m2var08

Вариант № 8

В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить дифференцированием.

1.

sin xdx

подведение под

1

−

1

∫

=

= −

∫(3 + 2cos x) 3 d(3+ 2cos x) =

3

3+ 2cos x

знак дифференциала

2

3

2

3

+ С = −

3

= −

(3+ 2cos x)3

(3 + 2cos x)2

+ С .

4

4

′

3

2

3

2

−

1

sin x

Проверка:

−

(3 + 2cos x)3

+

С

= −

(3 + 2cos x) 3 2(−sin x)− =

.

4

4

3

3

3

+ 2cos x

sin xdx

3

Ответ:

= −

3

(3+ 2cos x)2 + С .

3 3 + 2cos x

4

2.

∫x ln2 xdx . Интегрируем дважды по частям: ∫u dv = uv − ∫v du .

ln2 x = u,

du = 2ln x

dx

ln x = u,

du =

dx

∫x ln2 xdx =

x

=

x2

ln2 x − ∫xln xdx =

x2

=

x

2

xdx = dv,

v =

2

xdx = dv,

v =

x

2

2

=

x2

ln2 x −

x2

ln x +

1

∫x2

dx

=

x2

ln2 x −

x2

ln x +

x2

+ C =

x2

(2ln2 x − 2ln x +1) + C .

2

2

2

x

2

′

2

4

4

x2

2x

x2

1

Проверка:

(2ln2 x

− 2ln x +1) + C

=

(2ln2 x − 2ln x +1) +

(4ln x −

2)

= xln2

x .

4

4

4

x

Ответ: ∫xln2 xdx =

x2

(2ln2 x − 2ln x +1) + C .

4

3.

∫

2x − 5

dx =

∫

2x +1− 6

dx =∫

d(1− x − x2

)

dx − 6∫

dx

=

1− x − x2

1− x − x2

1− x − x2

5/ 4 − (x2 + x +1/ 4)

− 6∫

dx

− 6arcsin

x +

1/ 2

+ C =

= −2 1− x − x2

= − 2

1− x − x2

5/ 4 − (x +1/ 2)2

5 / 2

− 6arcsin

2x

+

1

+ C .

= −2 1− x − x2

′

5

2x +1

Проверка: − 2

1− x − x2 − 6arcsin

+ C =

5

= −2

− 2x −1

− 6

2

1

=

2x +1

−

12

=

2x − 5

.

2

2

5

2

2

1− x − x

2

2 1− x − x

1−

(2x +1)

1− x − x

5 − 4x − 4x −1

5

Ответ: ∫

2x − 5

− 6arcsin

2x

+

1

+ C .

dx = −2

1− x − x2

1− x − x2

5

∫

2x4 + 8x3 + x2 + x − 20

4.

dx . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную

x

3

(x + 5)

часть на простые дроби. ∫

2x4

+ 8x3 + x2 + x − 20

∫[2 +

− 2x3 + x

2 + x − 20

dx =

3

]dx .

x

3

(x

+ 5)

x

(x + 5)

− 2x3 + x2 + x − 20

=

A

+

B

+

C

+

D

=

Ax2 (x + 5) + Bx(x + 5)

+ C(x + 5)

+ Dx3

x3 (x +

x3

x + 5

x3 (x + 5)

5)

x x2

Ax2 (x + 5) + Bx(x + 5) + C(x + 5) + Dx3

= −2x3 + x2 + x − 20 . Полагаем

x = 0,

получим

C = −4. Из

равенства x = −5

следует

D = −2. Приравнивая

коэффициенты

при x3 ,

получим A + D = −2 . Или A = 0. Приравнивая коэффициенты при

x2 , получим A + B = 1.

Или

B = 1.

