Проверка

1. График переменной состояния цепи t₂(t) при мс должен бытьнепрерывен:

,

.

2. Разрывы графиков зависимых переменных цепи i₁(t) и u₃(t) при иt₁ = 40 мс в нашем конкретном примере (скачки напряжения при t = 0 и при t = t₁ одинаковы) должны быть одинаковы и равны

,

.

Проверка показывает, что

,

.

Далее

,

.

Проверка показывает, что

,

.

3. При неограниченном возрастании времени t функции ,истремятся к нулю.

Программа домашней подготовки к выполнению работы

1. По конспекту лекций и учебным пособиям изучить раздел «Метод переменных состояния».

2. Внимательно ознакомиться с примером решения аналогичной задачи.

3. Выполнить пп. 1 – 3 рабочего задания.

Контрольные вопросы

1. Напряжения и токи каких элементов цепи называются переменными ее состояния?

2. Какие уравнения называются уравнениями состояния цепи?

3. Чем определяется число уравнений, составленных по методу переменных состояния цепи?

4. В каких случаях система уравнений цепи, составленная по методу переменных состояния, наряду с дифференциальными уравнениями будет содержать и линейные алгебраические выражения?

5. Какова стандартная форма записи уравнений состояния цепи?

6. Чем определяется порядок сложности цепи?

7. Как вычислить значение постоянной времени цепи первого порядка по ее схеме?

8. Как вычислить значение постоянной времени цепи первого порядка по ее уравнению состояния?

Приложение

Рассмотрим алгоритм формирования «вручную» уравнений для вычисления переменных состояния цепи – уравнений ее состояния.

Считая известными мгновенные значения токов катушек и напряжений конденсаторов и опираясь на принцип компенсации^*, изобразим схему замещения заданной цепи для момента времени .

Рис. 17.5	Рис. 17.6

Например, для схемы цепи, показанной на рис. 17.5, в результате описанной замены получим схему замещения, как на рис. 17.6. Далее записываем полную систему уравнений для мгновенных значений токов или напряжений элементов схемы (по законам Кирхгофа).

В рассматриваемом случае искомые выражения выглядят следующим образом:

,

,

,

––––––––––––––––––––––––––

^*Любой элемент цепи с известным значением тока или напряжения может

быть эквивалентно заменен, соответственно, источником тока или напря-

жения известного значения

,

.

И, наконец, исключая из этой системы переменные ии сокращая второе уравнение на, четвертое – на, а последнее – на, получаем полную систему уравнений состояния цепи (см. рис. 17.5), записанную в нормальной форме (форме Коши):

,

,

,

с известными начальными значениями переменных состояния (задача Коши).

Если задающее напряжение u_o1(t) и переменные состояния при t = 0 принимают конечные значения, то, интегрируя каждое из уравнений этой системы в пределах от до, находим стартовые значения переменных состояния цепи:

,

,

.

Зависимая переменная, например, ток конденсатораC₂ схемы цепи на рис. 17.5, есть линейная функция задающего напряжения u_o1 и переменных состояния цепи. Из схемы замещения цепи, показанной на рис. 17.6, находим

.

В общем случае уравнения состояния могут быть записаны в матричной форме

,

где X = X(t) и W = W(t) – векторы переменных состояния и воздействий, ,,n и m – число энергоемких элементов и источников соответственно; A и B – матрицы, элементы которых выражаются через параметры элементов цепи,

, .

Если известны X(0+) и W(t) для любого , то последующие значения переменных состояния цепиX (t) определяются однозначно.

Вектор Y = Y (t) зависимых переменных (величин, не совпадающих с переменными состояния) находится как линейная комбинация векторов переменных состояния и воздействий:

.

Если k – число искомых зависимых величин, то

, ,.

В среде Mathcad реализовано несколько алгоритмов численного решения задачи Коши для нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке, в частности методы Рунге–Кутта с постоянным (фиксированным) и переменным (автоматически выбираемым) шагом. Аргументами функций, реализующих эти алгоритмы, являются: вектор стартовых условий X(0+), начальная и конечная точки отрезка интегрирования, число узлов на этом отрезке и имя вектора-функции, содержащей выражения для производных искомого решения.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 18