Симметрия кристалла. Операции симметрии.

Специфические особенности кристаллов связаны с симметрией и анизотропией кристаллической среды [4]

Геометрической симметрией кристаллического пространства назы­вается свойство пространства совмещаться с самим собой путем неко­торых симметрических преобразований. Операции, или преобразования симметрии- это отражения, вращения, переносы, приводящие пространство в совмещение с самим собой [1].

Элементы симметрии- это вспомогательные образы (точки, прямые линии, плоскости), с помощью которых обнаруживается симметрия фи­гуры или пространства.

Симметрические преобразования можно разделить на два типа:

1) конечные, или точечные, при которых хотя бы одна точка фигуры остается на месте, и 2) бесконечные, или пространственные, при которых не остается на месте ни одна точка фигуры.

Простые конечные операции симметрии- это отражения или вращения. Они описываются следующими элементами симметрии:

• плоскость симметрии (m)

• оси симметрии (n; n= 2, 3 ,4, 6)

• центр симметрии (I).

Плоскостью симметрии(m) называется плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части расположенные друг относительно друга зеркально симметрично.

Осью симметрии(n) называется прямая линия, при повороте вокруг которой фигура совмещается сама с собой. Число n, так называемый порядок оси. определяет, сколько раз фигура совмещается сама с собой при полном обороте вокруг оси. В кристаллах возможны оси симметрии только порядков 1,2,3,4 и 6.

Каждой оси симметрии соответствуют свои операции симметрии:

оси 3 - повороты фигуры на 120° и 240°, оси 4 - на 90°, 180°, 270° ;

оси 6 - на 60°, 120°, 180°, 240°, 300° ; оси 2 - на 180°.

Центром симметрии() (центром инверсии, центром обратного равенства) называется особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая проведенная через нее прямая встречает одинако­вые (соответственные) точки фигуры по обе стороны от нее и на равных расстояниях. Таким образом, симметрическое преобразование в центре симметрии - это отражение в точке, поворачивающее фигуру “с лица на изнанку".

В кристаллах, у которых есть центр симметрии, не может быть полярных прямых. Полярной называется прямая, у которой свойства различны по разным направлениям [1,2 ].

Операция отражения в плоскости симметрии m обозначается символом плоскости с индексом, указывающим ось координат, нормальную в плоскости: , илиОперация инверсии, т.е. отражение в центре симметрии , обозначается символом

Кроме того, к числу операций симметрии относится также отождест­вление , или единичная операция. - это "операция преобразования фи­гуры в себя путем оставления ее на месте" [2] . Обозначается она символом 1.

Операции симметрии могут быть описаны аналитически как операции преобразования координатных осей [4]. Точку пространства, остающуюся неподвижной при всех симметрических операциях точечной группы, примем за начало ортогональной кристаллофизической системы координат x_1, x_2,.x₃. Любая симметрическая операция кристаллографического класса (см. стр.13) переведет оси x_1, x_2,.x₃ в новые положения x^’_1, x^’₂, x^’₃(рис.3,4).

Рис.3. Преобразование кристаллофизических осей координат плоскостью симметрии, перпендикулярной оси x3.

Рис.4.Преобразование кристаллофизичееких осей координат осью симметрии второго порядка, совпадающей с x3.

Углы между новыми (x^’_1, x^’₂, x^’₃) и старыми (x_1, x_2,.x₃) осями определяются таблицей направляющих косинусов:

Оси ! X₁! X₂! X₃!

X₁ ! C₁₁! C₁₂! C₁₃!

X₂ ! C₂₁! C₂₂! C₂₃!

X₃ ! C₃₁! C₃₂! C_33!

Первый индекс при символе C_IJ(I, J=1,2,3) относится к новым осям, второй - к старым. Так, например,C₂₃ - косинус угла между осью , и осью

Таким образом, любому симметрическому преобразованию можно поставить в соответствие свою матрицу направляющих косинусов C_IJ, т.е. записать его в матричном представлении. Угол поворота считает­ся положительным, если при наблюдении из положительного конца оси в направлении к началу координат поворот от старой оси к новой происходит против часовой стрелки.

Девять коэффициентов C_IJ не являются независимыми. Т.к. каждая строка матрицы (C_IJ) представляет собой направляющие косинусы штрихованной оси координат по отношению к не штрихованным осям, то

C_IKC_JK=1 при i= j (1)

Т.к. каждая пара строк матрицы (C_IJ) является направляющими косинусами двух взаимно перпендикулярных направлений, то

C_IKC_JK=0 при (2)

Соотношения ортогональности (1) и (2) можно объединить в (З), используя символ Кронекера:

C_IK C_JK=

Для преобразований 1 рода, при которых правая система координат остается правой, левая - левой, определитель матрицы направляющих косинусов равен + 1. Для преобразований 2 рода=-1. [4]

Результаты всевозможных пар последовательно проведенных операций симметрии кристаллов различных групп собраны в таблицах умножения(1, гл.1, §§3,5]. Для умножения элементов симметрии справедливы следующие теоремы.

