sopromat

3.4. Подбор сечений стержней для конструкции, когда жесткий брус имеет опору

Пример. Абсолютно жесткий брус АВ закреплен, как показано на рис.10, и нагружен силой Р. Требуется подобрать сечения стержней из условия их прочности при соотношении площадей F1 :F2 = 1:1,3. Исходные данные для расчета: a =1,2 м; b = 1,4 м; с = 1,0 м; Р = 5 кН; материал стержней— сталь, с допускаемым напряже-

нием [σ] = 136 МПа, модуль упругости E = 2 105 МПа.

Рис.10. Конструкция абсолютно жесткого бруса

Решение. В опоре С под действием внешней силы возникает реакция, две составляющие которой обозначены Xc и Yc. Реакции в стержнях направлены вдоль их осей и приложены к брусу АВ в точках А и В.

Направление этих реакций рекомендуется установить после рассмотрения возможного деформированного состояния конструкции.

Для плоской системы сил в общем случае можно составить только три независимых уравнения статики. В рассматриваемой задаче к брусу АВ приложено четыре неизвестных усилия. Разность между числом неизвестных усилий и числом уравнений статики показывает, что для определения этих неизвестных необходимо составить еще одно уравнение статики, в которое входили бы интересующие нас величины. Такое уравнение можно получить, рассмотрев возможную деформацию конструкции.

Рассмотрим расчетную схему заданной конструкции (рис.10) Под действием силы Р возможен поворот бруса вокруг точки С за счет деформации стержней АЕ и ВК. Точки А и В описывают при

23

повороте бруса дуги окружностей, которые ввиду малости перемещений заменяются касательными, т.е. эти точки перемещаются по перпендикулярам к радиусам АС и ВС . Точка А смещается вниз и занимает положение А1, (рис.11), а В - вверх, занимая положение В1. Брус, как абсолютно жесткий элемент конструкции, - положение А1В1. Очевидно, что стержень АЕ сжат и стал короче на величину АА1 = l1. Соединив точки К и В1, находим на чертеже положение второго стержня после его деформации. Опустив перпендикуляр из точки B на прямую В1К, находим точку В2. Отрезок В1В2 = l2 - удлинение стержня ВК. Действительно: l2 = КВ1 − КВ = КВ1 − КВ2, так как КВ = = КВ2 .Очевидно, что стержень КВ растянут.

Рис. 11. Расчетная схема абсолютно жесткого бруса

Выяснив направление усилий в стержнях, показываем векторы этих усилий на расчетной схеме конструкции (рис.10). Составляем уравнение ее равновесия, приравняв нулю сумму моментов всех сил относительно точки C:

∑MС = 0 :P a − N1(c +a) − N2 sin 45o b = 0.

Для решения данной задачи нет необходимости определять реакции в шарнире Xc, Yc и два других уравнения статики не составляются.

Для вычисления усилий в стержнях следует иметь еще одно уравнение, называемое уравнением совместности деформаций. Это уравнение получают из геометрических соотношений между деформациями элементов заданной конструкции. Запишем подобное уравнение для рассматриваемой задачи.

Из подобия треугольников А1АС и В1ВС следует, что

24

AA1

=

BB1

.

AC

BC

Ввиду малости деформаций изменением угла наклона стержня

ВК пренебрегаем, считая ч

то угол ВВ1B2 = 45°. Тогда

BB =

B1B2

.

cos 45o

1

Учитывая, что B1B2

=

l2 и AA1 =

l1 , имеем:

l1

=

l2

и

l

=

(a

+c)

l

=

(1,2 +1))

l .

a + c

b cos45o

b cos 45o

1,4 cos 45o

1

2

2

Упрощая, получим:

l1 = 2,2

l2 .

Полученная зависимость является условием совместности де-

формаций.

Абсолютные удлинения стержней

выражаем через усилия ,

используя

закон

Гука

и

принимая

во

внимание ,что

E1 = E2 и

F2 =1,3 F1 :

l =

N1 l1

=

N1 a

; l =

N2 l2

=

N2 a

.

E F

E

1,3 F cos 45o

1

E F

2

E F

1

1

1

1

2

2

1

1

Подставив эти

выражения

в условие совместности деформа-

ций, получим:

N1 a

N2 a

= 2,2

E F

E

1,3 F cos 45o

1

1

1

1

и

N1 = 2,4 N2 .

Решая полученное уравнение совместно с уравнением равнове-

сия, определяем усилия в стержнях N1 и N2:

P a −

2,4N

(c +a) − N

sin 45o b = 0;

2

2

5 1,2 −2,4N (1+1,2) − N sin 45o 1,4 = 0;

2

2

N2 = 0,96кН;

N1 = 2,4 N2 = 2,4 0,96 = 2,3кН.

