5.1. Примеры решения задач

№ 1. Определить число N молекул, содержащихся в объ­еме V = 1 мм³ и массу т₁ молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с дру­гом, найти диаметр d молекул.

Р е ш е н и е. Число N молекул, содержащихся в некоторой массе m, равно произведению числа Авогадро N_A на количество вещест­ва ν:

N = ν N_A.

Так как количество молей вещества

ν = m/μ,

где μ - молярная масса, то

.

Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим

. (а)

Подставим в формулу (а) следующие значения величин: ρ = I0³ кг/м³ (см. справочную таблицу); V = 1 мм³ = 10^-9 м³, μ = 18 10^-3 кг/моль (см. справочную таблицу); N_A.=6,02 10²³ моль^-1 и произведем вычисления:

молекул = 3,3410¹⁹ молекул.

Массу одной молекулы можно найти делением молярной массы на число Авогадро:

m₁ = μN_A..

Подставив сюда числовые значения μ и N , найдем массу молекулы воды:

m₁ = кг = 2,9910^-26кг.

Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то мож­но считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубичес­кая ячейка) V₁= d³, где d - диаметр молекулы. Отсюда

. (б)

Объем V₁ найдем, разделив молярный объем V_μ на число молекул в моле, т.е. на число Авогадро N_A:

.

Подставим полученное выражение V₁ в формулу (б)

.

Входящий в эту формулу молярный объем определяется выражением V_μ = μ/ρ. Тогда искомый диаметр молекулы

. (в)

Проверим, дает ли правая часть выражения (в) единицу длины:

Подставим числовые значения физических величин в форму­лу (в) и произведем вычисления:

м = 3,1110 ^–10 м = 311 нм.

№ 2. В баллоне объемом V = 10 л находится гелий под давлением р₁ = 1 МПа, при температуре Т₁ = 300 К. После того как из баллона было взято т = 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т₂ = 290 К. Определить давление р₂ гелия, оставшегося в баллоне.

Р е ш е н и е.

Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева - Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа.

, (а)

где т₂ - масса гелия в баллоне в конечном состоянии; μ - мо­лярная масса гелия; R - универсальная газовая постоянная.

Из уравнения (а) выразим искомое давление p₂:

. (б)

Массу гелия т₂ выразим через массу т₁ и массу m гелия, взятого из баллона:

m₂ – m₁ = m. (в)

Массу гелия т₁ найдем также из уравнения Менделеева - Клапейрона, применив его к начальному состоянию:

. (г)

Подставляя в выражение (в) массу т₁ из формулы (г), а затем полученное выражение т₂ в формулу (б), найдем

,

или после преобразования и сокращения

Выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ и произведем вычисления: р₁ = I МПа = 10⁶ Па, m = 10 г = 10^-2 кг, μ = 410^-3 кг/моль, R = 8,31 Дж/моль К; Т₁ = 300 К, T₂ = 290 К; V = 10^-2 м³.

№ 3. Баллон содержит m₁ = 80 г кислорода и т₂ = 320 г аргона. Давление смеси р = I МПа, температура T = 300 К. Прини­мая данные газы за идеальные, определить объем V баллона.

Р е ш е н и е.

По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси.

По уравнению Менделеева - Клапейрона, парциальные давления кислорода р₁ и аргона р₂ выражаются формулами:

Следовательно, по закону Дальтона давление смеси газов

.

откуда объем баллона

(а)

Выразим в единицах СИ числовые значения величин, входящих в эту формулу: m₁ = 0,08 кг, μ₁ = 32I0 ^-3 кг/моль, т₂ = 0,32 кг, μ₂ = 4010^-3 кг/моль, р₁ = I МПа = I0⁶ Па, R.= = 8,31 Дж/моль К.

Подставим числовые значения в формулу (а) и произведем вычисления:

.

№ 4. Найти среднюю кинетическую энергию < ε _вращ> вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т = 350 К, а также кинетическую энергию E_к , вращательного движе­ния всех молекул кислорода массой т = 4 г.

Р е ш е н и е.