Таким

образом,

∫

2x4

+ 8x3 + x2 + x − 20

dx = ∫[2 +

1

4

2

1

2

−

−

]dx = 2x −

+

− 2ln

x + 5

+ C

x

3

(x + 5)

x

2

x

3

x + 5

x

x

2

Проверка:

′

1

2

1

4

2

2x4 +10x3

+ x2 + 5x − 4x − 20

− 2x3

2x −

+

− 2ln

x

+ 5

+ C = 2 +

−

−

=

=

x x2

x2

x3

x + 5

x3

(x + 5)

=2x4 + 8x3 + x2 + x − 20 . x3 (x + 5)

Ответ: ∫

2x4

+ 8x3 + x2 + x − 20

1

2

dx = 2x −

+

− 2ln

x + 5

+ C .

x

3

(x

+ 5)

x

x

2

5. ∫

dx

. Вычисляем интеграл с помощью разложения на простые дроби.

x

3

+ x

2

+ 2x +

2

∫

dx

= ∫

dx

.

1

=

A

+

Bx + C

=

x

3

+ x

2

+ 2x

+ 2

(x

2

+ 2)(x

+

1)

(x

2

x +1

x

2

+ 2

+ 2)(x +1)

=

A(x2

+ 2) + (Bx + C)(x +1)

A(x2 + 2) + (Bx + C)(x +1) = 1. Полагая x = −1, получим

(x2 +

2)(x +1)

A = 1/3 . Приравняем коэффициенты при x2 : A + B = 0 B = −1/ 3. Приравняем

коэффициенты при x : B + C = 0 C = 1/ 3. Следовательно,

∫

dx

=

∫

[

1

−

1

x

−1

]dx =

1

ln

x

+1

−

1

ln(x2

+ 2) +

1

arctg

x

+ C =

3

2

2

x

+ x

+ 2x

+

2

3(x +1) 3 x

+ 2

3

6

3 2

2

=

1

ln

x +1

+

1

arctg

x

+ C .

x2 + 2

3

3

2

2

Проверка:

′

2x

x +1

x2 + 2 − (x +1)

2

+ 2

2

1

1

x

1

x

2

x + 2

ln

+

arctg

+ C

=

+

2

x +1

2

+ 2

3

x + 2

3 2

2

3

x

+

1

1

1

=

1

x2 + 2 − x2 − x

+

1

x +1

=

1

.

(x +1)(x2

+

3 2

1+

x

2

2

3

2)

3

(x +1)(x2

+ 2)

(x

+1)(x2

+ 2)

2

Ответ: ∫

dx

=

1

ln

x +1

+

1

arctg

x

+ C .

3

+ x

2

+ 2x +

x2 + 2

x

2 3

3 2

2

6. ∫ x + 4xx3 dx . Интегрируем с помощью замены переменной.

∫

x

dx

=

x = t4 , dx = 4t3dt

= ∫

t2

4t3dt

= 4∫

t2dt

= 4∫

[t −1+

1

]dt

=

4

3

x

+ 4 x3

t

+ t

1

+ t

1

+ t

t2

= 4(

− t + ln

t +1) + C = 2t2 − 4t + 4ln

t +1

+ C = 2 x − 4 4 x + 4ln

4 x +1

+ C .

2

Проверка:

(2

+ C)′ =

− 4 4

+ 4ln

4

+1

1

− 4

1

x−3/ 4 + 4

1

1

x−3/ 4 =

(1+ 4 x)x3

/ 4

− x

(1+ 4 x) + x

x

x

x

x

4

1

+ 4 x 4

x(1+ 4 x)x3/ 4

=

x3/ 4 + x − x − x3/ 4 + x

=

x

=

x

.

x(1+ 4 x)x3/ 4

x(1+ 4 x)x3/ 4

4 x3 + x

Ответ: ∫

x

dx = 2 x − 4 4

x + 4ln

4 x +1

+ C .

x + 4

x3

7. ∫

dx

. Интегрируем с помощью замены переменной.

x2

4 − x2

∫

dx

1

dx

= −∫

dt

= −∫

tdt

1

∫

d(4t2 −1)

=

=

t =

, dt = −

,

= −

2

x2 4 − x2

x

x

4 −1/t2

4t2 −1

8

4t2 −1

1

1

4 − x2

= −

4t2

−

1 + C = −

4/ x2 −

1 + C = −

+ C .