Теорема I. Если перпендикулярно к оси симметрии порядка /г/ проходит ось симметрии 2, то всего имеется n осей 2, перпендикулярных к оси n. Сочетание оси симметрии порядка n и перпендикулярной к ней оси симметрии 2 обозначается n₂.

Теорема 2. Линия пересечения двух плоскостей симметрии является осью симметрии с углом поворота, вдвое большим, чем угол между плоскостями:m₂*m₁=n₂₂.

Теорема 2а. Поворот вокруг оси симметрии можно заменить двумя отражениями в плоскостях симметрии. При этом одна плоскость прово­дится вдоль оси произвольно, а вторая должна образовывать с первой плоскостью угол, равный половине угла поворота вокруг оси и притом в направлении этого поворота.

Теорема 3. Точка пересечения четной оси симметрии с перпендикулярной к ней плоскостью симметрии есть центр симметрии.

Сочетание оси симметрии порядка n и перпендикулярной к ней плоскости симметрии обозначается n/m.

Теорема 3а. Если на четной оси симметрии есть центр симметрии, то перпендикулярно к этой оси проходит плоскость симметрии.

Теорема 3б. Если через центр симметрии проходит плоскость симметрии, то перпендикулярно к этой плоскости через центр проходит четная ось симметрии.

Теорема 4. Если вдоль оси симметрии n-порядка проходит плоскость симметрии, то таких плоскостей имеется n Такое сочетание обозначается n/m.

Произведение элементарного поворота n и инверсии 1 в любом порядке представляет собой операцию симметрии, называемую элементарным инверсионным поворотом

Ось, вокруг которой производятся инверсионные повороты, называется инверсионной осью симметрии. В кристаллах возможны инверсионные оси только 1,2,3,4 и 6 порядков.

Теорема 5 (теорема Эйлера). Равнодействующей двух пересекающихся осей симметрии является третья ось, проходящая через точку их пересечения.

Теорема 6. Если вдоль четной инверсионной оси проходят плоскости симметрии, то между ними располагаются оси симметрии второго порядка.

Устойчивыми могут быть только следующие сочетания осей симметрии:

Углы	Сумма углов	Сочетания осей	Кристаллографич. система
90°,90°.90°	270°	2,2.2	Ромбическая
60°,90°,90°	240°	3,2,2	Тригональная
45°,90°,90°	225°	4.2,2	Тетрагональная
30°.180°,180°	390°	6,2,2	Гексагональная
60°,60°,90°	210°	3,3,27	Кубическая
45^0.60^0.90^0	195°	4,3,21

Единственное, не повторяющееся в кристалле направление называется особенным или единичным.

Повторяющиеся в кристалле направления, связанные между собой элементами симметрии, называются симметрически эквивалентными.

В зависимости от числа особенных (единичных) направлений и от имеющихся осей симметрии кристаллы разделяются на три категории:

- высшая категория - нет особенных направлений, есть несколько осей симметрии порядка выше, чей 2;

- средняя категория - одно особенное направление, совпадающее с единственной осью симметрии порядка 3,4 или 6, т.е. выше, чем 2;

- низшая категория - несколько особенных направлений, нет осей порядка выше, чем 2.

В свою очередь, три категории разделяются на 7 систем по признаку их характерной симметрии и по сочетаниям осей симметрии.

Низшая категория делится на 3 системы:

- триклинная система - нет ни осей, ни плоскостей симметрии ;

- моноклинная - есть лишь одна ось симметрии второго порядка, или одна плоскость симметрии, или и ось, и плоскость ;

- ромбическая - у кристалла есть более одной оси второго порядка или более одной плоскости симметрии.

Средняя категория подразделяется также на 3 системы:

- Тригональная - одна основная ось симметрии 3 или 3;

- тетрагональная - одна основная ось симметрии 4 или 4;

- гексагональная - одна основная ось симметрии 6 или 6 . Высшая категория состоит из единственной системы - кубической, которая характеризуется наличием четырех осей симметрии третьего

порядка.

Вместо подразделения на 7 систем можно подразделять категории на 6 сингоний: триклинную, моноклинную, ромбическую, гексагональную, тетрагональную, кубическую.

Множество операций симметрии идеального кристаллического многогранника, т.е. преобразований, в результате которых этот многогранник совмещается сам с собой, образует класс (вид) симметрии, или точечную группу симметрии кристалла. Число различных операций симметрии, входящих в группу, называется порядком группы.

Группы, порождаемые одним элементом симметрии, т.е. состоящие из одной-единственной операции, называются циклическими. Циклические группы бывают первого (1), второго (I, m, 2), третьего (3), четвертого (4,4) и шестого (6,3,6) порядков.