Известно, что на каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия <ε₁> = ½ kТ , где k - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода - двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя анергия вращательного движения молекулы кислорода выразит­ся формулой

(а)

Подставив в формулу (а) значения k = 1,38 10^-23 Дж/К и Т = = 350 К, получим

<ε_вращ> = 1,38 10^-23∙350Дж = 4,83 10^-21 Дж.

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа определяется равенством

Е_к= <ε_вращ>N. (б)

Число всех молекул газа можно вычислить по формуле

N = N_Aν , (в)

где N_A - число Авогадро; μ - количество вещества.

Если учесть, что количество молей вещества ν = m/μ, где т - мас­са газа, μ - молярная масса газа, то формула (в) примет вид

.

Подставив это выражение в формулу (б), получим

( г)

Выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ:

N_A= 6,02 10²³ моль^-1, т = 4 г = 4 10^-3 кг, μ = 32 10^-3 кг/моль, <ε_вращ> = 4,83 10^-21 Дж. Подставив эти значения в формулу (г), найдем

Е_к = 6,02 10²³ Дж =364 Дж.

№ 5. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме c_V и при постоянном давлении с_р неона и водорода, при­нимая эти газы за идеальные.

Р е ш е н и е.

Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами:

. (а)

(б)

где i - число степеней свободы молекулы газа; μ - молярная масса.

Для неона (одноатомный газ) i = 3 и μ =2010^-3 кг/моль (см. справочную таблицу). Вычисляя по формулам (а) и (б), полу­чим:

Для водорода (двухатомный газ) i = 5 и μ = 210^-3 кг/моль. Вычисляя по тем же формулам, получим:

1,0410 ⁴Дж/(кг∙К)

.

№ 6. Вычислить удельные теплоемкости с_V и c_p смеси неона и водорода, если массовая доля неона ω₁ =80%, массовая доля водорода ω₂ = 20 %. Значения удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера.

Р е ш е н и е.

Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме с_V найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания сме­си на ΔT, выразим двумя способами:

Q = c_V (m₁+m₂) ΔT , (а)

Q = (с_V,1m₁+ c_V,2m₂) ΔT , (б)

где c_V,1 - удельная теплоемкость неона; c_V,2 - удельная теплоем­кость водорода.

Приравняв правые части (а) и (б) и разделив обе части по­лученного равенства на ΔT, получим

c_V(m₁ + m₂) = с_V,1m₁ + c_V,2m₂,

откуда

(в)

или

c_V = c_V,1ω₁ +c_V,2ω_2, (г)

где - -массовые доли неона и водорода в смеси.

Подставив в формулу (г) числовые значения величин, найдем:

с_V = (6,24∙10²∙0,8 + 1,04∙10⁴∙0, 2) Дж/(кг∙К) = 2,58∙10³ Дж/(кг∙К).

Рассуждая таким же образом, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

c_р = c_р,1ω₁ +c_р,2ω_2, (д)

Подставим в формулу (д) числовые значения величин:

с_р = (1,04∙10³∙0,8 + 1,46∙10⁴∙0,2) Дж/(кг∙К)= 3,75∙10³ Дж/(кг∙К).

№ 7. Кислород массой т = 2 кг занимает объем V₁ = I м³ и находится под давлением p₁ = 0,2 MПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂= 3 м³, а затем при постоян­ном объеме до давления p₃ = 0,5 МПа. Найти изменение ΔU внутрен­ней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q , передан­ную газу. Построить график процесса.

Р е ш е н и е.

Изменение внутренней энергии газа выражается форму­лой

(а)

где i - число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул ки- слорода i =5), μ - молярная масса.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Клапейрона – Менделеева pV = :

. (б)

Выпишем заданные величины в системе СИ: m = 2 кг, μ = 32 10^-3 кг/моль, R = 8,31 Дж/(моль∙ К), V₁ = 1 м³, V₂ = V₃ = 3 м³, р₁ = р₂ = 0,2 МПа = 210⁵ Па, р₃ = 0,5 МПа = 5I0⁵ Па. Подставляя эти значения в выражение (б) и выполняя арифметические действия, получим:

;

;

.

Подставляя в выражение (а) числовые значения величин, входящих в него, находим:

.

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой

Подставляя числовые значения величин, получим

.