4

4

4x

′

−

2x x

− 4 − x2

2

2

4 − x

1

2

4 − x

1

Проверка:

−

+ C

= −

=

.

2

4x

4

x

x

2

4 − x

2

Ответ: ∫

dx

= −

4 − x2

+ C .

4 − x2

4x

x2

8. ∫cos4xcos7xdx . Интегрируем после предварительных преобразований.

∫cos4xcos7xdx =

1

∫[cos3x + cos11x]dx =

1

sin 3x +

1

sin11x + C

2

6

22

− ∫sin2 x dx = tg x − x −

1

∫(1− cos2x) dx =tg x −

3

x +

1

sin 2x + C .

2

2

4

Проверка:

′

1

1

1

1

1

11

− 3

11

+ 3

sin 3x +

sin11x

+ C

=

cos3x +

cos11x =

2cos

x cos

x = cos4xcos7x

6

22

2

2

2

2

2

.

Ответ: ∫cos4xcos7xdx =

1

sin 3x +

1

sin11x + C .

6

22

dx

9. ∫ 4sin x + 3cos x +1. Интегрируем с помощью замены переменной.

t = tg

x

,

dx =

2dt

,

∫

dx

=

2

1+ t2

= ∫

2dt

=

4sin x + 3cos x +1

sin x =

2t

=

1− t

2

8t

3(1− t

2

)

, cos x

+

+1 (1

+ t2 )

2

2

2

2

1+ t

1+ t

+ t

1+ t

1

=

2∫

dt

=2∫

dt

=∫

dt

=∫

dt

=∫

dt

=

8t

+ 3− 3t

2

+1+ t

2

8t

+

4 − 2t

2

4t

+ 2

− t

2

6 − (t

2

−

6 − (t −

2)

2

4t + 4)

tg(x / 2) − 2 +

=

1

ln

t − 2 +

6

+ C =

1

ln

6

+ C .

t − 2 − 6

tg(x / 2) − 2 − 6

2 6

2 6

Проверка:

′

1

tg(x / 2) − 2 + 6

1

1

1

1

ln

+ C

=

[

−

]

=

tg(x / 2) − 2 − 6

6 tg(x / 2) − 2 +

6 tg(x / 2) − 2 −

6 2cos

2

(x / 2)

2 6

2

=

1

tg(x/ 2) − 2 − 6 − tg(x / 2) + 2 − 6

1

=

2 6

(tg(x / 2) − 2)2

− 6

2cos2 (x / 2)

=

1

1

=

1

=

6 − (tg2 (x / 2) − 4tg(x / 2) + 4)2

2cos2 (x / 2)

4cos2 (x / 2) − 2sin2 (x/ 2) + 8sin(x / 2)cos(x / 2)

=

1

=

1

.

2cos x + (1+ cos x) + 4sin x

4sin x + 3cos x +1

dx

tg(x / 2) − 2 +

Ответ: ∫

=

1

ln

6

+ C .

4sin x

+ 3cos x +

1

tg(x / 2) − 2 −

2

6

6

Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.

∞

x

3

a

x

3

1

a

dx

4

1

a

10.

∫

dx

= lim

∫

dx =

lim

=

lim arctg x4

x

8

+1

a→∞

x

8

+1

4

a→−∞ ∫

(x

4

)

2

+1

4

a→−∞

1

1

1

1

∞

x3

π

Интеграл сходится.

Ответ: ∫

dx =

. Интеграл сходится.

x

8

+1

16

1

=1 (π − π ) = π .

4 2 4 16

1

dx

1

dx

1

x−1/ 3dx =

3

limx2 / 3

1

=

3

11.

= lim

= lim

. Интеграл сходится.

