внешних сил может изменить суммарный момент импульса пули и двери. И поскольку момент внешних сил равен нулю сохраняется суммарный момент импульса пули и двери. До удара момент импульса был только у пули, а после удара и у пули, и у двери. Причем, поскольку пуля застряла в двери, вращаться они будут с одной и той же угловой скоростью .

Запишем уравнение сохранения момента импульса:

где – момент инерции пули (как материальной точки на расстоянииот оси),– момент инерции двери.

Из этой формулы выразим угловую скорость:

Задача. Найти энергию, перешедшую в тепло при абсолютно неупругом соударении шаров, в двух случаях: шары движутся в одну сторону или навстречу друг другу.

Решение.

Предполагается, что при ударе шары слипнутся, образовав одно тело с массой . При этом часть кинетической энергии шаров перейдет в тепло и превратится во внутреннюю энергию образовавшегося тела. Разность между суммой кинетических энергий двух шаров до удара и кинетической энергией образовавшегося тела будет равна количеству теплоты:

Чтобы посчитать это количество теплоты, нужно сначала вычислить скорость образовавшегося при ударе тела.

При ударе суммарный импульс тел сохранитсяв соответствии с уравнением

Если шары до удара двигались в одном направлении, то проекция этого векторного уравнения на направление движения будет выглядеть так:

откуда

Если шары до удара двигались навстречу друг другу, то проекция этого векторного уравнения на направление движения первого шара будет выглядеть так:

откуда

Теперь можно будет посчитать и количество теплоты.

Задача. Найти новую угловую скорость вращения легкого жесткого стержня при изменении положения грузиков с массамии, если задана первоначальная скорость вращения. Или найти, во сколько раз изменится угловая скорость вращения.

Решение.

Предполагается, что изменение положения грузов произошло без воздействия внешней силы, грузы взаимодействуют только со стержнем. В этом случае сохраняется момент импульса двух грузов (момент инерции и момент импульса стержня равны нулю, так как по условию он не имеет массы):

Моменты инерции грузов считаем по формуле для материальных точек на расстоянии от оси:

Задача. Найти максимальную или минимальную скорость движения планеты или их отношение, если даны максимальное или минимальное расстояние до звезды или их отношение, и наоборот.

Решение.

1 2

При движении спутника вокруг притягивающего массивного тела сохраняется момент импульса спутника. Модуль момента импульса равен, где– плечо импульса. Скорость спутника всегда направлена по касательной к орбите. Только в двух точках орбиты: на минимальном (1) и максимальном (2) расстояниях от притягивающего тела плечо импульсаравно соответствующим расстояниям. Для этих двух точек1 и2 запишем равенство моментов импульса:

На минимальном расстоянии спутника от притягивающего тела его скорость максимальна, а на максимальном расстоянии – минимальна. Максимальная скорость спутника во столько же раз больше минимальной, во сколько максимальное расстояние больше минимального.