Задачи к разделу I:

1. В меню санатория 11 наименований блюд, из которых можно выбирать на свой вкус по 3 блюда каждый день. Сколько дней человеку понадобится пробыть в санатории, чтобы ни одно из сочетаний блюд не повторилось?

2. Сколько различных вариантов хоккейной команды можно составить из 9 нападающих, 5 защитников и 3 вратарей, если в состав команды должны войти 3 нападающих, 2 защитника и 1 вратарь?

3. Сколькими способами можно упорядочить множество {1; 2;…;2n} так, чтобы каждое четное число имело четный номер?

4. Алхимик использует семь ингредиентов для приготовления эликсира жизни. Сколько существует различных порядков вливания их в сосуд?

5. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные пятизначные числа без повторяющихся цифр.

   1. Сколько всего получится таких чисел?

   2. Сколько среди них будет начинаться с цифры 5?

6. Каждый из 9 человек обменялся рукопожатиями с восемью остальными. Сколько было рукопожатий?

7. Сколько диагоналей имеет выпуклый 15-угольник; выпуклый n-угольник?

8. Из отряда солдат в 50 человек назначаются в караул 4 человека. Сколькими способами это можно сделать? Сколько среди них таких, что в число караульных попадет рядовой Иванов?

9. На флагштоке 5 мест и 5 флагов: 2 красных и 3 белых. Сколько различных сигналов можно изобразить, используя все флаги одновременно?

10. В шахматном кружке 12 юношей и 8 девушек. Для участия в соревнованиях из них нужно составить команду, в которую должны войти 9 юношей и 3 девушки. Сколькими способами это можно сделать?

11. Сколькими способами группу из 12 юношей и 8 девушек можно разбить на две группы по 10 человек так, чтобы в каждой из образовавшихся групп оказалось по 4 девушки?

12. Имеется 6 видов бокалов и рюмок, которые ставятся на стол на званом ужине: бокал для шампанского, лафитная рюмка, рюмка для рейнвейна, мадерная рюмка, фужер, водочная рюмка. Все бокалы и рюмки устанавливают в один ряд. Сколько способов их постановки существует? (правилами этикета пренебречь).

13. Сколькими способами можно упорядочить множество {1; 2;…;n} так, чтобы числа 1; 2; 3 стояли рядом и в порядке возрастания?

14. Жил-был странный правитель. Решил он своих подданных различать не по именам, а по зубам. Себе все 32 зуба оставил, как и были, белыми. Ближайшим подданным повелел один зуб на разных позициях окрасить в черный цвет, чтобы их отличать. Далее шли вассалы с двумя черными зубами на разных позициях, и так далее. В самых низших слоях были люди с одним белым зубом на разных местах, и был один только с черными. Сколько было подданных у правителя?561

15. Из вершины прямого угла внутри него проведено 5 лучей. Сколько острых углов образовалось при этом? (Углы образуются не только между смежными углами, но и между любой парой лучей, включая стороны прямого угла).

16. В коробке 5 леденцов разного цвета: красного, оранжевого, желтого, зеленого, розового. Какова вероятность вытащить леденцы именно в таком порядке, если после каждого вынимания их возвращают обратно в коробку.

17. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные пятизначные числа без повторяющихся цифр.

    1. Сколько чисел будет оканчиваться комбинацией 41?

    2. Сколько получится четных и сколько нечетных чисел?

18. Сколько трёхзначных чисел без повторяющихся цифр можно записать, используя цифры (ноль на первом месте стоять не может):

а) 1; 2; 3; 4; 5; б) 0; 1; 2; 3; 4; 5?

19. На собрании членов кооператива присутствуют 20 человек. Сколькими способами из присутствующих можно выбрать:

    1. правление кооператива в составе 5 человек

    2. председателя правления, его заместителя и бухгалтера?

20. Правление коммерческого банка выбирает из 8 кандидатов трёх человек на различные должности (все 8 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по 3 человека (на различные должности) можно составить из 8 кандидатов?

21. Имеется пять видов конвертов без марок и четыре вида марок одного достоинства. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?

22. Группа студентов из 30 человек решила обменяться фотокарточками. Сколько фотокарточек понадобится для этого?

23. Автоматическая система состоит из пяти параллельно соединенных узлов. По тем или иным причинам за времяТ каждый из этих узлов, независимо от остальных узлов, может выйти из строя. Сколько существует различных вариантов состояния системы к моменту времени Т? Сколько среди них таких, для которых хотя бы один узел оказывается не вышедшим из строя?

24. Сколькими способами можно 20 шахматистов разбить на две группы по 10 человек так, чтобы двое наиболее сильных шахматистов оказались:

    1. в разных группах;

    2. в одной группе?

25. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра меньше предыдущей? (Подсказка: Любые k различных цифр можно расположить в порядке возрастания или в порядке убывания единственным образом).