∫3

x

α →0

∫ 3

x

α →0

∫

2

α →0

α

2

0

α

α

1

dx

3

Ответ: ∫

=

. Интеграл сходится.

3

0

x

2

Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.

y

= −x2 + x + 3 = f

1

(x)

12.

.

Найдём точки пересечения

= −x = f2 (x)

y

линий:

− x2 + x + 3 = −x x2 − 2x − 3 = 0 x = −1, x

2

= 3.

1

Тогда

x2

3

S = ∫[ f1 (x) − f2 (x)]dx = ∫[−x2 + x + 3 + x]dx =

x1

−1

3

x

3

3

`1

`32

2

= ∫[3+ 2x −x2 ]dx = [3x + x2 −

]

= 9 + 9 − 9 + 3−1−

=

= 10

−1

3

−1

3 3

3

. Ответ: S = 10 2 . 3

	16
	12
	8
	4
1	0	1	2	3

13. ρ = 6sin3ϕ . Это трёхлепестковая роза и																																																																						90
		ρ = 3, ρ ≥ 3																																																																120										6					60
окружность. Найдём точки пересечения линий:																																																												150																4																30
6sin3ϕ =										3 sin 3ϕ										=		1		3ϕ						= kπ + (−1)												k π											6 sin(3α)																							2
																						2																				6																		180																	0																	0
ϕ =							kπ				+ (−1)k							π																																			3
																				. Вычислим площадь для одного																																								210
								3							18																																																																											330
лепестка и утроим её (ϕ0 =																										π				, ϕ1				=			5π
																																								):																										240															300
																																					18																																	270
																								18																																																					α
								ϕ1
					1																										3	5π /18
S = 3								∫		[ρ 2 (ϕ) − ρ 2 (ϕ)]dϕ =																									∫	[36sin2 3ϕ − 9]dϕ =
																														2
					2					2										1
								ϕ	0																								π /18
	27		5π /18																						27			5π /18																				27									1									5π /18																					2π
																																																																															27															3
=					∫[4sin2 3ϕ −1]dϕ =																									∫[2(1− cos6ϕ) −1]dϕ =																				[ϕ −									sin 6ϕ]											=																[				+							] =
2				π /18																				2				π /18																			2						3													π /18															2 9													3
= 3π +						9				3			. Ответ: S = 3π +																9			3			.
								2																						2
																																										y = ln(x2 −1)
				14. Вычислите длину дуги кривой (L):																																									≤ x ≤								.
																																										2					3
		x2														3																										3	x4 − 2x2 +1+ 4x2																	3							x2 +1
L = ∫							1+ y′2 dx = ∫													1+ [2x /(x2												−1)]2 dx = ∫																												dx = ∫																dx =
																																													(x	2		−1)				2															x		2	−1
		x													2																											2																		2
			1
	3 x2 −1+ 2																							x −		1				3										2			1				1						3							3
= ∫															dx =(x + ln													)		=				1+ ln							− ln				= 1+ ln(										) = 1					+ ln				.
				x	2			−		1														x +																4			3
2																										1				2																	2 1													2
Ответ: L = 1+ ln																	3		.
															2
																																																								y = 2x ,												вокруг оси OX.
				15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S)
																																																								y = x +1

Найдём точки пересечения линий:
2x = x +1		x = 0, x			2	= 1.
		1													2
	x2					1
V = π ∫(y22 −y12 )dx = π ∫[(x +1)2 − 22x ]dx =
	x1					0
(x +1)3			1			1									1.5
				22x ]			= π (	8	−		1	−	2	+	1
= π[		−	ln 2												) =
	3	2				0		3 3 ln 2 2ln 2
7	−	3					7	−			3		).		1	0.5	1
= π (		).	Ответ: V = π (												0
3	2ln 2						3			2ln 2

y = 3(1

− cost)

≤ t ≤ 2π

16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L)

, 0

x = 3(t

− sint)

