sopromat

Решив систему уравнений, находим усилия в стержнях:

NAB =N BC = 2 cosQ60o .

Условия прочности стержней:

NAB	≤ [σ];	NBC	≤ [σ]
F		F
AB		BC

позволяют вычислить предельную величину груза Q:

Q = NAB = NBC = [σ] F = 50 106 5 10−4 = 25 103 Н = 25кН.

2.4.Расчет стержневой конструкции

сопределением минимального веса стержней

Пример. Каким должен быть в предыдущей задаче угол наклона стержней к горизонту, чтобы при заданном допускаемом напряжении объем и, следовательно, вес стержней был минимальным? Расстояние между стенами равно 8 метрам.

Решение. Если обозначить угол наклона стержней к горизонту через α, то растягивающее усилие в стержнях:

N = 2sinQ α .

Необходимая площадь поперечного сечения стержня определяется из условия его прочности:

N

Q

F = [σ] =

.

2sinα [σ]

Учитывая, что длина стержня равна l =

4

, находим его объем :

сosα

V = F l =

Q

Q

4

4Q

.l =

=

.

2sinα [σ]

2sinα [σ]

cosα

sin 2α [σ]

Очевидно, то наименьшее значение объема стержня будет при sin 2α =1, т.е. при α = 45o.

13

2.5 Определение требуемых диаметров стержней сложной конструкции из условия обеспечения необходимой прочности

Пример. В конструкции (рис.5,а), состоящей из двух абсолютно жестких брусьев AB и CD и двух стальных стержней BC и EF круглого поперечного сечения, определить из условия их прочности требуемые диаметры стержней при допускаемом напряжении материала [σ] = 160МПа.

Решение. Пользуясь методом сечений, определяем усилия в стержнях BC и EF. Для этого мысленно рассекаем стержни, заменяя действие отброшенных частей на оставленные продольными силами

N1 и N2 (рис.5,б).

Составим уравнение равновесия для бруса AB:

∑M A = 0: N1 3,75 − P 3 = 0,

а)	б)
	Рис. 5 Схемы расчета усилий в стержнях

откуда:

N1 = 33,75P = 33,7540 = 32кН.

Из условия прочности находим необходимую площадь сечения стержня BC :

14

F ≥	N1		=	32 103	= 2 10−4 м2 = 2см2.
	[σ]
BC			160 106

Зная площадь поперечного сечения, определяем диаметр стержня BC :

d	BC	=	4 FBC	=	4 2	=1,6см
			π		π
Условие равновесия бруса CD:

∑M D = 0:

N1 3,8 − N2 cos60o 3,2 = 0,

отсюда:

N1 3,8

N2

=

=

32 3,8

= 76кН,

o

o

3,2cos60

3,2cos60

требуемая площадь сечения стержня:

FEF ≥

N

76 103

−4

м

2

= 4,75см

2

2

=

= 4,75 10

[σ]

160 106

его диаметр :

d

=

4 FEF =

4 4,75

= 2,5см

EF

π

π

2.6. Проверка прочности стержневой конструкции по допускаемым напряжениям

Пример. К узлу C кронштейна ABC (рис. 6,a) приложена сила Q = = 100 кH. Стержень AC - стальной, круглого сечения диаметром d = 30 мм; стержень BC - дюралюминиевый, квадратного сечения со стороной a = 40мм. Проверить прочность стержней при допускаемых напряжениях для стали [σ]с =160МПа, для дюралю-

миния [σ]д =90МПа

15

а) б)

Рис. 6.Схемы расчета прочности стержней по допускаемым напряжениям

Решение. Для определения продольных сил в стержнях AC и BC мысленно вырежем узел C (рис.6, б) и записываем условия его равновесия:

ΣX =0:−NAC −NBC cos45o =0;

ΣY =0 :−NBC cos45o −Q =0.

Решив полученную систему уравнений , определяем усилия в стержнях:

NBC = − cosQ45o = − cos10045o = −141кН, NAC = −NBC cos 45o =141cos 45o =100кН

Стержень AC растянут, а стержень BC сжат. Вычисляем площади поперечных сечений стержней:

F =	πd	2	π (3 10	−2 )2	−4	м	2	,
	4	=	4	= 7,06 10
AC

FBC = a2 = (4 10−2 )2 =16 10−4 м2 .

Напряжения в поперечных сечениях стержней AC и ВС :

16

σ

=

N AC

=

100

10

3

=141 106 Па =141МПа <160МПа.

F

7,06

10

−4

AC

AC

σ

=

N BC

= −

141 10

3

= −88 10

6

Па = −88МПа < 90МПа

F

16 10−

4

BC

BC

Условия прочности стержней удовлетворяются, следовательно, их прочность обеспечена.

3. Примеры решения статически неопределимых задач

3.1 Определение реакции заделок и напряжений жестко закрепленного бруса

Пример. Для бруса, жестко закрепленного обоими концами (рис.7, а) определить реакции заделок и величину нормальных напряжений в стальной и медной его частях. Модули продольной упругости для стали и меди соответственно равны

EСc = 2 1011 Па,EМ =1 1011 Па.

Решение. Рассматриваемая задача относится к категории статически неопределимых, так как реакции опор и, следовательно, внутренние усилия в брусе не могут быть определены с помощью только одних уравнений статики. Для их определения требуется составить дополнительное уравнение - уравнение совместности деформаций.

Под действием внешней силы возникают опорные реакции RA и RB Отбросив мысленно нижнюю заделку, заменяем ее влияние на брус реакцией опоры RB (рис.7, б). Проектируя все силы, приложенные к брусу на вертикальную ось, записываем уравнение его равновесия:

∑Y = 0:

RA + RB − P = 0.

