m2var05

Вариант № 5

В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить дифференцированием.

∫

sin xdx

подведение под

= −∫

d cos x

1.

=

= − ln

cos x +

cos2 x + 2

+ C .

Проверка:

cos2 x + 2

знак дифференциала

cos2 x + 2

′

1

2cos xsin x

2

− ln

cos x

+

cos

x +

2

+ C

= −

− sin x −

= .

cos x +

cos

2

x +

2

2

cos

2

x + 2

=

1

sin x(

cos2 x + 2 + cos x)

=

sin x

cos x +

cos2 x + 2

cos2 x + 2

cos2 x + 2

Ответ: ∫

sin xdx

= −ln

cos x +

cos2 x + 2

+ C .

cos2 x + 2

2.

∫arctg

1

dx . Интегрируем по частям: ∫u dv = uv − ∫v du .

x

1

arctg

1

= u, du = −

1

dx

= −

dx

1

xdx

arctg

dx =

+1/ x2

+ x2

= x arctg

+

=

x

1

x2

1

∫

x

∫1+ x

2

x

dx = dv,

v = x

=x arctg 1 + 1 ln(1+ x2 ) + C . Проверка: x 2

	1		1							2				′			1			1							1					1				2x	1
x arctg		+				ln(1			+ x		)	+ C			= arctg				+ x							−					+						= arctg
																				1+1/ x2							x2									+ x2
	x 2						x ′											x														2	1					x
											2					x						x						1							x
+ (xln3 − 2)					3		2		] =					[ln3 3		2	+ (xln3			− 2) 3		2		ln3					] = x 3						2	.
										ln		2	3														2

Ответ: ∫arctg 1dx = x arctg 1 + 1 ln(1+ x2 ) + C .

xx 2

				3. ∫												x + 4																	dx =						1			∫							(4x − 3) +19																							dx =								1		∫		d(2x2 − 3x + 5)														dx +					19	∫						dx				=
													2x2 − 3x + 5
																																					4													2x2 − 3x + 5																							4															2x2 − 3x + 5								2												2x2 − 3x + 5
		1																+			19					∫																			dx																							=					1																			+	19			∫								dx
=					2x2 − 5x +1																																																																									2x2 − 5x +1																																		=
2																4																	2(x2 −									3				x				+			9				) +						31										2																			4		2							(x −			3	)		2	+	31
																																										2											16										8																																									4					16
		1																					19															3
																			+											ln				x −						+ (x −																		3			)2 +								31						+ C =								1															+
=					2x2 − 3x + 5																																																																																					2x2 − 3x + 5
2																4										2											4																					4									16															2
	19											3					1
+							ln		x −						+										2x2 − 3x + 5																				+ C .
4				2							4					2
											1																										19																					3									1																										′
Проверка:																2x2 −										3x + 5 +																							ln			x −											+														2x2					− 3x + 5									+ C			=
											2																																															4
																																					4					2																									2
																																				1+						1																				4x − 3
									4x − 3																																																																																			4x − 3
=		1																							+		19															2 2																2x2 − 3x + 5																							=				1																	+
																																										3											1
		2 2 2x2 − 3x + 5																								4 2																																																											2 2 2x2 − 3x + 5
																																				(x −											)			+													x		2		− 3x + 5

4 2

+

19

2 2 2x2 − 3x + 5 + 4x − 3

1

=

4x − 3

+

19

=

2 4x − 3 + 2 2 2x2 − 3x + 5 2 2 2x2 − 3x + 5 4 2x2 − 3x + 5 4 2x2 − 5x +1

=

x + 4

.

2x2

− 3x + 5

Ответ: ∫

x + 4

1

19

3

+

1

ln

x −

dx =

2x2

− 3x + 5 +

2x2

− 3x + 5

+ C .

