m2var03

Вариант № 3

В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить дифференцированием.

1. ∫

2arctg2x dx

=

подведение под

=

1

∫2arctg2x

1+

4x

2

знак дифференциала

2

1

arctg2x

′

1

arctg2x

2ln 2

Проверка:

2

+ C =

2

+ 4x2

2ln 2

2ln 2

1

Ответ: ∫

2arctg2x dx

=

1

2arctg2x + C .

2

1+ 4x

2ln2

d(arctg2x) = 1 2arctg2x + C .

2ln 2

2arctg2x

= 1+ 4x2 .

2. ∫x2 sin 2xdx . Интегрируем дважды по частям: ∫u dv = uv − ∫v du .

				x2 = u, 2xdx = du												1
	∫x2 sin 2xdx =										1		= −				x2 cos2x + ∫xcos2xdx =
				sin 2xdx = dv, v = −
												cos2x		2
											2
	=		x = u, dx = du					= −	1	x2 cos2x			+ (	1	xsin 2x −			1	∫sin 2xdx) =
					1
			cos2xdx = dv, v =
						sin 2x			2					2				2
			2

=− 1 (2x2 cos2x − 2xsin 2x − cos2x) + C . 4

Проверка:

′

1

2

1

2

−

(2x

cos2x − 2xsin 2x − cos2x) + C

= −

(4xcos2x −

4x

sin 2x − 2sin 2x − 4xcos2x +

4

4

+ 2sin 2x) = x2 sin 2x. Ответ: ∫x2 sin 2xdx = −

1

(2x2 cos2x − 2xsin 2x − cos2x) + C .

4

3.

∫

xdx

=

1

∫

2x + 4 − 4

dx =

1

∫

d(

x2 + 4x + 5)

− 2∫

dx

=

x2

+ 4x + 5 2

9x2 + 6x + 2

2

x2 + 4x + 5

x2

+ 4x + 5

dx

dx

= x2 + 4x + 5 − 2∫

=

x2 + 4x + 5 − 2∫

=

(x2

+ 4x + 4) +1

(x + 2)2 +1

= x2 + 4x + 5 − 2ln

(x + 2) + (x + 2)2 +1

+ C = x2 + 4x + 5 − 2ln

(x + 2) + x2 + 4x + 5

+ C

′

=

2x + 4

−

2

2

. Проверка:

x

+ 4x + 5 − 2ln

(x + 2) +

x

+ 4x + 5

+ C

2

x

2

+ 4x + 5

2[1+

2x

+ 4

]

x + 2

2

−

2

x

2

+ 4x + 5 =

−

=

2[ x + 4x

+ 5 + x +

2]

x

(x + 2) +

x2

+ 4x + 5

x2

+ 4x + 5

x2

+ 4x + 5 [(x + 2) +

x2

+ 4x + 5]

x2 + 4x + 5

. Ответ: ∫

xdx

= x2

+ 4x + 5

− 2ln

(x + 2) +

x2 + 4x + 5

+ C .

x2

+ 4x + 5

∫

x3 − 4x +1

4.

dx . Выделяем целую часть и разлагаем дробную часть на простые

3

−

2

x

2x

+ x

x3 − 4x +1

x3

− 2x2 + x + 2x2 − 5x +1

2x2 − 5x +1

дроби. ∫

dx

= ∫

dx =∫

[1+

]dx

=

x

3

− 2x

2

+ x

x

3

−

2x

2

+ x

x

3

−

2x

2

+ x

2x2 − 5x +1

=

2x2 − 5x

+1

=

A

+

B

+

C

=

A(x −1)2 + Bx(x −1) + Cx

x3 − 2x2 + x

−1)

−1)2

x(x −1)2

x(x

2

x x −

1 (x

A(x −1)2 + Bx(x −1) + Cx = 2x2

− 5x +1.

Полагаем

x = 0, получим

A = 1. Из равенства

x = 1 следует

C = −2. Приравнивая коэффициенты при

x2 , получим

A + B = 2. Или

B = 1.

Таким

образом,

x2 − 4x +1

1

1

2

2

∫

dx = ∫[1+

+

−

]dx = x + ln

x(x −1)

+

+ C

3

2

2

x

− 2x

+ x

x x −

1

(x −

1)

x −

1

Проверка:

′

2

1

1

2

x(x −1)2 + (x −1)2 + x(x −1) − 2x

x

+ ln

x(x −

1)

+

+ C

= 1+

+

−

=

x −1

x x

−1 (x

−1)

2

x(x −1)2

x3 − 4x +1

x3 − 4x +1

2

=

. Ответ: ∫

dx

= x

+ ln

x(x −1)

+

+ C .