17

а) б)

Рис.7. Расчетные схемы статически неопределимого бруса

Из условия закрепления бруса следует, что перемещения сечений A и B равны нулю. Для записи дополнительного уравнения используем факт отсутствия перемещения сечения B: B = 0.

Перемещение сечения В от совместного действия сил P, RB

равно на основании принципа независимости сил алгебраической сумме перемещений от каждой из этих сил:

B	= B(P)	+ B(R ) .
		B

Из условий закрепления торцов стержня следует, что перемещение сечения B равно нулю:

B( P)	+ B( R ) = 0.
	B

Выражая деформации бруса через усилия , имеем :

	P lст				RB	lст		RB lм
				−			+				= 0.
					E	F
	E		F					E	F
	ст		ст		ст	ст		м	м
						18

Учитывая, что Fст = Fм , получим :

RB =

P

.

1+

l

м Eст

l

E

ст м

Подставляячисла, находимнеизвестнуювеличинуреакции RB :

R

=

120 10

3

. = 51600Н = 51,6кН

0,4 2 10

11

B

1 +

0,6 1 1011

Напряжения в стальной части бруса:

σ =

Nст

=

(P − RB )

=

(120 −51,6) 103

= 68,4 106 Па = 68,4МПа

ст

Fст

Fст

10 10

−4

Напряжения в медной части бруса:

N

R

−51,6 103

6

Па = −51,6МПа

σ =

м

=

B

=

−4

= −51,6 10

Fм

Fм

10 10

м“

3.2. Расчет силовых параметров бруса с жестко закрепленным одним концом и с зазором на другом

Пример . Стальной брус в верхнем сечении жестко защемлен, а между нижним сечением и опорой имеется зазор = 0,3мм (рис.8.). Определить реакции опор и напряжения в поперечных сечениях верхней и нижней частях бруса. Длина бруса равна 3м, площадь его поперечного сечения F = 25см2, модуль упругости материала

E = 2 1011 Па

Решение. Под действием силы P брус деформируется и при закрытии зазора возникает реакция RB . На брус будут действовать

внешняя сила P и реакции опорRA и RB. Запишем уравнение равновесия сил действующих на брус:

∑Y = 0:RA + RB − P = 0.

Недостающее для решения задачи второе уравнение составим исходя из упругих свойств бруса. До соприкосновения с нижней опорой его удлинение будет равно величине зазора, а затем даль-

19

нейшая деформация сводится к растяжению его верхней части и одновременному сжатию нижней. На основании этого можно записать второе недостающее уравнение - уравнение совместности деформаций :

lв + lн’ = .

Вычислим деформации верхней и нижней частей бруса .

Удлинение верхней части бруса, растя-

гиваемой силой RA ,

	равно:		RA lв
	l	=		.
		в	EF

Нижняя часть бруса, после закрытия зазора,

сжимается силой RB ;

укорочение нижней части:

l =	− RB lн’	= −	(P − RА ) lн’	.
	EF
н			EF

Рис.8.Схема определения реакции опор стального бруса Подставив значе-

ние продольных дефор-

маций l н’ и l в в уравнение совместности, получим:

RA lв

−

(P − RА ) lн

=

или же

EF

EF

R

1,5

(200 103 − R

) 1,5

−3

А

−

А

= 0,3 10

.

2 1011 25 10−4

2 1011 25 10−4

Решая последнее уравнение, находим величину реакции RА:

20

RА=150 кН .

Используя уравнение статики, находим величину реакции RB :

	RB = P − RA = 200 −						150 = 50кН.
Напряжения в верхней части бруса:
σ =		RA	=	150	103 = 60 10		6 Па = 60МПа
в		F		25	10	−4

Напряжения в нижней части бруса:

σн = RFB = − 2550 1010−34 = −20 106 Па = −20МПа

3.3.Определение напряжений в железобетонной конструкции

Пример. Железобетонная колонна квадратного поперечного сечения 40x40см сжимается нагрузкой 300кH (рис. 9 ). Определить

напряжения в стальной арматуре и бетоне, если EEб = 101 , а общая

с

площадь арматуры составляет 0,1 площади колонны.

Рис..9.Кострукция железобетонной колонны

Решение.

Данная конструкция статически неопределима. Рассекая колонну на две части и отбрасывая нижнюю часть, заменяем ее влияние на верхнюю внутренними усилиями в стали и бетоне. Обозначим эти

21

усилия соответственно через Nс и Nб . Для их определения имеем только одно уравнение:

∑Y = 0; Nс„ + Nб − P = 0.

Площадь поперечного сечения всей колонны:

F = (40 10−2 )2 =1600 10−4 м2 .

Площади поперечного сечения арматуры и бетона:

Fс = 0,1F = 0,1 1600 10−4 =160 10−4 м2 ,

Fб =F − Fс = (1600 −160) 10−4 =1440 10−4 м2 .

Предполагаем, что при сжатии колонны ее поперечные сечения остаются плоскими. В этом случае абсолютные деформации арматуры и бетона одинаковы:

lc =

lб .

Подставляя числовые значения, имеем:

Nc lс

=

Nб lб

;N

= N

Eб Fб

= N

1440 10−4

= 0,9 N

E F

E F

E F

10 160 10−4

б

c

с

с

с с

б б

с

с–

Подставив значение Nб в уравнение статики, получим:

N +0,9 N = P;N =

P

=

300 103

=158 10

3

Н;

1,9

1,9

с

с

с

N = 0,9 N = 0,9 158 103

=142 103 Н

б

с

Напряжения в стальной арматуре и напряжения в бетоне:

σ

=

Nс

= −

158 103

= −9,87 106 = −9,87МПа,

160 10−4

с

F

σ

=

Ncб

= −

142 103

= −0,97 106

= −0,97МПа.

−4

б

Fб

1440 10

22