sopromat

l3 =	T3 l3	−αtс l3 to =	T3 2	−−12,5 10−6 2 30o.
			2 1011 5,25 10−4
	E3 F3

После подстановки найденных суммарных удлинений в уравнения совместности деформаций, получим:

T1 =1,84 T2 −53500;

T3 =110000 −1,2 T2 .

Решая эти уравнения совместно с уравнением статики, находим усилия, возникающие в стержнях при их нагреве:

T1 =15500 H =15,5 кH; T2 =37300 H =37,3 кH; T3 =65000 H =65 кH.

5.Примеры решения задач для конструкций

струбчатым поперечным сечением

5.1.Расчет растягивающих напряжений в поперечном сечении тонкого кругового кольца

Пример. Определить наибольшие растягивающие напряжения в поперечном сечении тонкого кругового кольца (рис.21,а), внутренний диаметр которого равен 20см, ширина 2см, а толщина равна 3см. По окружности кольца действуют равномерно распределенные радиальные силы интенсивностью q = 5кH/м.

а)	б)

Рис. 21. Расчетные схемы вычисления наибольших растягивающих напряжений

Решение. Силы, действующие по окружности кольца, вызывают его равномерное удлинение. Для определения растягивающих

43

усилий мысленно рассечем кольцо по его диаметру и рассмотрим равновесие одной из частей (рис.21,б). Элементарная сила, дейст-

вующая на дуге ds равна dQ = q r dϕ , где dϕ - центральный

угол, соответствующий дуге ds, r - радиус оси. В поперечном сечении кольца действуют внутренние силы N. Проектируя силы, приложенные к верхней половине полукольца на вертикальную ось Y, получим:

− 2 N + π∫q r sinϕ dϕ = 0;N = qr = 5 11,5 10−2 = 0,575кН

o

Напряжения в поперечном сечении кольца:

σ= N = 0,575 103 = 96 104 Па F 6 10−4

5.2Определение напряжений в составной трубке при изменении температуры

Пример. Медная трубка плотно надета на стальную трубку при температуре t1° = 300° (рис.22) таким образом, что при этом

никакого давления между трубками не существует.
	Определить напряже-
	ния, возникающие в меди и
	стали	при охлаждении
	трубок	до	температуры
	to = 20o .		Внешний диа-
	метр стальной трубки dc =
	20см, толщина стальной
	трубки hc = 1см, медной -
Рис. 22. Схема определения напряжений	hм = 2см.		Модули упруго-
	сти для стали и меди со-
при охлаждении трубки	от-

ветственно равны: Eс = 2 106 МПа, Eм =1 106 МПа . Коэффициент линейного расширения меди αt =16,5 10−6 ,

стали –αt =12,5 10−6.

44

Решение. Вследствие разницы в коэффициентах линейного расширения для стали и меди при охлаждении возникает давление между внешней и внутренней трубками. Обозначим через q давление на 1м2, тогда растягивающее напряжение в медной трубке

σм

=

q dc

2

hм

Сжимающее напряжение в стальной трубке:

σс

=

q

dc

2

hм

Давление q найдется из условия, что при охлаждении обе труб-

ки имеют одно и то же укорочение:

αм (t1

−t2 ) −

q dc

=

αс (t1

−t2 ) −

q dc

2 Eм hм

2

Eс hс

откуда:

1

(αм −αс ) (t1 −t2 ) Eм hм

q dc =

2

1 +

hм

Eм

hс

Eс

Напряжения в поперечном сечении медной трубки:

σ

=

q dc

=

(αм −αС ) (t1 −t2 ) Eм hм

=

м

2 h

hм

Eм

м

1

+ h

E

с

с

=

(16,5 10−6 −12,5 10−6 ) (300 −20) 1 1011

=16 106 Па =16МПа .