2x2 − 3x + 5

2

4 2

4

2

∫

x

3

+

3x

2

+ 8x +12

4.

dx . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную часть на

2

(x

+ 4x + 4)(x −1)

простые дроби. ∫

x3 + 3x2 + 8x +12

=

∫

x3 + 3x2 − 4 + 8x +

16

dx =∫[1+

8

]dx

dx

2

3

+ 3x

2

− 4

(x + 2)(x −1)

(x

+ 4x + 4)(x −1)

x

8

=

A

+

B

=

A(x −1) + B(x + 2)

A(x −1) + B(x + 2) = 8.

Полагаем

x = −2,

(x + 2)(x −1)

x + 2

x −1

(x + 2)(x −1)

получим

A = −8/3.

Из

равенства

x = 1

следует

B = 8/ 3.

Таким

образом,

3

+ 3x

2

+ 8x +12

8

8

1

1

8

x −1

∫

x

dx = ∫[1+

]dx = x +

∫[

−

]dx =x +

ln

+ C

(x

2

(x + 2)(x −1)

x

−

1

x +

2

+ 4x + 4)(x −1)

3

3

x + 2

Проверка:

′

+

8

x −1

8

1

1

3(x + 2)(x −1) +

8(x + 2 − x +1)

x2

+ x + 6

x

ln

+ C

=

1+

[

−

]

=

=

=

x + 2

−1

x + 2

3(x + 2)(x −1)

(x + 2)(x −1)

3

3

x

=

x2

+ x + 6

=

x2 + x

−

2 + 8

=

1+

8

.

x2

+ x −

2

x2

+ x − 2

(x

+ 2)(x −1)

Ответ: ∫

x

3

+

3x

2

+ 8x +12

dx = x +

8

ln

x

−1

+ C .

(x

2

+ 4x + 4)(x −1)

3

x + 2

5.

∫

dx

. Разлагаем подинтегральную дробь на простые дроби.

x

3

+ 8

∫

dx

= ∫

dx

.

x

3

+ 8

(x + 2)(x

2

− 2x + 4)

1

=

A

+

Bx + C

=

A(x2 − 2x + 4) + (Bx + C)(x + 2)

x3

+

8

x

+ 2

x

2 −

2x +

4

(x + 2)(x2

− 2x + 4)

A(x2

− 2x + 4) + (Bx + C)(x + 2) = 1.

Полагаем

x = −2,

получим

A = 1/12 . Приравнивая

коэффициенты при

x2 , получим A + B = 0 . Или B = −1/12 . Приравнивая коэффициенты при

x ,

получим

− 2A + 2B + C = 0.

Или

C = 1/3.

Таким

образом,

dx

1

1

x − 4

1

1

2x − 2

3

∫

=

∫[

−

]dx =

[ln

x + 2

−

∫

dx

+ ∫

dx

=

x

3

2

x

2

− 2x

+

4

2

x

2

− 2x +

4

(x

−1)

2

+ 3

+ 8 12

x +

12

=

1

[ln

x + 2

−

1

ln(x2

− 2x + 4) +

3

arctg

x −

1

+ C =

1

ln

(x + 2)2

+

1

arctg

x −1

+ C

12

2

3

3

24 x2 − 2x + 4 4 3

3

Проверка:

′

1

(x + 2)

2

1

x

−

1

1

1

2x − 2

1

1

1

ln

+

arctg

+ C

=

−

+

=

2

2

2

24

x

− 2x + 4

4

3

3

12(x + 2)

24 x

− 2x

+ 4

4 3

1+ (x −1)

/3

3

=

1

−

1

x

−1

+

1

3

=

1

x2 − 2x + 4 − (x + 2)(x −1) + 3(x + 2)

=

1

.

12(x + 2)

12 x2

−

2x +

(x + 2)(x2 − 2x + 4)

x3

+ 8

4

12 x2 − 2x + 4

12

Ответ: ∫

dx

=

1

ln

(x + 2)2

+

1

arctg

x −1

+ C .

