Раздел VI: Формулы полной вероятности и Байеса.

Формула полной вероятности.

Предположим, нам нужно определить вероятность события A. Опыт может закончиться одной из гипотез H₁, H₂, …, H_n, вероятность которых P(H_i) нам известны (гипотезы должны образовывать полную группу несовместных событий: , если ij, ). Вероятности появления событияA при условии наступления каждой гипотезы нам известны: P(A|H_i). Тогда вероятность события A вычисляется по формуле полной вероятности:

.

Пример 1: В тире имеются пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу.

Решение: A={стрелок попал}. Введем гипотезы: H_i={стрелок выбрал i-ое ружье (i=1, 2, 3, 4, 5)}. Очевидно эти события несовместны (стрелок может выбрать только одно из ружей) и образуют полную группу событий (стрелок обязательно выберет одно из этих пяти ружей). Найдем вероятности гипотез. Так как шансы быть выбранным у каждого ружья одинаковы, то P(H_i)=1/5=0,2 (i=1, 2, 3, 4, 5). Вероятности попадания в цель при выборе i-го ружья заданы по условию задачи: P(A|H₁)=0,5; P(A|H₂)=0,6; P(A|H₃)=0,7; P(A|H₄)=0,8; P(A|H₅)=0,9.

Тогда .

Пример 2: При помещении в урну n шаров (из них m белых, остальные черные) один шар затерялся. Цвет его неизвестен. Теперь в урне осталось n-1 шаров. Какова вероятность вытащить белый шар?

Решение: A={вытащенный шар – белый}.

Если бы мы точно знали цвет утерянного шара, то вычислить вероятность события A не составило бы труда. Введем следующие гипотезы: H₁={утерянный шар белый}, H₂={утерянный шар черный}. Эти два события действительно являются гипотезами, поскольку, они несовместны (утерянный шар не может быть одновременно белым и черным) и образуют полную группу событий (утерянный шар может быть либо белым, либо черным).

;

.

Замечание: поскольку цвет утерянного шара неизвестен, то вероятность вытащить белый шар не изменится.

Пример 3: В первой партии деталей содержится N деталей, из которых n – бракованных. Во второй партии деталей содержится M деталей, из которых m – бракованных. Из первой партии берут K деталей (K<N), а из второй партии L деталей (L<M) и образуют новую партию из K+L деталей. Из новой партии берут одну деталь. Какова вероятность, что эта деталь бракованная?

Решение:

A={выбранная деталь бракованная}

Введем гипотезы:

H₁={деталь ранее принадлежала I партии}; H₂={деталь ранее принадлежала II партии}.

Найдем вероятность первой гипотезы. В новой III партии K деталей из I партии и L деталей из II партии. Тогда вероятность того, что взятая из III партии деталь, ранее была в I партии равна . Аналогично.

Найдем вероятность события A при наступлении каждой гипотезы.

P(A|H₁) – вероятность того, что извлеченная из III партии деталь бракованная, если мы точно знаем, что она ранее принадлежала I партии (то есть это одна из K деталей). Таким образом, задача определения P(A|H₁) сводится к примеру 4 раздела 3:

. Аналогично .

Тогда .

Формула Байеса

Представим себе следующую ситуацию. До опыта о его исходах можно было сделать ряд гипотез H₁, H₂, …, H_n. Вероятность гипотез до опыта известны (априорные вероятности). Теперь предположим, что опыт произведен, и в его результате появилось событие A. Нужно пересмотреть вероятности гипотез с учетом этого факта. Другими словами, найти априорные вероятности гипотез при условии, что опыт дал результат A. Ответ на этот вопрос дает формула Байеса:

(i=1, 2, …, n)

Пример 4: На фабрике машины № 1, 2 и 3 производят соответственно 25%; 35% и 40% всех изделий. В их продукции брак составляет в среднем 5%, 4% и 2% соответственно. Выбранное наугад изделие оказалось дефектным. Найти вероятность того, что оно было произведено машиной № 1.

Решение: Если задача решается с помощью формулы Байеса, то сначала записывается событие, которое уже произошло A={выбранное изделие дефектное}. Затем вводятся гипотезы, причем так, чтобы одна из них была интересующим нас событием. Нас интересует событие H₁={изделие было произведено машиной №1} (при условии, что произошло событие A). Теперь необходимо дополнить гипотезу H₁ другими гипотезами так, чтобы они образовывали полную группу несовместных событий: H₂={изделие было произведено машиной №2} и H₃={изделие было произведено машиной №3}.

P(H₁)=0,25; P(H₂)=0,35; P(H₃)=0,4;

P(A|H₁)=0,05; P(A|H₂)=0,04; P(A|H₃)=0,02.

Тогда .

Пример 5: Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени. Вероятность попадания первого p₁=0,8, второго p₂=0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.

Решение: A={в мишени ровно одна пробоина}

H₁={первый стрелок попал в мишень}; H₂={первый стрелок промахнулся}.

P(H₁)=p₁=0,8; P(H₂)=1–p₁=0,2.

Найдем вероятность события A при наступлении гипотезы H₁: P(A|H₁). Если мы точно знаем, что первый стрелок попал в мишень, то в ней будет одна пробоина, только когда второй стрелок промахнулся. Тогда P(A|H₁)=1–p₂=0,6. Аналогично P(A|H₂)=p₂=0,4. Тогда