2

3

2

x −

x

(x

− 2)

x

−

2x

+ x

1

5.

∫

2x2

+ x + 4

dx. Вычисляем интеграл с помощью предварительных

x

3

+ x

2

+ 4x +

4

преобразований.

∫

2x2

+ x + 4

dx

= ∫

x2

+ 4 + x(x +1)

dx

= ∫

dx

+ ∫

xdx

= ln

x +1

+

1

ln(x2

+ 4) + C =

x

3

+ x

2

+ 4x +

4

(x +

1)(x

2

+ 4)

x

+1

(x

2

+ 4)

2

′

1

1

2x

2

2

= ln

(x +1)

x

+ 4

+ C

. Проверка: ln

(x

+1)

x

+

4

+ C =

+

=

x +1

x2 + 4 2 x2 + 4

x2 + 4 + x(x +1)

2x2 + x + 4

. Ответ: ∫

2x2 + x + 4

=

dx = ln

(x +1)

x2

+ 4

+ C .

(x +1)(x

2

+

4)

x

3

+ x

2

+ 4x + 4

x

3

+ x

2

+ 4x +

4

6.

∫

3

x + 2dx

. Интегрируем с помощью замены переменной.

(1+

x + 2) (6

)5

x + 2

x + 2 = t6 , dx = 6t5

∫

3 x + 2dx

=

= ∫

6t7dt

= 6∫

t2dt

=

x + 2) (6

)5

(1+ t3 ) t5

1+ t3

(1+

x + 2 = t3 , 3 x + 2 = t2

x + 2

= 2∫

d(1+ t

3 )

+ C = 2ln1+ (6

)3

= = 2ln1

+ t3

x + 2

+ C = 2ln1+

x + 2

+ C .

3

1+ t

Проверка:

1

′

2

x + 2

1

1

(2ln1+

x +

2

+ C)

= 2

=

=

=

5

1

1+

x + 2

(1+

x + 2)

x +

2

−

(1+

x + 2)(x + 2)6

3

3

x + 2dx

. Ответ: ∫

3

x + 2dx

=

= 2ln1+

x + 2

+ C .

(1+

x + 2) (6

)5

(1+

x + 2) (6

)5

x + 2

x + 2

7.

∫

dx

. Интегрируем с помощью замены переменной.

(4 + x2 )3

∫

dx

=

x = 2tg t, dx =

2dt

= ∫

2dt

=

2

∫costdt =

1

sint + C =

2

(4 + x2 )3

cos

t

(4 + 4tg2t)3 cos2 t

8

4

= 1 sin(arctg x) + C . Или

42

1

1

+ C =

1

1

tg t

sint + C =

1− cos2 t

1−

+ C =

+ C =

+ tg 2t

4

4

4

4 1+ tg 2t

1

=

x / 2

+ C

=

x

+ C . Проверка:

4 1+ x2 / 4

4 4 + x2

2x x

′

4 + x2

−

4 + x

2

− x

2

2

x

+ C

1

2 4 + x

1

1

=

=

=

2

4

4 + x

2

4 (1+ x

2

) 1+ x

2

(1+ x

2

)

3

4 4 + x

1+ x

2

x

2

+1

. Ответ: ∫

dx

x

1

x

=

=

=

+ C =

sin(arctg

) + C .

2

x2

x2+1

x

(4 + x2 )3

4 4 + x2

4

2

8.

∫tg4

2x

dx . Интегрируем с помощью замены переменной.

3

t = tg

2x

, x =

3

arctg t,

4 2x

3

t4dt

3

1

t3

3t

3

∫tg

dx =

3

2

=

∫

=

∫

(t

2

−1+

)dt =

−

+

arctg t + C =

3

3

dt

2

1

+ t

2

2

1+ t

2

dx =

2 2 2

2 1+ t

2

=

1

tg3

2x

−

3

tg

2x

+ x + C .

2

3

2

3

′

1

3

2x

3 2x

=

1

3tg

2 2x

1

2

−

3

1

2

+1

=

Проверка:

tg

−

tg

+ x

+ C

cos2 (2x /3)

cos2

2

3

2

3

2

3

3

2

(2x /3)

3

= tg2

2x

1

−

1

+1 = (1+ tg2

2x

) (tg2

2x

−1) +1 = tg4

2x

.

3

cos2 (2x /3)

cos2 (2x /3)

3

3

3

Ответ: ∫tg4

2x

dx =

1

tg3

2x

−

3

tg

2x

+ x + C .

