sopromat

4. Примеры решения типовых задач при сборке стержневых конструкций

4.1 Определение напряжения после сборки конструкции

Пример . В конструкции, рассмотренной в п.3.6, первый стержень изготовлен короче проектного размера на величину δ = 1мм. Требуется определить напряжения в стержнях, возникающие после ее сборки.

Решение. При сборке заданной конструкции для соединения стержней в узле D первый стержень необходимо растянуть, так как он короче проектного размера. Очевидно, силы упругости, возникающие в этом стержне при растяжении, будут стремиться вернуть его в первоначальное состояние, тем самым, деформируя остальные стержни конструкции. Таким образом, монтаж конструкции приводит к возникновению во всех трех стержнях внутренних (монтажных) усилий. Предположим, что после сборки узел D занимает новое положение D1 (рис.15). Опустив перпендикуляры из точки D1 на оси стержней, находим их абсолютные удлинения l1, l2 и l3.

Рис. 15. Схема определения напряжений в конструкции после сборки

Из рис.15 следует, что первый стержень растянут, а два других сжаты. Усилия в стержнях обозначены через N1 ,N2 и N3 .

Уравнения равновесия узла после сборки имеют вид:

∑X = 0; − N1 + N2 cos60o = 0;

∑Y = 0 : − N2 cos30o − N3 = 0.

33

Очевидно, что условие совместности деформаций получим, проектируя отрезки DM, DW, и AD на ось второго стержня:

	l2 = (δ −			l1 ) cos 60o		+ l3 cos 30o.
Выразив удлинения				стержней через внутренние усилия, полу-
чим:
	N2 l2	= δ −		N1 l1	cos 60o +		N3 l3	cos 30o.
	E2 F2
				E1 F1			E3 F3
Объединяя уравнения равновесия и уравнение совместности
деформаций, получаем систему трех						уравнений с тремя неизвест-

ными:

−N1 + N2 cos60o = 0;

−N2 cos30o − N3 = 0;

N2 l2	=	δ −	N1 l1		cos 60o +	N3 l3	cos 30o.
E2 F2
			E1 F1			E3 F3

Подставляем числовые значения в третье уравнение и решаем систему уравнений:

N2 2

=

0,7 1011 5,2

10−4

N3

1,73

N1 1

cos60o +

= 0,001

−

cos30o.

2

1011

2,6

10−4

2 1011 5,2 10−4

Решив систему, находим внутренние усилия в стержнях:

N1 = 2,985 кH ; N2 = 5,97 кH ; N3 = −5,17 кH .

Результаты расчета показывают ,что третий стержень не сжат,

арастянут.

4.2Расчет усилий в стержневой конструкции после её сборки

Пример. Абсолютно жесткий брус BD (рис.16) опирается на шарнирно неподвижную опору и поддерживается тремя стержнями, из которых первый изготовлен из дюралюминия, а второй и третий - из стали. Площади их поперечных сечений соответствен-

но равны: F1 = 10,5 см2, F2=7,9 см2, F3 = 5,25 см2.

При сборке конструкции обнаружилось, что третий стержень длиннее проектного размера на величину δ = 1мм. Определить усилия, возникающие в стержнях после сборки (монтажные усилия).

34

Модули	упругости для стали E	= 2 1011 Па, дюралюминия -
	С–
E = 0,7	1011 Па
д

Рис.16. Конструктивная схема сборочной конструкции

Решение. Так как третий стержень длиннее проектного размера, то для соединения его с брусом в шарнире D этот стержень необходимо сжать. Вследствие сжатия в нем возникают внутреннее усилие N3, которое стремится восстановить его первоначальные размеры. Это, в свою очередь, вызывает поворот бруса вокруг шарнира A и , как следствие этого, сжатие первого и второго стержней, в результате чего в них возникнут внутренние усилия, обозначенные

через N1 , N2 .

Схематическое изображение конструкции после деформации ее элементов (называемое иногда планом предполагаемых перемещений), показано на рис.17.

Составим уравнение равновесия бруса, находящегося под действием сил N1, N2, N3:

∑M A = 0;N1 sinα 4,5 + N2 sin β 1,5 − N3 1,5 = 0;

Находим величины углов α и β:

tgα = 12,2 =1,66,α =59o;tgβ = 12,8 =1,11,β = 48o.

35

Рис. 17. Расчетная схема конструкции после сборки

Длины стержней:

l1 = cos1,592 o = 2,35м,l2 = cos1,848o = 2,68м

С помощью плана предполагаемых перемещений устанавливаем соотношения между деформациями стержней.

Из подобия треугольников BB1A и CC1A, а так же CC1A и DD1A следует:

BB1

=

4,5

=

3;

CC1

=

1,5

=1.

