1.4. Диаграммы Венна

Операции множеств и связанные с ними соотношения представляются наглядно с помощью диаграмм Эйлера-Венна (названных по имени русского математика Леонарда Эйлера (1707-1783 гг.) и английского логика Джона Венна (1834-1923 гг.). На этих диаграммах любые множества изображаются кругами, пересекающими друг друга, исходя из того, что внутренними точками круга изображаются элементы множества. Общей частью двух кругов, пересекающих друг друга, представляются возможные общие элементы двух множеств. Универсальное множество изображается в виде прямоугольника.

AB

1.5. Основные законы теории множеств

1. Коммутативность операций и:

а) AB=BA; б) AB=BA

2. Ассоциативность операций и:

а) A(BC)=(AB) C; б) A(BC)=(AB) C

3. Законы идемпотентности операций и:

а) AA=A; б) AA=A

4. Законы дистрибутивности:

а) A(BC)=(AB)(AС); б)A(BC)=(AB)(AС)

5. Законы поглощения:

а) A(AB)=A; б) A(AB)=A

6. Законы де Моргана:

а) ; б)

7. Законы пустого и универсального множеств:

A= A A=  A=

AU=U AU= A A=U

8. Закон двойного отрицания:

Пример 12.[6, 8] Доказать, что относительно данного универсального множестваUдополнениелюбого множества, если, единственно.

Для доказательства единственности дополнения множествапредположим, что существует два множестваBи C, каждое из которых удовлетворяет требованиям дополнения множестваA, т.е. их пересечение сAпусто, а объединение сAдаетU:

а) ; б);

в) ; г).

Очевидно, что . С учетом условия г). Так как, то с учетом условия а).

Аналогично исходя из условий в), б) получим:

.

Итак, мы получили, что и. Так как(коммутативность операции пересечения), то, что и требовалось доказать.

1.6. Декартово произведение и отношения

Декартовым или прямымпроизведением множествA₁,A₂, ... ,A_nназывается множество {(x₁,x₂,...,x_n)|x₁A₁,x₂A₂, ... ,x_nA_n}, обозначаемое черезA₁A₂...A_n, или.

Если A₁=A₂=...=A_n, то множествоA₁A₂...A_n называетсяn-й декартовой степеньюмножестваAи обозначаетсяAⁿ. Положим, по определениюA⁰=.

Если хотя бы одно из множеств A_iпусто, тоA₁A₂...A_n=.

Пример 13. ПустьA={1,2},B={a,b},C={c,d},D={d |dN и x<3},Q=. Найти AB, BA, AD, DA, A², ABC, (AB)C, A(BC), (AQ)C, A(QC).

AB = {(1, a), (2, a), (1, b), (2, b)}.

BA = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}.

Определим множество D, задав его перечислением:D={1,2}. Так как D=A, то AD = DA = A². Далее по определению операции «» получаем:

AD = DA = A² = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2)}.

ABC = { (1, a, c), (2, a, c), (1, b, c), (2, b, c),

(1, a, d), (2, a, d), (1, b, d), (2, b, d) }.

(AB)C = { ((1, a), c), ((2, a), c), ((1, b), c), ((2, b), c),

((1, a), d), ((2, a), d), ((1, b), d), ((2, b), d) }.

A(BC) = { (1, (a, c)), (2, (a, c)), (1, (b, c)), (2, (b, c)),

(1, (a, d)), (2, (a, d)), (1, (b, d)), (2, (b, d)) }.

Для определения множеств (AQ)C иA(QC) необходимо вначале определить множестваAQиQC. Так как множествоQпустое, то и множестваAQиQCтоже будут пустыми, так как вQне найдется элементов, чтобы поставить их в пару к элементам множествAиC. Следовательно,

AQ=QC=(AQ)C=A(QC)=. 

Из этого примера видно, что в общем случае (AB)CA(BC),ABBA, следовательно,не обладает свойством ассоциативности и коммутативности.

N-местным отношением (соответствием) P, или n-местным предикатом Pна множествахA₁,A₂, ... ,A_n, называется некоторое подмножество прямого произведенияA₁A₂...A_n. Элементыx₁,x₂, ... ,x_n(гдеx₁A₁,x₂A₂, ... ,x_nA_n) называются связанными соответствиемPтогда и только тогда, когда (x₁,x₂, ... ,x_n)P. ЕслиA₁=A₂=...=A_n=A, т.е.PAⁿ, то чаще используется термин «отношение». В этом случае говорят, что P –n-местное отношение (предикат) на множестве A. Если жеA₁A₂...A_n, то обычно используют термин «соответствие». Примерами соответствий являются: функции, отображения, преобразования, операции и др. Наиболее используемыми являются унарные и бинарные отношения (соответствия).

При n = 1 отношениемPявляется подмножеством множестваAи называетсяунарным (одноместным) отношением (или соответствием), илисвойством, на множествеA. Это означает, что в множествоPпопадут только те элементы множестваA, которые обладают указанным в отношении признаком.

При n = 2 отношениеPназываетсябинарным (двухместным) отношением (или соответствием).

Бинарные отношения используются для определения каких-то взаимосвязей, которыми характеризуются пары элементов множества, т.е. если отношение Pопределено на множествеAB(PAB), то это значит, что в множествоPпопадут только те пары множестваAB, между элементами которых имеет место указанное отношение.