3

+ 8

2

x

24 x

− 2x + 4 4 3

3

6. ∫

dx

. Интегрируем с помощью замены переменной.

x (4

x3

− 4 x)

x = t

4

, dx = 4t

3

3

−1

4

−1

∫

dx

=

= ∫

4t dt

= 4∫

dt

= 4

1

ln

t

+ C = 2ln

x

+ C

2

3

2

2

t +1

4

x

(4 x3 − 4 x)

x = t

(t

− t) t

t

−1

2

x +1

1

1

2 4

= 4(−

t

+

∫

dt

) = 4(−

t

−

) + C = C −

x

−

2

.

2(1

+ t)

2

2

(1+ t)

2

2(1+ t)

2

+

4

2

+

4

(1

x)

x)

2(1+ t)

(1

Проверка:

′

1

−

3

4

4

x

−1

4

x

+1

x

−3/ 4

(

4

x

+

1) / 4 − x

−3/ 4

(

4

x −1)/ 4

x

1

2ln

+ C

= 2

= 2

2

=

=

4

x +1

4

x

−1

(

4

x

+1)

2

x −1

4

3

( x −1)

x

=1

x(4 x3 − 4x)

1				−		3										−	3								1			−		3								1		−	3								−	3						1	−	3
				x 4				(1+ 4					x) − x 4					4 x									x	4								−			x		4 (1+ 4 x) + x 4										4			x +			x 4 (1+ 4 x)
	2																								2													2																		2
−																					+												=																													=
									(1+ 4 x)3																+ 4 x)2																								(1+ 4 x)3
																					(1
=							1						. Ответ: ∫												dx												= 2ln					4			x −1			+ C .
				+																																							4
					4			x)		3	x																																		x +1
(1																						x (4 x3 − 4 x)

7. ∫ x xdx2 −1 . Интегрируем с помощью замены переменной.

2

2

∫

dx

= ∫

xdx

=

t 2

= x2

−1, tdt

= xdx,

= ∫

tdt

=

1

arctg t + C =

+1

2

+1) t

x x2 −1

x2

x2 −1

(t

x

= t

2

2x

′

2

x2−1

x

1

= arctg x2 −1 + C . Проверка: (arctg x2

−1 + C) =

=

=

.

1+ x2 −1 x2

x2−1 x x2−1

Ответ: ∫ x xdx2 −1 = arctg x2 −1 + C .

8. ∫ctg4 x dx . Интегрируем с помощью замены переменной. 2

∫ctg4

x

dx =

ctg

x

= t, dx = −

2dt

= −2∫

t4

dt = −2∫(t2

−1+

1

)dt =

2

1+ t

2

1

+ t

2

2

2

1+ t

= −2(

t3

− t − arctg t + C = −

2

ctg3

x

+ 2ctg

x

+ x + C .

3

3

2

′

2

2

3

x

x

2

2 x

1

1

1

1

Проверка: −

ctg

+ 2ctg

+ x + C

=

3ctg

− 2

+1 =

3

2

2

3

2

sin2

(x/ 2)

2

sin2 (x / 2) 2

= (ctg2

x

−1)

1

+1 =

1

−1 =

cos(x / 2) − sin2 (x / 2) + sin4 (x / 2)

=

cos4 (x / 2)

=

2

sin2

sin4

sin4 (x / 2)

sin4

(x / 2)

(x / 2)

(x / 2)

= ctg4

x

.Ответ: ∫ctg4

x

dx = −

2

ctg3

x

+ 2ctg

x

+ x + C .

2

2

3

2

2

9. ∫

dx

. Интегрируем с помощью универсальной подстановки.