25

Определяем напряжения в стержнях и выбираем большее:

	σ	=		N1	=	2,3 103			;
	1			F1		F1
σ =	N2	=		0,96 103			=	0,74 103		.
2	F2			F1 1,3					F1

Параметр F1 находим из условия прочности первого стержня, так как σ1 больше σ2:

	σ ≤[σ ];	2,3 103	≤136 106 ;F ≥ 0,17 10−4 м2 = 0,17см2.
		F1
	1		1

Площадь сечения второго стержня принимаем в соответствии с заданным соотношением площадей :

F2 ≥1,3 F1 =1,3 0,17 10−4 м2 = 0,22 10−4 м2 = 0,22см2.

3.5.Определение усилия в конструкции, подвешенной на трех стержнях

Пример. Определить усилия в стержнях статически неопределимой системы (рис. 12,a), представляющей абсолютно жесткий брус, подвешенный на трех стержнях. Крайние элементы - стальные, имеющие одинаковую площадь F, средний - медный, площадь

его	сечения F2 = 3F1;P	= 100кH;	модули упругости: стали
E	= 2 1011 Па, меди - E	=1 1011 Па,	длины стержней: l1=0,8 м;
С	М

l2=1,5 м, l3 = 1,0 м; размеры a =1,0 м; b = 0,5 м; c =0,8м.

б)

а)

Рис.12. Статически неопределимая конструкция

26

Решение. Под действием внешней нагрузки стержни системы деформируются и брус AC займет новое положение A1C1. Под действием внутренних растягивающих усилий N1, N2, N3 все три стержня удлинились (рис.12.б.). Пользуясь методом сечений, составляем условия равновесия:

∑Y = 0 : N1 + N2 + N3 −P = 0 , N1 + N2 + N3 =100 103.

∑M A = 0;N2 (a +b) + N3 (a +b +c) − P a = 0

или, подставляя числовые значения:

N2 (1+0,5) + N3 (1+0,5 +0,8) =100 103 ,N2 1,5 + N3 2,3 =100 103.

Из двух уравнений равновесия нельзя определить три неизвестные величины внутренних усилий. Составляем дополнительное уравнение, называемое условием совместности деформаций.

Для этого рассмотрим геометрические соотношения между уд-

линениями стержней (рис. 12.б.):
	l1 − l3		=	l2 − l3	.
	a +b +c
				c

Выражая деформации стержней через усилия, имеем :

						l =				N1l1				;		l =					N2l2				;				l =			N3l3
					1					E F					2					E F									3			E F
										1			1								2	2											3	3
	Тогда:						N1l1						N3l3						N2 l2								N3l3
											−												−
							E F						E F					E F									E F
								1	1				3 3			=					2 2							3	3		.
							(a +b +c)																c
	Подставляя исходные данные, получим:
		N1 0,8	−		N3 1											N2 1,5										−			N3 1
	2	11		2	10			3		F					11						3F							2	11				F
		10 F													1 10														10
		1								1			=									1												1
		(1+0,5 +0,8)																						0,8

0,174 N1 −0,625 N2 +0,41 N3 = 0.

.

,

27

Решая полученную систему уравнений, состоящую из двух уравнений статики и уравнения совместности деформаций, определяем искомые усилия:

N1 = 46 кH; N2 = 29 кH; N3 = 25 кH.

3.6 Подбор площади поперечных сечений стержней из условия их прочности

Пример. В конструкции, нагруженной в узле D силой P = 100 кН и состоящей из трех стержней (рис.13,а), первый и третий стержни стальные, второй - дюралюминиевый. Соотношение площадей их поперечного сечения F1 : F2 : F3 =1: 2 : 2 .

Подобрать площади поперечных сечений стержней из условия их прочности при допускаемых напряжениях: для стали [σ]С = 160

МПа , для дюралюминия [σ]д = 120 МПа. Принять модули упругости для стали EС = 2 1011 Па, дюралюминияEд = 0,7 1011 Па.

Решение. Заданная стержневая конструкция является статически неопределимой, так как в узле D пересекаются линии действия всех трех внутренних неизвестных усилий, а для подобной системы сил статика позволяет составить только два уравнения равновесия. Недостающее уравнение можно получить, рассмотрев возможную деформацию заданной конструкции и записав условие совместной деформации ее элементов.

а) б)

Рис. 13. Расчетные схемы стержневой конструкции

28

Предположим, что стержни под действием внешней нагрузки деформировались и узел D сместился. Новое его положение обозначено на рис. 13,б через D1. Для определения удлинений стержней мысленно разъединим их в узле D и предоставим им возможность свободно деформироваться под действием внутренних усилий. Опустив перпендикуляры из точки D1 на оси стержней, находим длины отрезков DE, DK и DM, которые соответственно равны удли-

нениям l1, l2 и l3.

Из рисунка видно, что все стержни получили положительные удлинения, которым соответствуют растягивающие усилия. Эти усилия на рисунке обозначены N1, N2, N3.

Вырежем узел D (рис.13,б) и составим два условия его равновесия:

∑X = 0; − N1 − N2 cos60o = 0;

∑Y = 0; N2 cos30o + N3 − P = 0.

Отсюда:

N1 = −N2 cos 60o; N3 = P − N2 cos30o.