(циклоида) вокруг оси OX.

x2

2π

P = 2π ∫ y(t) x′2

+ y′2 dt = 2π ∫3(1− cost)

9(1− cost)2 + 9sin2 t dt =

x1

0

2π

2π

t

2π

t

= 18π ∫(1− cost)

dt = 18π ∫2sin2

4sin2 (t / 2)

dt = 72π ∫sin3

dt =

2(1− cost)

2

0

0

0

2

	2π	t		t		t		1		t			2π
	= −144π ∫(1− cos2		)d cos		dt = −144π[cos		−		cos3		]
	0	2	2		2		3			2			0

= −144π[−1−1+ 1 + 1] = 192π . . 3 3

Ответ: P = 192π .

Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей

математике.

17. ∫

cosaxdx

. По справочнику находим:

∫

cosaxdx

= −

1

1± sin ax

.

ln

sin ax(1± sin ax)

sin ax(1± sin ax)

a

sin ax

Ответ: ∫

cosaxdx

= −

1

1± sin ax

. (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие

ln

sin ax(1± sin ax)

sin ax

a

математические формулы.)

∞

cosax − cosbx

∞

18. ∫

dx . По справочнику находим:

∫

cosax − cosbx

dx = ln

b

, (a,b > 0)..

0

x

0

x

a

∞

− cosbx

Ответ: ∫

cosax

dx = ln

b

, (a,b > 0).

0

x

a

19. Найдите силу давления воды на вертикальную площадку, огораниченную

эллипсом с осями 2a и 2b, центр которого погружён в

воду на уровень h, причём большая ось 2a эллипса

b

параллельна уровню жидкости (h≥b).

x2

y2

-a

h

Уравнение эллипса

+

= 1, если начало

x

a

2

b

2

y a

координат находится в центре эллипса. Площадь

элементарной площадке на уровне y , будет равна

-b

2a

dS = 2xdy =

b2 − y2 dy . Давление на эту

b

2a

элементарную площадку будет равно dP =

b2 − y2 (h − y)dy . Следовательно,

b

b

2a

y = bsint, dy = bcostdt,

2a

π / 2

P = ∫

b2 − y2 (h − y)dy =

=

b2 ∫cos2 t(h − bsint)dt =

b

b

2

− y

2

= bcost

−b

b

−π / 2

h

π / 2

cos

3

t

π / 2

h

1

π / 2

= 2ab[

∫(1+ cos2t)dt + b

= 2ab[

(t +

sin 2t)

+ 0 = abhπ . Ответ: P = abhπ .

2

−π / 2

3

−π / 2

2

2

−π / 2

20. В цилиндрическом сосуде объёмом V

0

= 0.1 м3 находится воздух под давлением

P = 1.033 кг/см2, который подвергается сжатию быстрым давлением поршня. Какую

0

работу нужно совершить, чтобы сжать в сосуде воздух до объёма V = 0.03 м3?

По закону Бойля-Мариотта VP = V P = Const , т.е. P =

V0 P0

. Пусть дно цилиндра

0

0

V

расположено в точке x=0, в точке x=x0 – начальное положение поршня, x – текущее

положение поршня, x1 – конечное положение поршня.. Тогда

V

0

= πR2 x

0

, V = πR2 x,V = πR2 x

. Из этого следует, что dV = πR2dx . В положении

1

1

поршня x давление на поршень составит величину πR2

V0 P0

. Таким образом, на участке

V

(x, x+dx) необходимо совершить работу dA = πR2

V0 P0

dx = πR2

V0 P0

dV

= V

P

dV

.

πR2

V

V

0 0

V

Следовательно,

	V0			dV			V0	dV			V	0.1		10
A =	∫				= V P		∫		= V P lnV		V1	= 0.1 1.033104 ln		= 1033 ln		= 1244
		V P									0
		0	0	V	0	0		V	0	0		0.03		3
	V						V
	1						1

Ответ: A = 1244 кГм.