Примеры решения задач по квантовой механике

Задача 6. Найдите частоту красной границы фотоэффекта для металла, если при энергии падающих фотонов 6,6 эВ максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов составляла 4,2 эВ. Постоянная Планка h = 6,610^34 Джс, е = 1,610^19 Кл. Ответ: 5,810¹⁴ Гц.

Решение.

Чтобы найти частоту красной границы фотоэффекта, нежно знать работу выхода электронов из металла. Работу выхода найдем из уравнения Эйнштейна:

Приравняв работу выхода к минимальной энергии фотонов, получим

Задача 9. Найдите максимальную скорость фотоэлектронов, вылетающих из металла с работой выхода 5 эВ под действием излучения с энергией квантов 10 эВ. Масса электрона m = 910^31 кг, заряд е = 1,610^19 Кл. Постоянная Планка h = 6,610^-34Джс. Ответ: 1,310⁶ м/с.

Решение.

Сначала найдем максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов из уравнения Эйнштейна:

а потом по классической формуле кинетической энергии найдем максимальную скорость.

Задача 15. Микрочастица находится в квантовом состоянии, энергия которого с точностью до 0,01% равна 6,6 эВ. Оцените среднее время жизни частицы в этом состоянии. Постоянная Планка h = 6,610^34 Джс. Элементарный заряд е = 1,610^19 Кл. Ответ: 610^12 с.

Решение.

Согласно условию неопределенность значения энергии

Используем соотношение неопределенностей

Задача 22. Рассмотрите все способы распределения двух частиц по двум состояниям для случаев: а) частицы квантовые с целочисленным спином; б) частицы квантовые с полуцелым спином. Ответ: 3 способа, 1 способ.

Решение.

Квантовые частицы с целочисленным спином являются бозонами, и в любом квантовом состоянии могут находиться в любом числе.

Сначала будем их размещать по одной частице в ячейке. Имеем один способ.

Теперь по две частицы в ячейке. Сначала в одной, потом в другой. Имеем еще два способа.

Квантовые частицы с полуцелым спином являются фермионами, и в любом квантовом состоянии могут находиться только в единственном числе.

Их можно разместить только по одной частице в ячейке. Имеем один способ.

Итак, две квантовые частицы с целочисленным спином по двум состояниям можно разместить тремя способами, а две квантовые частицы с полуцелым спином – одним способом.

Задачи по термодинамике

Задача. Посчитайте среднюю энергию молекулы данного газа.

Решение.

Средняя энергия молекулы газа зависит только от температуры газа и вычисляется по формуле

где – число степеней свободы молекулы данного газа. Это число зависит от количества атомов в молекуле газа.

Число атомов	1	2	3
	3	5	6

Задача. Посчитайте внутреннюю энергию некоторого количества данного газа.

Решение.

Внутренняя энергия заданного числа молей газа зависит только от температуры газа и вычисляется по формуле

Задача. Посчитайте изменение внутренней энергии некоторого количества данного газа.

Решение.

Изменение внутренней энергии заданного числа молей газа зависит только от температуры газа и вычисляется по формуле

Задача на вычисление работы газа , количества подведенного к нему теплаи изменения его внутренней энергии.

Решение.

Эта задача предполагает применение уравнения первого начала термодинамики

Все величины в этом уравнении могут быть как положительными, так и отрицательными.

Если газ получает тепло, , если газотдает тепло, . Вадиабатном процессе по определению .

Если газ нагревается, , если газостывает, . Визотермическом процессе .

Если газ расширяется, , если газсжимается, . Визохорическом процессе .

При адиабатном расширении газ остывает, а при адиабатном сжатии газ нагревается.

Задача 35. Двум киломолям водяного пара сообщили количество теплоты, равное Q = 80000 Дж. Найдите изменение температуры, внутренней энергии и совершенную работу, если процесс изохорический. Газовая постоянная равна 8,31 Дж/мольК. Ответ: 1,6 К, 80000 Дж, 0.

Решение.

Так как по условию процесс изохорический, имеем . Тогда из уравненияпервого начала термодинамики

Следовательно, изменение внутренней энергии газа равно 80000 Дж. Остается найти изменение температуры по формуле