Для составления уравнения совместности деформаций вновь обратимся к рис.13,б. Проектируя отрезки DM и МD1 = DE на направление стержня BD, устанавливаем соотношение между деформациями всех трех стержней:

l3 cos30°+ l1 cos60° = l2 .

Используя закон Гука и выражая деформации через усилия, получаем уравнение совместности деформаций:

N3 l3		cos30o +	N1 l1		cos 60o =	N2 l2		.
E	F		E	F		E F
3	3		1	1		2	2

Из рис.13,а найдем длины стержней l1, l2, l3: l1 = 1м;

	l =	l1		=	1		= 2м, l = 22	−11	=1,73м.
		cos 60	o		cos 60	o
	2						3

Объединяя уравнения равновесия с уравнением совместности деформаций, записываем систему уравнений с тремя неизвестными, которая после подстановки числовых данных имеет вид:

N1 = −N2 cos 60o; N3 =100 103 − N2 cos30o;

29

N3 1,73

cos 30

o

+

N1 1

cos 60

o

=

N2 2

.

11

11

11

2 10 2F

2 10 F

0,7 10 2

F

1

1

1

Решив систему, получим:

N1 = −9,5 кH;

N2 = 19

кH; N3 = 83,5 кH.

Предположение, что первый стержень растянут, оказалось

ошибочным: стержень сжат силой

9,5 кH.

Подбираем площади поперечного сечения стержней. Определяем площадь сечения наиболее нагруженного стержня из условия его прочности:

			N				83,5 103		−4		2	2
	F3 =		3			=	160 106	=5,2 10		м		=5,2см	.
			[σ]
тогда	F =	F2			= 2,6см2 ,F = F =5,2см2 .
		2
	1						2	3

Вычисляем напряжения в стержнях и сравниваем их с допускаемыми:

σ= N1 = − 9,5 10−34 = −36,5 106 Па = −36,5МПа <160МПа,

(1)F1 2,6 10

σ =	N2	=	19	103		=36,5 106 Па =36,5МПа <120МПа
			5,2	10	−4
(2)	F2

σ= N3 = 83,5 103 =160 106 Па =160МПа =160МПа

(3)F3 52 10−4

3.7Определение напряжений в стальном болте

имедной трубке

Пример. Какие напряжения возникнут в стальном болте и медной трубке (рис.14 ) при повороте гайки на четверть оборота, если длина болта l1 = 100 см, шаг нарезки s = 2,5мм, площадь попе-

речного сечения болта Fб = Fс = 6см2 , площадь поперечного сечения трубки Fт = Fм =12см2 ? Модули упругости стали и меди соответственноравны: Eс = 2 1011 Па,Eм =1 1011 Па.

30

Рис. 14. Болтовое соединение

Решение. При повороте гайки болт будет растягиваться, а трубка сжиматься. Обозначим возникающие при этом внутренние усилия в болте и трубке через N. Численную величину этого усилия можно определить из условия совместности деформаций, состоящее в том, что сумма абсолютного удлинения болта и абсолютного укорочения трубки равна перемещению гайки вдоль оси болта. Учитывая, что длина болта равна длине трубки, запишем условие совместности деформаций:

N l

+

N l

=

s

,

E F

E F

4

с

с

м м

Решив это уравнение, получим:

N =

s Eс Fc

=

2,5 10−3 2 1011 6 10−4

=52380Н =52,38кН

Eс Fc

2 1011 6 10−4

4l 1 +

4l 1

+

Eм Fм

1 1011 12 10−4

Напряжения в поперечных сечениях болта и трубки соответственно равны:

σс =	N	=	52380	=87,3 106 Па =87,3МПа,
			6 10−4
	Fc
				31

	σ	=	N	=	52380	= −43,6 106 Па = 43,6МПа.
			F		12 10−4
	м
			м

3.8 Расчет напряжений при нагружении болта растягивающей силой

Пример. Как изменятся напряжения, вычисленные в предыдущей задаче, если к болту приложить растягивающую нагрузку P =

5кH?

Решение. После приложения к болту растягивающей силы болт удлинится и начальное усилие в нем увеличится. Трубка, ранее сжатая при затягивании гайки, удлинится точно на такую же величину и начальное усилие в ней уменьшится. Обозначим увеличение растягивающей силы в болте через Nб , а через Nм - уменьшение

сжимающей силы в трубке. Тогда уравнение равновесия запишется так:

Nб + Nм =P.

Условие совместности деформаций:

	l	=	l	,		Nб l		=	Nм l		.
	б		м			E	F		E F
						с	с		м м
Подставляя численные значения входящих в уравнение вели-
чин, получим:
	Nб		=				Nм			;Nб = Nм.
	2 1011 6 10−4				1 1011 12 10−4

Решая это уравнение совместно с уравнением равновесия, находим изменение усилий, действующих в болте и трубке:

Nб = Nм = P2 = 5 102 3 = 2,5 103 Н = 2,5кН.

Усилие в болте и трубке после приложения нагрузки 5кH соответственно равны:

Nб* = N + Nб =52,38 +2,5 =54,88кН,

Nм* = N + Nм =52,38 −2,5 = 49,88кН

32