1+

2

1 1011

1

2 1011

Напряжения в поперечном сечении стальной трубки:

σ

с

=σ

м

hм

= −16

2

= −32МПа,σ

м

=

q dс

.

h

1

2

h

с

м

Сжимающее напряжение в стальной трубке:σс = q dс . 2 hс

Давление q найдется из условия, что при охлаждении обе трубки имеют одно и то же укорочение:

45

α

м

(to −to) −

q dс

=α

с

(to

−to) +

q dс

1

2

2 Eм hм

1

2

2 Eс hс

откуда:

q d

c

=

(α

м

−α

с

) (to

−to) E

м

h

м

1

2

2

1+

hм

Ем

h

E

c

с

Напряжения в поперечном сечении медной трубки:

σм

=

q d

с

=

(α

м

−α

с

) (to

−to) E

м

=

1

2

2 hм

1+

hм Ем

h E

c

с

=

(16 10−6 −12 10−6 ) (300 −20) 1 1011

=16 106 Па =16МПа

1+

2

1 1011

1

2 1011

Напряжения в поперечном сечении стальной трубки:

σ

с

=σ

м

hм

=16

2

=32МПа.

1

h

с

6.Примеры задач для самостоятельного решения

встатически определимых и неопределимых системах

Предлагаемый читателю краткий сборник задач по сопротивлению материалов представляет собой дополнение к пособию и предназначен, в основном, для студентов дневных факультетов. Часть задач пособия выдается студентам для самостоятельного решения при сдаче зачетов и защите расчетно-проектировочных работ.

Все задачи пособия снабжены ответами, что позволяет учащимся проверить правильность их решения. В пособии, в отличие от большинства имеющихся задачников, не рассматриваются методы решения задач. Студенты, желающие научится решать типовые задачи, отсылаются к первой части пособия.

По степени сложности большинство задач рассчитано на среднего студента и не требует трудоемких вычислительных работ. При составлении пособия авторы использовали имеющуюся учебную литературу.

46

По нашему мнению, предлагаемый задачник позволит учащимся при подготовке к сдаче экзамена более рационально использовать имеющееся в их распоряжении время и сконцентрировать свое внимание на решении именно типовых задач изучаемого курса.

Авторы надеются, что данное пособие будет полезным также студентам, совмещающим работу на производстве с учебой.

6.1.Статически определимые системы

1.Чугунная колонна высотой 3 м кольцевого поперечного сечения с наружным диаметром 25 см и внутренним диаметром 20 см нагружена сжимающим усилием 50 кН. Найти напряжение в поперечном сечении, абсолютное и относительное укорочение колонны.

Ответ:σ = −28,3МПа; l = 0,71мм;ε = 2,36 10−4.

2.Определить допустимую нагрузку на деревянную стойку круглого поперечного сечения диаметром 20 см, если сжимающее напряжение в ней не должно превышать 40 МПа.

Ответ: 125,7 кН.

3.Изображенный на рисунке стальной стержень имеет в

правой части сплошное круглое, а в левой - кольцевое сечение. Определить напряжения в обеих частях стержня и его полное удлинение.

Ответ: В левом участке σ = 53,1МПа, в правом участке

σ =39,7МПа; l = 0,132мм.

4. Полиэтиленовая трубка кольцевого поперечного сечения имеет наружный диаметр 5 см. Она растянута силой 2,4 кН. Определить необходимую толщину стенки, если допускаемое напряжение

[σ]=34 МПа. Ответ: 5мм.

47

5. Под воздействием приложенной нагрузки стержень удлиняется на 0,2 мм. Модуль упругости алюминия принять

равным. 0,75 1011 Па, а бронзы - 1,1 1011 Па. Определить величину нагрузки Р.

Ответ: Р=37,3 кН.

6. Сила Р = 100 кН нагружает конструкцию, как показано на рисунке. Все стержни одинакового поперечного сечения, состоящего из двух равнобоких уголков 80× 80×8. Определить напряжения в стержнях.

Ответ:σAB =30,5 МПа;

σAC = 40,6 МПа; σBC = −50,9 МПа;

σCD = −30,5 МПа.

7.На тягах 1 и 2 круглого сечения горизонтально подвешен брус, деформацией которого можно пренебречь. На каком расстоянии а от тяги 1 должен быть помещен груз Р, чтобы и после деформации брус остался горизонтальным? Какие в этом случае будут напряжения в тягах, если Р = 30 кН ?

Ответ: а = 0,91 м;

σ1 = 33 МПа;

48

σ2 = 44 МПа.

