Теоретической основой расчета предельной ошибки выборочной 
средней является известная центральная предельная теорема, общие достаточные условия которой были обоснованы П.Л.Чебышевым и
А.М. Ляпуновым: |
P |
|
~ |
|
|
|
|
t |
F(t) |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x X |
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
t |
t2 |
|
|
F(t) |
|
|
|
e |
2 dt |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|||
Значения этой функции при различных величинах t табулированы. Наиболее часто используемые уровни вероятностей и соответствующие
им значения t: |
t |
P |
|
|
|
||
|
1,00 |
0,683 |
|
|
1,96 |
0,950 |
|
Чебышев |
2,00 |
0,954 |
Ляпунов |
Пафнутий Львович |
3,00 |
0,997 |
Александр Михайлович |
(1821-1894) |
|
|
(1857-1918) |
Способ расчета границ и форма записи доверительного интервала
(при оценивании генеральной средней)
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X x ~ |
|
|
|
|
|||
~ |
|
|
x |
~ |
|
||
|
X |
|
|||||
x ~ |
|
x ~ |
|
||||
|
x |
|
|
|
|
x |
F(t) |
~ |
|
|
|
|
~ |
||
|
|
|
|||||
P x ~x |
X x ~x |
||||||
|
~ |
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|||
X x ~x |
|
|
|||||
ПРИМЕРЫ
ПОКАЗАТЕЛИ ТОЧНОСТИ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ 
стоимости основных продуктов питания, потребленных в домашних хозяйствах 
России в 2008 году
Хлеб и хлебные продукты Картофель Овощи и бахчевые Фрукты и ягоды
Мясо и мясные продукты Молоко и молочные продукты Яйца Рыба и рыбные продукты
Сахар и кондитерские изделия Масло растительное и другие жиры
Значение
показателя, |
|
|
|
Коэффициент |
Стандартное |
в |
вариации |
отклонение, |
оценки, % |
руб. |
|
среднем на |
|
|
потребителя, |
|
|
в месяц, руб. |
|
|
415,8 |
1,2 |
5,0 |
87,7 |
2,0 |
1,8 |
294,2 |
1,6 |
4,7 |
259,2 |
2,1 |
5,4 |
816,9 |
2,3 |
18,8 |
396,7 |
1,8 |
7,1 |
58,2 |
1,4 |
0,8 |
167,9 |
2,3 |
3,9 |
158,6 |
1,7 |
2,7 |
59,2 |
1,3 |
0,8 |
Интервальная оценка (Р=0,95)
406,0 - 425,6
84,2 - 91,2
285,0 - 303,4
248,6 - 269,8
780,1 - 853,7
382,8 - 410,6
56,6 - 59,8
160,3 - 175,5
153,3 - 163,9
57,6 - 60,8
ИСТОЧНИК: Потребление продуктов питания в домашних хозяйствах в 2008 году (по итогам выборочного обследования бюджетов домашних хозяйств):Стат. бюллетень / Росстат, 2009.
ПОКАЗАТЕЛИ ТОЧНОСТИ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ ПО ИСТОЧНИКАМ ПОСТУПЛЕНИЯ И ПОТРЕБЛЕНИЯ ОСНОВНЫХ ПРОДУКТОВ ПИТАНИЯ
в домохозяйствах РОССИИ в 2009 году
|
в городской местности |
|
|
в сельской местности |
|
|||
Значение |
|
|
|
Значение |
|
|
|
|
показателя |
Коэффи- |
Стандарт- |
|
показателя |
Коэффи- |
Стандарт- |
|
|
в среднем на |
циент |
Интерваль- |
в среднем на |
Интерваль- |
||||
ное |
циент |
ное |
||||||
потреби- |
вариации |
отклоне- |
ная оценка |
потреби- |
отклоне- |
ная оценка |
||
вариации |
||||||||
теля, |
оценки, |
ние |
(Р=0,95) |
теля, |
ние |
(Р=0,95) |
||
оценки, % |
||||||||
в год, кг |
% |
|
|
в год, кг |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
Хлеб и хлебные продукты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
куплено |
81,5 |
1,7 |
1,4 |
78,8 |
- 84,2 |
120,4 |
5,8 |
7,0 |
106,7 |
- 134,1 |
натуральные поступления |
0,5 |
9,7 |
0,05 |
0,4 |
- 0,6 |
2,4 |
19,3 |
0,5 |
1,4 |
- 3,4 |
|
||||||||||
потреблено |
91,1 |
1,4 |
1,3 |
88,6 |
- 93,6 |
121,4 |
2,6 |
3,2 |
115,1 |
- 127,7 |
Картофель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
куплено |
35,9 |
4,4 |
1,6 |
32,8 |
- 39,0 |
15,6 |
19,2 |
3,0 |
9,7 - 21,5 |
|
натуральные поступления |
23,2 |
8,9 |
2,1 |
19,1 |
- 27,3 |
66,9 |
6,5 |
4,3 |
58,5 |
- 75,3 |
|
||||||||||
потреблено |
62,2 |
2,0 |
1,2 |
59,8 |
- 64,6 |
80,4 |
3,2 |
2,6 |
75,3 |
- 85,5 |
Овощи и бахчевые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
куплено |
69,0 |
3,9 |
2,7 |
63,7 |
- 74,3 |
42,2 |
9,4 |
4,0 |
34,4 |
- 50,0 |
натуральные поступления |
24,0 |
7,0 |
1,7 |
20,7 |
- 27,3 |
56,7 |
5,6 |
3,2 |
50,4 |
- 63,0 |
|
||||||||||
потреблено |
94,8 |
2,2 |
2,1 |
90,7 |
- 98,9 |
94,5 |
3,9 |
3,7 |
87,2 - 101,8 |
|
ИСТОЧНИК: Потребление продуктов питания в домашних хозяйствах в 2009 году (по итогам выборочного обследования бюджетов домашних хозяйств):Стат. бюллетень / Росстат, 2010.
