Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математическая статистика.doc

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2015

Размер:

4.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

8. При изучении влияния механизации уборочных работ на себестоимость центнера кукурузы в районе в отчетном году были получены следующие данные (процент механизации и себестоимости 1 ц в рублях):

х у

1,5-2,1

2,1-2,7

2,7-3,3

3,3-3,9

3,9-4,5

50-60

60-70

70-80

80-90

90-100

Методом наименьших квадратов определить выборочное уравнение регрессии и оценить при помощи корреляционного отношения тесноту связи между рассматриваемыми величинами.

Вариант 10.

5. Ожидается, что добавление специальных веществ уменьшает жесткость воды. Оценки жесткостью воды до и после добавления специальных веществ 40 и 50 пробам соответственно показали средние значения жесткости (в градусах жесткости), равные 4,0 и 3,8 градуса. Дисперсия измерений в обоих случаях предполагается равной 0,25. Подтверждают ли эти результаты ожидаемый эффект? Уровень значимости принять равным 0,05. Считать, что жесткость имеет нормальное распределение.

6. Даны результаты 150 измерений отклонения диаметра цапфы передней оси от номинального размера:

Середина интервала	26	29	32	35	38	41	44	47	50	53
Частота	1	4	13	23	22	29	29	16	11	2

Приняв 10%-ый уровень значимости, проверить гипотезу о том, что они получены из нормально распределенной генеральной совокупности.

7. Пусть над элементами выборки системы двух случайных величин , выполнено линейное преобразование , , .

Показать, что выборочные ковариация и коэффициент корреляции связаны соотношениями: , .

Используя подходящее линейное преобразование, вычислить оценку коэффициента корреляции для следующей выборки:

х	55	71	53	67	81	75	59	89	65	81
у	206	116	221	113	32	128	248	113	284	215

Вариант 11.

5. Два штурмана определили пеленг маяка по нескольким замерам, используя различные пеленгаторы. Результаты замеров: 70,2˚ при 9 замерах другим штурманом. При помощи двустороннего критерия проверить при уровне значимости 0,05 гипотезу о том, что различие результатов вызвано случайными ошибками. Средние квадратические отклонения пеленгаторов равны 0,5˚ и 1˚ соответственно. Распределение генеральной совокупности считать нормальным. Что собой представляет генеральная совокупность в данном случае?

6. Величина контрольного размера 68 деталей (в мм), изготовленных на одном станке:

Границы интервалов	2,9-3,9	3,9-4,9	4,9-5,9	5,9-6,9	6,9-7,9
Частота	5	15	23	19	6

При уровне значимости 10% проверить гипотезу о том, что эти данные извлечены из нормально распределенной генеральной совокупности.

7. Пусть над элементами выборки системы двух случайных величин , выполнено линейное преобразование , .

Показать, что выборочные ковариация и коэффициент корреляции связаны соотношениями: , .

Используя подходящее линейное преобразование, вычислить оценку коэффициента корреляции выборки:

х	65,8	68,3	72,7	66,1	73,1	71,8	73,1	66,5
у	166,0	115,2	157,8	152,5	149,3	181,0	173,2	120,4

69,3	73,4	67,3	73,6	67,9	68,7	69,7
124,5	163,2	125,2	173,3	146,7	157,9	134,5

Вариант 12.

5. Точность наладки станка-автомата характеризуется дисперсией длины производимых им деталей. Если эта величина будет больше 400 , станок останавливается для наладки. Выборочная дисперсия длины 15 случайно отобранных деталей из продукции станка оказалась равной 680 . Нужно ли производить наладку станка? Уровень значимости принять равным а) 0,01; б) 0,10. Распределение признака считать нормальным.

6. Входное сопротивление наудачу выбранных 130 электронных ламп (в Омах) распределилось следующим образом:

Границы интервалов	3,0-3,6	3,6-4,2	4,2-4,8	4,8-5,4	5,4-6,0
Частота	2	8	35	43	22

6,0-6,6	6,6-7,2
15	5

При уровне значимости 10% проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

7. Предел выносливости при изгибе (Н/) для стали оценивается на основании другой ее характеристики – предела упругости на кручении (Н/). По опытным данным для 12 марок стали найти уравнения линейной регрессии и оценить коэффициент корреляции между характеристиками стали. Результаты измерений:

х	51	67	84	81	101	109	71	97	109	51	105	89
у	25	30	43	44	57	58	43	46	62	45	55	45

Вариант 13.