8. На рисунке показана схема подъемного крана. Его оттяжка AB представляет из себя трос с поперечным сечением 500 мм2. Допускаемое напряжение для материала троса равно 80 МПа. Какой максимальный груз можно поднимать краном, при котором прочность оттяжки будет обеспечена?

Ответ: 66,7 кН.

9. К двум стержням подвешен груз Р. Стержень 1 круглого поперечного сечения диаметром 30 мм с допускаемым напряжением материала 160 МПа, а стержень 2 тоже круглого поперечного сечения диаметром 40 мм с допускаемым напряжением материала 60 МПа. Какой наибольший груз Р может выдержать эта конструкция?

Ответ: Р=130 кН

10. Вдоль оси ступенчатого алюминиевого бруса приложены сосредоточенные силы P1 = 30 кН, P2=80кН, Р3 =110кН . Длины участков равны: l1=25см, l2=35см, l3=40 см. Соответствующие площади поперечных сечений: F1 = 2см2, F2 = 3 см2, F3=3,5 см2. Модуль продольной упругости (модуль Юнга) для алюминия принять Eа = 0,7 105 МПа . Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

49

6.2.Статически неопределимые системы

11.Короткая деревянная колонна

сечением 25×25 см, усиленная четырьмя стальными уголками 40×40×4 мм, сжимается силой Р, передающейся через абсолютно жесткую плиту. Вычислить, какая часть силы воспринимается угол-

ками, если для стали Ест=2 1011 Па, а для дерева Ед=1 1010 Па.

Ответ: Nст=0,28Р.

12. Для конструкции предыдущей задачи определить допустимую величину силы Р, если допускаемое напряжение для стали равно 160 МПа, а для дерева - 12 МПа.

Ответ: Р = 697 кН

13. Определить усилия в сечениях I и II стержня, показанного на рисунке.

Ответ: NI = 1011 P,NII = −111 P.

14. Жесткий брус закреплен с помощью системы стержней одинакового поперечного сечения и одного материала. Принимая Р = 180 кН и [σ]=160

МПа, определить площадь поперечного сечения стержней.

Ответ: F = 9 см2

50

15. Три стержня, шарнирно скрепленных в одной точке, имеют одинаковое поперечное сечение. Определить площадь поперечного сечения, принимая [σ]=160 МПа.

Ответ: F = 3 см2

16. Жесткая конструкция прикреплена к фундаменту при помощи шарнира и двух стержней.

Стержень 1 - стальной [σ]с = 160 МПа, стержень 2- чугунный [σ]ч=100 МПа.

Их площади сечений соответственно равны

Fc=30 см2 и Fч=50 см2. Определить максимальную допустимую нагрузку Р. Ответ: Р = 1125 кН

.

17. Изображенный на рисунке стержень нагревается на to= 40. Определить наибольшее по абсолютной величине напряжение, если стенки, между которыми расположен стержень, абсолютно неподатливы. Принять a =0,5 м, температурные коэффициенты

линейного расширения стали α– =125 10−7 , меди α“ =165 10−7 , модули упругости: стали Ест=2 1011 Па, меди Ем=1 1011 Па.

Ответ: наибольшее по абсолютной величине напряжение

σ =102 МПа.

51

18. Определить напряжения в I, II, III сечениях стержня . Плоскости А и В абсолютно неподатливы. Принять a = 0,5м, F=100 cм2, Р = 1500 кН,

δ=0,1мм, модули упругости: стали Ест=2 1011 Па, меди Ем=1 1011 Па.

Ответ: σI = 23,8 МПа; σII = 47,5

МПа,

σIII = −102,5 МПа.

19.Жесткий брус, кроме шарнирной опоры, поддерживается двумя

стальными тягами одинакового поперечного сечения площадью 40 см2. После установки тяг их температура повысилась на 20 градусов. Опреде-

лить напряжения в тягах.

Ответ: σ1 = −47 МПа; σ2 = −54,2 МПа

20.Жесткий брус подвешен на трех стальных стержнях одинакового поперечного сечения площадью 20 см2. Средний стержень короче проектного размера на δ = 0,5 мм. Определить на-

пряжения в стержнях после сборки конструкции.

Ответ: σ1 = −14,3 МПа; σ2 = 71,5 МПа, σ3 = −42,9 МПа.

52