3

+ 5cos x

t = tg

x

,

dx =

2dt

dx

1+ t2

dt

dt

dt

∫

=

2

= 2∫

=2∫

=∫

=

3 + 5cos x

1− t

2

1− t

2

3 + 3t

2

2

4 − t

2

cos x =

(1+ t2 )(3+ 5

)

+ 5 −

5t

1+ t2

1+ t2

=

1

2 + t

+ C =

1

2 + tg(x / 2)

+ C .

ln

ln

2 − t

2 − tg(x / 2)

4

4

Проверка:

′

1

2 + tg(x

/ 2)

1

1

1

1

1

1

1

1

ln

+ C

=

+

=

4

2 − tg(x

/ 2)

4

2 + tg(x / 2

cos

2

(x / 2)

2 4

2 − tg(x / 2

cos

2

(x / 2)

2

=	1			2 − tg(x / 2) + 2 + tg(x / 2)		=		1			1			=	1							1			=
8				[4 − tg2 (x / 2)]cos2 (x / 2)				2 4cos2 (x / 2) − sin2					(x / 2)	2				3cos2 (x / 2) + cos x
=	1			1	=	1					. Ответ: ∫		dx		=		1				2	+ tg(x / 2)		+ C .
																			ln
				(3/ 2)(1+ cos x) + cos x			3 + 5cos x															− tg(x / 2)
2												3	+ 5cos x				4			2

Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость. 10.

∞

b

b

+ 2

b

π

π

dx

dx

dx

1

x

1

∫

= lim

∫

= lim

∫

=

=

+

x

2

+ 4x + 9

x

2

+ 4x

+ 4 + 5

(x + 2)

2

+ 5

lim

arctg

5

5

(

)

−∞

a→−∞

a

a→−∞

a

5 a→−∞

2

2

b→∞

b→∞

b→∞

a

1

(π + π ) = π

∞

dx

= π

=

. Интеграл сходится.

Ответ: ∫

2

. Интеграл сходится.

5 2 2

5

−∞ x

+ 4x + 9

5

π / 4

x 2

π / 4

dx

2

= 1 limln tg x

π / 4

= 1 (lntg π − limlntg ε ) = −∞ .

11. ∫

dx = 1 lim

∫

2

0

sin x

2 ε →0

ε

sin x

2

ε →0

2

ε

2

8

ε →0

2

π / 4

x

Интеграл расходится. Ответ: ∫

2 dx . Интеграл расходится.

0

sin x

Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.

y = 4 − x2 = f

(x)

12.

1

. Найдём точки пересечения

y = x2 − 2x = f

2

(x)

4

линий: 4 − x2

= x2

− 2x x2

− x − 2 = 0 x

= −1, x

2

= 2.

1

Тогда

2

x2

2

S = ∫[ f1 (x) − f2 (x)]dx = ∫[4 − x2 − (x2 − 2x)]dx =

x1

−1

2

3

2

1

0

1

2

= ∫[4 + 2x −2x2 ]dx = [4x + x2 − 2x

] =

−1

3

−1

= 8 + 4 − 16 + 4 −1−

`2 = 9 . Ответ: S = 9.

2

3

3

90

13. ρ = 4sin3ϕ

.. Это трёхлепестковая роза и окружность.

ρ = 2, (ρ ≥

2)

Найдём точки пересечения линий:

180

0

0

2

4

270

4sin3ϕ = 2 sin3ϕ =

1

3ϕ = kπ + (−1)k

π ϕ =

kπ

+ (−1)k

π

. Вычислим площадь для

2

6

3

18

одного лепестка и утроим её:

1

ϕ 2

5π /18

S = 3

∫[16sin2 3ϕ − 4]dϕ = 6 ∫[4cos2 3ϕ −1]dϕ =

2

ϕ

π /18

1

5π /18

5π /18

1

5π /18

2π

3

= 6 ∫[4cos2 3ϕ −1]dϕ = 6

∫[2(1− cos6ϕ) −1]dϕ = 6[ϕ −

sin 6ϕ]

= 6[

+

] =

3

π /18

π /18

3

π

/18

9

=

4

π + 2

. Ответ: S =

4

π + 2

3

3 .