Если некоторая операция совмещает многогранник сам с собой и, следовательно, является операцией симметрии, то и операция, возвращающая его в первоначальное положение, также является операцией сим­метрии, она называется обратной по отношению к исходной. Произведение взаимно обратных операций есть отождествление I. Любые две операции, произведение которых есть отождествление, взаимно обратны.

Если каждая из некоторых двух операций преобразует кристаллический многогранник в самого себя, то и в результате последовательного выполнения обеих операций многогранник преобразуется в себя ; наряду с любыми двумя операциями в группу входит и их произведение (или оба произведения, если они не совпадают).

Если умножения в группе не зависят от порядка сомножителей, то группа называется коммутативной (таблица умножения такой группы симметрична относительно главной диагонали); если не все умножения в группе коммутативны, группа называется некоммутативной.

Операции, порождающие группу, называют генераторами группы.

Бывает, что часть операций, входящих в группу, сама по себе составляет группу. Эта группа по отношению к исходной называемся подгруппой, исходная же по отношению к ней - надгруппой.

Отношение порядка группы к порядку подгруппы называется индексом подгруппы.

Совокупность операций, входящих одновременно в две группы, называется пересечением этих групп. Пересечение групп - наиболее общая подгруппа этих групп [I] .

Кристаллографические группы (классы) симметрии удовлетворяют

следующим аксиомам [4]:

I. Произведение двух симметрических операций А и В, входящих в группу симметрии, эквивалентно симметрической операции С, входящей в ту же группу: АВ=С.

Произведению симметрических преобразований относительно системы осей, жестко связанных с кристаллом, отвечает произведение соответствующих матриц (в смысле обычного матричного умножения).

Результат двух последовательных симметрических преобразований может зависеть от порядка проведения операций, поэтому необходимо следить за порядком записи соответствующих матриц.

2. Умножение операций ассоциативно:

(АВ)*С = А*(ВС)

3. Среди операций симметрии существует такая операция отождествления Е, что АЕ=ЕА=А для любой из операций группы. Операция Е в данном случае называется единичной.

Для симметрических преобразований единичной операцией является поворот на 360° вокруг произвольного направления в кристалле - ось симметрии первого порядка.

4. Для каждой операции А существует обратная операция А^-1, входящая в группу симметрии и удовлетворяющая соотношению

АА^-1 =A^-1A = Е

Совокупность матриц (C_IJ) построенная для всех неэквивалентных симметрических операций, входящих в конкретную точечную группу симметрии, называется матричным представлением этой группы. Некоторая система операций симметрии, входящих в данную группу, называется системой образующих (генераторов), если эти операции при перемножении всеми способами дают все операции, входящие в эту группу.

Если группа имеет только свойства, перечисленные в аксиомах, то она называется абстрактной.

Кристаллографически различные точечные группы могут быть абстрактно одинаковыми, т.е. иметь одинаковые таблицы умножения. Такие точечные группы называются изоморфными.

Возможные сочетания симметрических операций кристаллических многогранников образуют 32 класса симметрии (точечные группы) (обозначения их см. в табл.1 в[4], и 6. 1 в [1]). Среди них различают простейшие (примитивные), центральные, планальные, ак­сиальные , планаксиальные, инверсионно -примитивные и инверсионно -планальные классы (см. [2 ] ,6).

Кроме деления на системы и сингонии 32 класса симметрии можно группировать по более крупным подразделениям в зависимости от следующей характерной симметрии.

1. Наличие или отсутствие центра симметрии. В классах центральных и планаксиальных не может быть полярных направлений, а значит,

не может быть и свойств, характеризуемых полярной симметрией. Ос­тальные 21 класс - ацентрические.

2. Энантиоморфизм. Кристаллы» принадлежащие к классам, в кото­рых есть только поворотные оси симметрии, но нет инверсионных осей, поперечных плоскостей и центра симметрии, могут иметь правые и левые разновидности. В них возможны правые и левые формы и такие свойства, как вращение плоскости поляризации. Энантвоморфными являются примитивные и аксиальные классы.

3. Лауэвские классы симметрии, или подсистемы. Согласно закону Фриделя, или закону центросимметричности дифракционного эффекта, из-за симметрии отражения рентгеновских лучей дифракционная сим­метрия кристалла выше, чем его точечная симметрия. Она отвечает точечной группе плюс центр инверсии и плюс элементы симметрии, по­рождаемые из-за добавления центра инверсии[1].

В группы симметрии кристалла как сплошной непрерывной среды вхо­дят только оси порядков 2,3,4,6, но в группы симметрии свойств такой среды могут входить также оси симметрии бесконечного порядка(). Кроме того, осимогут входить в группы симметрии физических полей: электрического, магнитного, поля механических на­пряжений.

Точечные группы симметрии, в которые входят бесконечные оси симметрии, называются предельными группами симметрии или группами Кюри. Их 7 [I].