Задача
Владелец автостоянки опасается обмана со стороны своих служащих (охраны). В течение года (365 дней) им проведено 40 проверок. По данным проверок среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану, составило 400 единиц, а среднее квадратическое отклонение их числа – 10 автомобилей.
Считая отбор собственно-случайным, с вероятностью 0,954 определите границы доверительного интервала, в котором следовало бы ожидать истинное среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану.
Обоснованы ли опасения владельца автостоянки, если по отчетности охранников за отчетный год среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану, составило 390 автомобилей?
|
10 |
|
|
|
|
|
||
~ t ~ 2 |
|
1 |
40 |
3avto |
||||
|
|
|
365 |
|||||
40 |
||||||||
x x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Границы доверительного интервала для среднего значения:
P 400 3 X 400 3 0,954 P 397 X 403 0,954
Можно утверждать, что служащие автостоянки скрывали от учета в течение года ежедневно не менее 7 автомобилей, оставляемых ее клиентами на ночь на охрану.
Границы доверительного интервала для суммарного значения признака:
N t ~ 365 3 1095avto
x
P 365 400 1095 X 365 400 1095 0,954 P 144905 X 147095 0,954
SU 365 390 144905 142350 144905 2555 avto
Задача
Для определения доли и числа домохозяйств, предоставляющих услуги по
временному проживанию лиц, прибывающих в курортную зону региона на отдых и лечение, была проведена 1%-ная простая случайная выборка.
В результате обследования выявлено, что из 2700 домохозяйств региона, попавших в выборку, 26,8 % из них являлись квартиросдатчиками.
С вероятностью 0,954 определите доверительные интервалы, в которых можно ожидать долю и число домохозяйств, предоставляющих услуги по временному размещению лиц, прибывающих в регион на отдых и лечение.
Оцените, какой удельный вес в общей численности домохозяйств региона, сдающих жилье туристам и отдыхающим, составляют домохозяйства, легально работающие в этом сегменте рынка, если известно, что число официально зарегистрированных индивидуальных предпринимателей, предоставляющих такие услуги, составляет 8500.
Дано: n 2700
W 0,268
|
|
n |
|
0,01 |
Aналоговые органы = 8500 |
|
||
|
|
N |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
2 0,268 (1 0,268) (1 0,01) |
0,017 |
||||
W |
|
|
W |
|
2700 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(0,268 0,017 p 0,268 0,017) 0,954 |
||||||||
P(0,251 p 0,285) 0,954 |
|
|
||||||
P(0,251 270000 |
A 0,285 270000) |
0,954 |
||||||
P(67700 A 73440) 0,954 |
|
|
||||||
Максимальная доля |
|
8500 |
|
|
индивидуальных |
|
100 |
12,6% |
|
предпринимателей, |
||||
легально работающих |
|
67700 |
|
|
в этом сегменте рынка
5. Определение объема выборочной совокупности
Определение объема выборки является неотъемлемым этапом при проектировании выборочного наблюдения.
Теоретическую возможность определения такого объема дает формула предельной ошибки выборки, адаптированная к различным
методам и способам отбора, а также оцениваемым статистическим показателям.
Простейшим примером вывода формулы расчета объема выборки при простом случайном повторном отборе для оценивания среднего значения выступает уравнение вида:
|
|
|
t2 |
2 |
~ t |
2 |
n |
||
|
|
2 |
||
x |
n |
|
~ |
|
|
|
|
x |
|