1,5

DD1

1,5

CC1

Учитывая, что:

l1

l2

BB1

=

;CC1 =

;DD1 = δ − l3 ,

sinα

sin β

имеем:

	l1		l2
	sin 59o	= 3;			=1.
			sin 48o (δ −	l3 )
	l2
	sin 48o
Упрощая, получим:
l1 = 3,46		l2 ;	l2 = sin 48o (δ − l3 ).
			36

Выражая деформации стержней через действующее в них уси-

лия, получаем:
	N1 l1		N2	l2		N2 l2		δ −	N3 l3
		= 3,46			;		= sin 48o			.
	E1 F1		E2 F2			E2 F2
									E3 F3

После подстановки числовых значений:
		N1 2,35			= 3,46		N2 2,68			;
		0,7 1011 10,5 10−4				2 1011 7,9 10−4
	N2 2,68							N3 2
				= sin 48o 0,001 −							.
							2	1011 7,9	10−4
	2 1011 7,9 10−4
Упрощая последние алгебраические выражения, находим зави-
симости между усилиями в стержнях:
			N1 = 1,87 N2 ,			N3 = 52500 − N2

Решая эти уравнения совместно с уравнением равновесия, находим величины внутренних усилий в стержнях:

N1 = 15кH; N2 = 8кH; N3 = 44,5кH.

4.3 Вычисление напряжений в стальном брусе, возникающие при его нагреве

Пример. Стальной брус, жестко закрепленный обоими кон-

цами в неподвижных опорах (рис.18,а), нагревается на 40o по сравнению с температурой, при которой брус был закреплен. Вычислить напряжения, возникающие в поперечных сечениях бруса при

его нагреве, если модуль упругости стали Eс = 2 106 МПа, коэффициент ее линейного расширения αt =12,5 10−6 .

а)

б)

Рис.18. Схемы расчета напряжений в брусе при его нагреве

37

4 10−4

Решение. При нагреве брус стремиться удлиниться и вследствие этого оказывает давление на заделки, в которых возникают опорные реакции RA и RD ,равные по величине внутренним усилиям в брусе. Для их нахождения составляем уравнение равновесия:

∑X = 0 :RA − RD = 0.

Из уравнения равновесия следует, что RA = RD и данная конструкция статически неопределима. Для составления уравнения совместности деформаций мысленно отбросим правую заделку. Тогда брус получит возможность свободно удлиняться вдоль своей оси

(рис. 18,б) на величину	l	=α	t	(2a +b) to. Под действием внут-
	t

ренней силы N, равной по величине опорной реакции, брус должен сжаться на такую же величину, так как заделки считаются абсолютно жесткими и расстояние между ними не может изменяться:

N = t.

Преобразовываем полученное уравнение совместности деформаций:

			RD 2a	+		RD b		= αt (2a +b) to .
			E F2			E F1
Подставив числовые значения , получим :
RD 2 0,4	+		RD 0,3				= 12,5 10−6 (2 0,4 + 0,3) 40o.
2 1011 6 10−4		2 1011 4 10−4

Отсюда RD = 50800H = 50,8 кH.

Напряжения в поперечных сечениях крайних частей бруса:

	σAB = σCD =	RD	= −	50,8 103	= −84,7	106	Па = −84,7 106 МПа
		F2		6 10−4

Напряжения в поперечных сечениях средней части бруса:

σBC = RD = −50,8 103 = −127 106 Па = −127 106 МПа.

F1

4.4 Расчет усилий в стержнях при изменении температуры одного из них

Пример. В конструкции, состоящей из трех стержней (рис.19,а), крайние стержни стальные, а средний медный. После сборки медный стержень нагрет на 40°. Вычислить усилия в стержнях, вызванные изменением температуры среднего стержня.

38

Площадь поперечного сечения медного стержня F2 = 4 см2, стальных - F1 = F3 =5 см2, модули упругости для стали и меди соот-

ветственно равны: E = 2 106	МПа,	E	м	=1 106	МПа. Коэффици-
с
ент линейного расширения для меди αt		=16,5 10−6 .

Решение. Как было установлено ранее (см. решение задачи 3.6), заданная конструкцияодинразстатическинеопределима. Мысленно разъединим стержни в узле D и предоставим медному стержню свободно удлиняться при его нагреве. В результате повышения температуры средний стержень станет длиннее на величину l2t. Соединяя все три стержня в узле D, мы вынуждены сжать нагретый стержень, что приведет к возникновению в стальных стержнях внутренних усилий и узел переместится в точку D1 (рис.19,б). Опустив перпендикуляры из точки D1 на оси стержней, находим длины отрезков D M, DK и DE , которые соответственно равны удлинениям l1, l2 и l3.