3

2

3

2

3

9.

∫

dx

. Интегрируем с помощью универсальной подстановки.

+ sin x

5

+ 3cos x

tg

x

= t,

dx =

2dt

∫

dx

=

2

1+ t2

= ∫

2dt

=

5 + sin x + 3cos x

2t

1− t

2

2t

1− t

2

sint =

, cost =

[5 +

+ 3

] (1+ t2 )

+ t2

+ t2

1

1+ t2

1

1+ t2

= ∫

2dt

= ∫

2dt

= ∫

dt

=

2

arctg

t +1/ 2

+ C =

[5

+

5t

2

+ 2t + 3 − 3t

2

]

2t

2

+

2t + 8

(t

+1/ 2)

2

+15/ 4

15

15 / 2

=

2

arctg

2t

+1

+ C =

2

arctg

2tg(x

/ 2) +1

+ C . Проверка:

15

15

15

15

2

2tg(x / 2)+1

′

arctg

+ C

=

15

15

=

2

1

2

1

= 2

1

1

=

1+ [

2tg(x / 2) +

1

2

2cos2 (x / 2)

15

+ [2tg(x / 2) +

1]2

cos2 (x / 2)

15

15

]

15

=

2

=

15cos2 (x / 2) + 4tg2 (x / 2)cos2 (x / 2) + 4tg(x / 2)cos2 (x / 2) + cos2 (x / 2)

2

2

2

=

=

=

=

16cos2 (x / 2) + 4sin2 (x / 2) + 2sin x)

4 +12cos2 (x / 2) + 2sin x

4 + 6(1+ cos x) + 2sin x

=

dx

. Ответ: ∫

dx

=

2

arctg

2tg(x

/ 2) +1

+ C .

5 + sin x + 3cos x

5 + sin x + 3cos x

15

15

Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.

		∞	ln xdx		a	ln xdx			a
	10.	∫		= lim	∫		= limln	ln x	= ∞ . Интеграл расходится.
			x	a→∞		x	a→∞		1
		1			1

∞

Ответ: ∫ln xdx = ∞ . Интеграл расходится.

1 x

3

x + 3

3

x + 3

1

3

d(x2

− 4)

3

3

11. ∫

dx = lim

∫

dx = lim[

∫

dx + ∫

dx] =

2

x2 − 4

ε →0

2+ε

x2 − 4

ε →0 2

2+ε

x2

− 4

2+ε

x2 − 4

3

+ 3ln

3+ 5

. Интеграл

= lim[ x2

− 4 + 3ln

x +

x2

− 4

]

=

5 + 3ln(3 +

5) − 3ln 2 =

5

ε →0

x + 3

2+ε

2

3

3 + 5

сходится. Ответ: ∫

dx =

5

+ 3ln

. Интеграл сходится.

2

x2

− 4

2

Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.

y = x2 − 2 = f			1	(x)
12.					. Найдём точки пересечения
y	= 3x + 2	= f2 (x)													16
линий:
x2 − 2 = 3x + 2 x2 − 3x − 4 = 0 x = −1, x										2	= 4 .
								1
Тогда															8
x2					4
S = ∫[ f2 (x) − f1 (x)]dx = ∫[3x + 2 − (x2									− 2)]dx =
x1					−1
4							3	4					4	2	0	2	4
= ∫[4 + 3x −x2 ]dx = [4x + 3 x2 − x							] = 16 + 24 − 64					+
−1					2	3		−1			3
+ 4 − 3 − `1 = 20 5 . Ответ: S = 20 5 .															8
2	3	6					6
13. x = 4(t − sint) , y = 4, (y ≥ 4) . Фигура ограничена
y = 4(1− cost)													8
снизу y = 4. Найдём соседние точки пересечения с
прямой y = 4:
4(1− cost) = 4 cost					= 0 t1	= π / 2,			t2 = 3π / 2 .				6
Вычисляем площадь:
t2		3π / 2											4
S = ∫(y − 4)dx = ∫4(1− cost −1)d[4(t − sint)] =
t1		π / 2											2
3π / 2					3π / 2
= −16	∫cost(1− cost)dt = −16					∫(cost − cos2 t)dt =
π / 2					π / 2								0	9		18	27
= −16[sint π3π/ 2/ 2		− 1	3π / 2
				∫(1+ cos2t)dt =
		2	π / 2

		1		1		3π / 2
	= −16[−2 −		(t +		sin 2t)	] = 32 + 8π = 8(π + 4) . Ответ: S = 8(π + 4) .
	2		2			π / 2

14. Вычислите длину дуги кривой (L):{ρ = 2(1+ cosϕ) (кардиоида).