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е.А₂ =0. Следовательно, полная работа, совершенная газом, равна А = А₁ + А₂ = 0,410⁶ Дж.

Согласно первому началу термодинамики, теплота Q , передан­ная газу, равна сумме изменения внутренней энергии ΔU и работы А; Q = U + А, следовательно, Q = 0,410⁶ Дж + 3,2410⁶ Дж = 3,64I0⁶ Дж = 3,64 МДж.

График процесса приведен на рисунке.

№ 8. В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0,02 кг при температуре Т = 300 К. Водород сначала расши­рился адиабатически, увеличив свой объем в n₁ = 5 раз, а затем был cжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n₂ = 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершенную газом при этих процессах. Изобразить процесс графи­чески.

Р е ш е н и е.

Температуры и объемы газа, совершающего адиабатический процесс, связаны между собой соотношением

,

где γ - отношение теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объеме (для водорода как двухатомного газа γ =1,4),

n₁=V₂/V₁= 5.

Отсюда получаем выражение для конечной температуры T₂

.

Подставляя числовые значения заданных величин, находим

.

Так как 5^0,4 = 1,91, то Т₂ = 157 К.

Работа A₁ газа при адиабатическом расширении может быть определена по формуле

где С_V - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Подставив числовые значения величин: R = 8,31 Дж/(моль К) и i = 5 (для водорода как двухатомного газа), μ = 2 10^-3 кг/моль, m = 0,02 кг, T₁ = 300 К, T₂ = 157 К в правую часть последней формулы, получим

Работа А₂ газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

гдеn₂ = V₂/V₃ = 5.

Подставляя известные числовые значения величин, входящих в правую часть этого равенства, находим

Знак “минус” показывает, что при сжатии работа газа совершается над газом внешними силами. График процесса – на рисунке.

№ 9. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура нагревателя Т₁ = 500 К. Определить термический к.п.д. цикла и температуру Т₂ охладителя тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу А = 350 Дж.

Р е ш е н и е.

Термический к.п.д. тепловой машины, называемый также коэффициентом использования теплоты, показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревателя, превращается в механическую работу. Термический к.п.д. выражается формулой

,

где Q_н – теплота, полученная от нагревателя; А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины. Подставив числовые значения в эту формулу, получим

Зная к.п.д. цикла, можно по формуле определить температуру охладителяТ₂:

Т₂ = Т₁(1- η).

Подставив в эту формулу полученное значение к.п.д, и температуру T₁ нагревателя, получим

Т₂ = 500(1 – 0,35) К = 325 К.

№ 10. Найти изменение ΔS энтропии при нагревании воды массой m = 100 г от температуры t₁ = 0°С до температуры t₂ = 100°С и последующим превращением воды в пар той же темпе­ратуры.

Р е ш е н и е.

Найдем отдельно изменение энтропии ΔS^'′ при нагре­вании воды и изменение энтропии ΔS′′ при превращении ее в пар. Полное изменение энтропии выразится суммой ΔS^'′ и ΔS′′.

Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой

. (а)

При бесконечно малом изменении температуры нагреваемого те­ла затрачивается количество теплоты dQ = m c dT , где m - масса тела; c - его удельная теплоемкость. Подставив выражение dQ в равенство (а), получим формулу для вычисления изменения энтропии при нагревании воды:

.

Вынесем за знак интеграла постоянные величины и произведем интегрирование, тогда получим

.

Выразим заданные величины в единицах СИ: m = 0,1 кг;Т₁ = 273 К; T₂ = 373 К; c = 4190 Дж/кг К; λ = 2,26 МДж/кг.

После вычислений найдем

ΔS΄ = 132 Дж/К.

При вычислении по формуле (а) изменение энтропии во время превращения воды в пар той же температуры постоянная температура Т₂ выносится за знак интеграла. Вычислив интеграл, найдем

, (б)

где Q - количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры.

Подставив в равенство (б) выражение количества теплоты Q = λm, где λ – удельная теплота парообразования, получим

. (в)

Произведя вычисления по формуле (в), найдем

ΔS΄΄= 605 Дж/К.

Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем

превращении ее в пар:

ΔS = ΔS΄ + ΔS΄΄ = 737 Дж/К.