а)

б)

Рис.19.Схемы расчета усилий в стержневой конструкции после нагрева

Из рисунка видно, что стальные стержни получили положительные удлинения, которым соответствуют растягивающие усилия, а медный стержень сжат. Внутренние усилия в элементах конструкции обозначены T1, T2, T3.

Для узла D составим два условия его равновесия:

∑X = 0 :−T1 +T2 cos60o = 0;

∑Y = 0 :−T2 cos30o +T3 = 0.

39

Из этих уравнений следует :

T1 = 0,5 T2 ; T3 = 0,86 T2 .

Для составления уравнения совместности деформаций спроектируем отрезки DM = ED1 и DE на направление стержня BD:

l cos60o +	l	3	cos30o =	l	2t	−l	2T	,
1

где: l2t − удлинение второго стержня, вызванное его нагрева-

нием,

l2T − удлинение второго стержня, вызванное внутренним

усилием T2.

Выражая деформации стержней через усилия, получаем:

T1 l1

cos60o +

T3 l3

cos30o =α

t

tol

−

T2 l2

.

E

F

E

F

2

E

2

F

1

1

3

3

2

Объединяя уравнения равновесия с уравнением совместности деформаций и подставляя числовые значения имеем:

T1 = 0,5 T2 ,.

T3 = 0,86 T ,

	T1 1	cos60	o	+		T3 1,73	cos30		o	=.
	2 1011 5 10−4				2 1011 5 10−4
	=16,5 10−6 40o			2 −		T2 2		.
					1 1011 4 10−4
Решив систему, получим: T1 = 10 кH ; T2 = 20 кH ;										T3 = 17кH.

4.5. Определение внутренних усилий в стержнях при нагревании конструкции

Пример. Жесткий брус BD опирается на шарнирно неподвижную опору и поддерживается тремя стержнями (рис.20,а). Первый стержень дюралюминиевый, второй и третий - стальные. Площади поперечных сечений соответственно равны: F1 = 10,5см; F2 = 7,9см; F3 = 5,25cм.

40

Найтивнутренниеусилиявстержняхприихнагреваниина30°. Модули упругости: для стали Eс = 2 1011 Па, для дюралюми-

ния - Eд = 0,7 1011 Па, коэффициент линейного расширения для стали αtс =12,5 10−6 , для дюралюминия -αtд = 25 10−6 ..

а)	б)

Рис.20. Схемы определения внутренних усилий после нагрева конструкции

Решение. Вследствие нагрева стержни стремятся удлиниться, однако их температурные деформации стеснены. В результате такого стеснения в стержнях возникают внутренние усилия.

Разъединим мысленно брус и стержни в шарнирах B, C и D и предоставим стержням возможность свободно удлиняться от нагревания. Эти удлинения обозначим l1t, l2t и l3t. Очевидно, что при попытке вновь присоединить нагретые и деформированные стержни к брусу BD придется эти упругие элементы конструкции деформировать. На рис.20,б показано положение жесткого бруса BD после нагревания стержней.

Обозначим:

T1,T2,T3 − внутренние усилия и стержнях;

l1t,	l2t,	l3t	−	удлинения стержней вследствие их нагревания;
l1T,	l2T,	l3T −		деформации стержней от действия
				внутренних усилий;
l1,	l2,	l3	−	суммарные (результирующие) деформации
				стержней.

Из рис.20,б очевидно, что:

l1 = l1t − l1T ; l2 = l2 t − l2T ; l3 = l3t − l3T .

41

Из плана предполагаемых перемещений (рис.20,б) следует, что все стержни рассматриваемой конструкции сжаты.

Запишем уравнение равновесия:

∑МА = 0; T1 sinα 4,5 +T2 sin β 1,5 −T3 1,5 = 0.

Зависимость между деформациями стержней устанавливаем из подобия треугольников BB1A и CC1A :

AC:AB = CC1:BB1;

Отрезки CC1 и BB1 соответственно равны:

BB	=	l1	;CC	=	l2	.
		sinα
1			1		sin β

После подстановки числовых значений получаем первое условие совместности деформаций:

	1,5		l2
		= sin β ; l =3,46			l	.
	4,5	1			2
			l2

sinα

Примечание: Величины углов α и β были найдены ранее при

решении задачи из раздела 4.2.

Из подобия треугольников ACC1 и ADD1 следует:

CC1 : AC = DD1 : AD .

Отрезок DD1 = l3 .После подстановки числовых значений получаем второе условие совместности деформаций:

l3 =1,35

l2 .

Вычисляем суммарные удлинения стержней:

l1

=αtд l1

to −

T1 l1

= 25 10−6 2,35 30o −

T1 2,35

;

E1 F1

0,7

1011 10,5 10−4

l2

=αtс l2

to −

T2 l2

=12,5 10

−6

2,68 30o −

T2

2,68

;

E2 F2

2 1011

7,9 10−4

42