3

3

y2

= x3

.

14. Вычислите длину дуги кривой (L):

0 ≤ x ≤ 4/3

Линия имеет две одинаковые по длине ветви: y2

= x3 y = ± x3

Найдём

производную функции для положительной ветви: 2yy′ = 3x2

y′ =

3x2

=

3

x . Вся длина

2y

2

равна удвоенной длине положительной части:

x2

4 / 3

4/ 3

1

2

4/ 3

L = 2∫ 1+ [y′]2 dx = 2 ∫

1+ [3

/ 2]2 dt = ∫

dx =

(4 + 9x)3/ 2

x

4 + 9x

=

x1

0

0

9

3

0

=

2

(64 − 8) =

112

. Ответ: L =

112

.

27

27

27

y = 2(1− cost)

≤ t ≤ 2π

15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S)

, y = 0, 0

x =

2(t − sint)

(циклоида) вокруг оси OX.

t2

2π

2π

V = π ∫ y2 (t)dx(t) = 4π ∫(1− cost)2d[2(t − sint)] = 8π ∫(1− cost)3dt =

t1

0

0

2π

3

5

3

1

2π

= 8π ∫(1− 3cost +

(1+ cos2t) − (1− sin2 t)cost)dt = 8π[

t − 4sint +

sin 2t +

sin3 t]

= 40π 2 .

2

2

0

4

3

0

Ответ: V = 40π 2 .

x2 + y2

= 9,

вокруг оси OX.

16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L)

≤ x ≤ 3

0

y′ = −

x

Найдём производнуюфункции (для y>0): x2

+ y2

= 9 y =

9 − x2

.

9 − x2

x2

3

x

2

3

9

2

2

2

P = 2π ∫ y 1+ y′ dx = 2π ∫ 9 − x

= 2π ∫ 9 − x

1+ −

9 − x

2

dx

9

− x

2 dx =

x1

0

0

3

= 6π ∫dx = 18π . Ответ: P = 18π (это половина поверхности всего шара).

0

Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей математике.

17. ∫

dx

∫

dx

=

1

π

+

ax

+ C .

. По справочнику находим:

tg

1− sin ax

1

− sin ax

a

4

2

Ответ: ∫

dx

=

1

π

+

ax

+ C . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие

tg

1− sin ax

a

4

2

математические формулы.)

∞

−ax

∞

−ax

18. ∫

e

sin x

dx. По справочнику находим: ∫

e

sin x

dx = arcctg a = arctg

1

, a > 0.

0

x

0

x

a

∞

e

−ax

sin x

1

Ответ: ∫

dx = arcctg a = arctg

, a > 0.

0

x

a

19. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на a см, если сила в F растягивает её на b см.

Для растяжения пружины на длину x требуется сила F x. Тогда на участке (x, x+dx)

b

F

a

F

F

x

2

a

a

2

F

буде совершена работа dA =

x dx . Следовательно,

A = ∫

x dx =

=

.

b

b

0

b

2

0

2b

Ответ: A =

a2 F

кГм.

2b

20. Вычислите работу, необходимую для

R

выкачивания воды из котла, имеющего форму

y

полусферы с радиусом R=2 м.

x

Уравнение центрального сечения сферы

x2 + y2 = 4. Объём элементарного слоя воды на

R

глубине y будет равен dV = πx2dy = π (4 − y2 )dy .

Если плотность воды равна 1000 кг/м3, то вес элементарного слоя воды будет

dP = 1000π (4 − y2 )dy . Работа, необходимая для поднятия этого слоя на высоту y, равна dA = 1000π (4 − y2 )ydy . Следовательно,

R	2		y	4		2
A = ∫1000π (4 − y2 )ydy = 1000π ∫(4 − y2 )ydy = = 1000π[2y2		−			]	= 4000π . Ответ:
0	0	4				0

A = 4000π кГм.