ϕ2

2π

L = ∫

ρ

2

+ ρ′

2

dϕ =

∫ 4(1+ cosϕ)

2

+ 4sin

2

ϕdϕ =

90

ϕ1

0

2π

π

= ∫

4 + 8cosϕ + 4

dϕ = 4

2

∫

1+ cosϕ

dϕ =

0

π

0

π

180

0

0 2

4

= 4

2

∫

2cos2 (ϕ / 2) dϕ = 8cos(ϕ / 2)∫cos(ϕ / 2) dϕ =

0

0

ϕ

π

270

= 16sin(

) = 16.Ответ: L = 16.

20

				y = 3 − x2		,
							вокруг оси OX.
15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S)					+1
				y = x2
Найдём точки пересечения линий: 3 − x2 = x2			+1 2x2 = 2,	x = −1, x		2	= −1.
				1
x2	x2	1
V = V1 −V2 = π ∫ f12dx − π ∫ f22dx = π ∫[(3 − x2 )2			− (x2 +1)2 ]dx =
x1	x1	−1

1		x	3		1
= 8π ∫	(1− x2 )dx = 8π (x −			)
−1	3				−1

= 8π (2 − 2) = 32π . Ответ: V = 32 π . 3 3 3

y = chx,

16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L)

вокруг оси OX.

0

≤ x ≤ 1

x2

1

1

1

P = 2π ∫ y

1+ y′2 dx = 2π ∫ch x 1+ sh2 xdx = 2π ∫chx

ch2 xdx = 2π ∫ch2 xdx =

x1

0

0

0

1

1

1

1

sh2

sh2

= 2π

∫(ch2x +1)dx = π[

sh2x + x]

= π (

+1) . Ответ: P = π (

+1).

2

2

0

2

0

2

Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей

математике.

17. ∫

dx

. По справочнику находим: ∫

dx

=

1

tg ax + C .

2

2

1− sin

ax

1

− sin

ax a

Ответ: ∫

dx

=

1

tg ax + C . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие

2

1

− sin

ax

a

математические формулы.)

∞

xdx

∞

xdx

π 2

18. ∫

. По справочнику находим: ∫

=

. В данном случае a = 1.

e

x

−1

e

ax

−1

6a

2

0

0

∞

xdx

π

2

∞

xdx

π 2

Следовательно, ∫

=

. Ответ:

∫

=

.

x

−1

x

−1

0

e

6

0

e

6

19. Ракетный снаряд поднимается вертикально вверх. Ускорение ракеты за счёт

A

уменьшения веса растёт по закону a(t) = a − b t (a, b, A – положительные постоянные, a- bt>0). Найдите скорость ракеты в момент t=t1, если её начальная скорость равна нулю.

t

t

A dt = −

A ln a − b t

0 = − A

[ln a − b t − ln a] = A ln

a

. В

V(t) = ∫a(t)dt = ∫

t

0

0

a

− b t

b

b

b a − b t

момент t1 скорость будет равна V(t1 ) =

A

ln

a

. Ответ: V(t1 ) =

A

ln

a

.

b a

− b t1

b a − b t1

20. Какую работу нужно произвести, чтобы насыпать кучу песка в форме усечённого

конуса высоты H , имеющего радиусы оснований R и r ?

Удельный вес песка γ . Песок поднимают с поверхности

земли, на которой покоится большое основание конуса

r

(R > r ).

x

Уравнение образующей конуса

x − r

=

y − H

. Или

H

R − r

− H

x =

x − r

=

(y − H)(R − r)

+ r =

RH − y(R − r)

.

y

R

R − r

− H

H

Элементарный объём песка dV = πx2dy имеет вес

dP = γdV = πγx2dy . Элементарная работа по поднятию

этого песка на высоту y равна dA = уdP = πγx2 ydy . Тогда

ydy =

A = ∫πγx2 ydy =

∫πγ[RH − y(R − r)]2 ydy =

πγ2 ∫[RH − y(R − r)]2

H

H

H

0

0

H

H

0

πγ

y2

y3

y3

H

πγ

H 2

H

3

=

[R2 H 2

− 2RH(R − r)

+ (R − r)2

=

[R

2 H 2

− 2RH(R − r)

+

H 2

H 2

2

3

3

0

2

3

H

4

πγ

πγH

2

+

(R − r)2

] =

[6R2 H 2 − 8RH 2 (R − r)

+ 3(R − r)2 H 2

] =

[R2 + 2Rr + 3r2 ]

4

12

12