3Линейка / Задачник-3 / Глава 8(1)

б) и .

8.1.17. Даны прямые и . Составьте уравнения их общего перпендикуляра (т.е. прямой, пересекающей и под прямым углом); найдите точки пересечения общего перпендикуляра с данными прямыми; вычислите расстояние между и . Прямые заданы уравнениями:

а) и ;

б) и .

8.1.18. Убедитесь, что прямые , параллельны, вычислите расстояние между ними.

8.1.19. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми и .

§ 8.2. ПЛОСКОСТИ В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Пусть в аффинном пространстве зафиксирована система координат , заданы точка и система линейно независимых векторов . Тогда множество точек аффинного пространства , радиус - векторы которых удовлетворяют уравнению

, (8.2.1)

где и принимают любые значения из поля , называется - мерной плоскостью или, короче, - плоскостью, проходящей через точку параллельно направляющему подпространству . Соотношение (8.2.1) называется параметрическим уравнением плоскости в векторной форме.

Прямые можно рассматривать как одномерные плоскости; - мерные плоскости аффинного пространства называются гиперплоскостями (плоскостями).

Две плоскости, имеющие одну общую точку и одно и то же направляющее подпространство, совпадают. Параллельные плоскости не имеют общих точек, но их направляющие подпространства совпадают.

Пусть в выбранной системе координат , , . Тогда векторное уравнение (8.2.1) равносильно координатным уравнениям

(8.2.2)

которые называются параметрическими уравнениями плоскости в координатной форме.

Если в аффинном пространстве заданы точки , , и векторы

, линейно независимы, то через эти точки можно провести единственную - плоскость с координатными уравнениями

(8.2.3)

Вектор , ортогональный ко всем направляющим векторам плоскости, заданной в виде (8.2.1), называется вектором нормали этой плоскости. Умножая скалярно обе части равенства (8.2.1) на вектор нормали , получаем с учетом обозначения уравнение

, (8.2.4)

которое называется векторным уравнением плоскости, проходящей через точку с радиус - вектором перпендикулярно вектору . В случае прямоугольной системы координат вместо векторного можно записать следующее координатное уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

, (8.2.5)

которое еще называется общим уравнением плоскости.

Гиперплоскость, проходящая через точку параллельно подпространству , порожденному линейно независимыми векторами , ,..., задается уравнением

. (8.2.6)

Гиперплоскость, проходящая через точек , , , определяющих систему линейно независимых векторов , задается уравнением

. (8.2.7)

Необходимым и достаточным условием того, что точка аффинного пространства лежит на одной гиперплоскости, является линейная зависимость векторов .

Угол между двумя плоскостями с векторами нормалей и определяется как угол между двумя векторами , , не превышающий , и вычисляется по формуле

. (8.2.8)

Расстояние от точки с радиус - вектором до плоскости, заданной уравнением (8.2.4), определяется как минимальное расстояние от точки до точек плоскости и вычисляется по формуле

. (8.2.9)

Расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от этой точки до основания перпендикуляра, опущенного из нее на плоскость.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями с уравнениями

равно расстоянию от некоторой точки , лежащей на второй плоскости, до первой плоскости и вычисляется по формуле

. (8.2.10)

Пример 1. Составьте общее уравнение плоскости, параллельной плоскости и отстоящей от точки на расстояние .

Решение. В силу того, что векторы нормалей у параллельных плоскостей коллинеарны, можно записать общее уравнение искомой плоскости: . Для нахождения воспользуемся соотношением (8.2.9), в котором . Получим:

,

откуда и либо . Следовательно, существуют две плоскости с общими уравнениями и , удовлетворяющие условию данной задачи.

Пример 2. Составьте параметрическое уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

Решение. Считая систему координат ортогональной, найдем направляющие векторы искомой плоскости из условия , где . Пусть . Тогда . Отсюда . Выбирая последовательно для , а для , получаем , что позволяет записать на основании равенств (8.2.2) следующее параметрическое уравнение искомой плоскости:

Пример 3. Вычислите расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки .

Решение. Считая, что координаты всех точек заданы в прямоугольной системе координат, запишем общее уравнение плоскости , для чего воспользуемся соотношением (8.2.7):

Искомое расстояние вычислим по формуле (8.2.9), в которой , и . Получим:

.

Пример 4. Найдите параметрическое уравнение плоскости, заданной системой линейных алгебраических уравнений:

Решение. Запишем систему уравнений в матричном виде и найдем ее общее решение методом Гаусса.

.

Выберем в качестве свободных переменных переменные и . Тогда ,

и

.

Представляя общее решение неоднородной системы в виде суммы частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы, получаем разложение

представляющее искомое параметрическое уравнение плоскости , в котором , и .

Таким образом, множество решений неоднородной системы линейных уравнений можно рассматривать как - плоскость в аффинном пространстве .

В задачах, требующих вычисления скалярных произведений, предполагается, что система координат прямоугольная.

8.2.1. Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

8.2.2. Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам и .

8.2.3. Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно вектору .

8.2.4. Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через три точки , , .

8.2.5. Составьте параметрическое уравнение плоскости:

а) проходящей через точку параллельно векторам и ;

б) проходящей через точки , параллельно вектору ;

в) заданной общим уравнением .

8.2.6. Определите взаимное расположение плоскостей:

а)

б)

в) .

8.2.7. Найдите координаты точек пересечения плоскости

с осями координат.

8.2.8. Напишите общее уравнение плоскости

8.2.9. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям и .

8.2.10. Найдите точку, симметричную точке относительно плоскости .

8.2.11. Составьте уравнения плоскостей, проходящих через точку параллельно координатным плоскостям.

8.2.12. Напишите параметрическое уравнение плоскости .

8.2.13. Найдите параметрическое уравнение плоскости, заданной системой линейных алгебраических уравнений:

14. В аффинном пространстве дана плоскость , где . Установите, принадлежит ли этой плоскости векторы и ?

15. При каких плоскости и :

    а) пересекаются;

    б) параллельны;

    в) совпадают?

16. Найдите расстояние от точки до плоскости:

а) ; в) ;

б) ; г) .

8.2.17. Найдите расстояние между параллельными плоскостями:

8.2.18. а) Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости

и отстоящих от нее на расстояние 3.

б) Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости

и отстоящих от нее на расстояние 3.

в) Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости

и отстоящих от точки на расстояние 3.

г) Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости и отстоящих от начала координат на расстояние 3.

8.2.19. Найдите угол между плоскостями:

18