5. При применении определенно процедуры проверки коэффициенты трения шины по мокрому асфальту установлено, что дисперсия результатов измерений этого коэффициента составляет 0,1. Выборочное значение дисперсии, вычисленное по результатам 25 измерений коэффициента трения, оказалось равным 0,20. Используя двусторонний критерий, проверить гипотезу о том, что дисперсия результатов измерений коэффициента трения равна 0,1 при уровне значимости 0,1. Распределение признака считать нормальным.

6. Свидетельствуют ли на уровне значимости 0,10 о нормальном распределении роста (в см) 16-летних девушек данные 1004 измерений?

7. В таблице приведены результаты лабораторного анализа 64 образцов сланцевых пород на содержание кремния и алюминия (в условных единицах):

57,8	17,2	54,6	17,9	54,8	18,8	51,7	19,9
61,1	16,0	62,3	17,8	52,2	18,8	49,2	19,3
53,9	16,1	60,0	14,8	56,2	17,0	55,2	17,8
53,3	19,9	57,9	17,1	54,0	15,5	52,6	17,6
53,8	16,3	53,6	17,2	51,5	15,8	54,0	15,0
50,4	14,4	53,0	15,3	53,3	16,6	51,6	14,9
50,9	14,7	49,6	16,1	52,2	19,5	50,5	15,6
51,1	18,1	52,2	19,5	49,2	15,7	49,3	13,2
48,8	16,4	53,5	15,9	52,8	15,9	52,9	14,8
52,1	19,8	47,3	18,7	49,8	20,2	49,3	17,6
50,1	19,2	54,4	18,2	49,0	16,8	48,9	18,2
51,3	19,7	51,6	19,6	46,2	19,1	50,4	20,2
50,7	21,5	53,1	21,3	52,9	20,3	51,3	20,1
52,7	17,2	46,6	15,6	46,5	16,0	51,3	15,5
51,0	19,2	47,5	18,5	47,7	19,0	44,9	16,6
49,4	16,0	48,9	18,6	48,8	19,4	50,6	18,9

Оценить коэффициент корреляции между этими признаками, предварительно сгруппировав данные в корреляционную таблицу. Написать уравнения прямых регрессии и построить их.

Вариант 14.

5. Два токарных автомата изготовляют детали по одному чертежу. Из продукции первого станка было отобрано 9 деталей, из продукции второго – 11 деталей. Выборочные дисперсии контрольного размера найденные по этим выборкам, оказались равными 5,9 и 23,3 . На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о равенстве дисперсий, если альтернативная гипотеза: а) дисперсии не равны; б) дисперсия размера для второго станка больше, чем для первого. Распределение признака считать нормальным.

6. В тонком слое раствора золота через равные промежутки времени регистрировалось число частиц золота, попадавших в поле зрения микроскопа. Результаты наблюдений занесены в таблицу:

Число частиц	0	1	2	3	4	5	6	7
Частота	112	168	130	68	32	5	1	1

Проверить, используя критерий , согласие с распределением Пуассона, приняв уровень значимости равным 0,05.

7. Оценить коэффициент корреляции и найти уравнения прямых регрессии (Х на У и У на Х) по данным выборок:

а)

40-50

50-60

60-70

70-80

10-11

11-12

12-13

13-14

б)

7,0-7,2

7,2-7,4

7,4-7,6

7,6-7,8

7,8-8,0

2,15-2,45

2,45-2,75

2,75-3,05

3,05-3,35

3,35-3,65

3,65-3,95

Охарактеризовать степень связи рассматриваемых случайных величин.

Вариант 15.

5. Для наладки станка была проверена точность изготовления 10 втулок и найдена несмещенная оценка дисперсии диаметра – 9,6 . После наладки подвергались контролю еще 15 втулок и получено новое значение оценки дисперсии: 5,7 . Можно ли считать, что в результате наладки точность изготовления деталей увеличилась. Уровень значимости принять равным 0,05, распределение генеральной совокупности считать нормальным.

6. По каждой из 100 мишеней произведено из спортивного пистолета по 10 независимых выстрелов. Результаты стрельбы приведены в таблице:

Число попаданий	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Частота	0	2	4	10	22	28	18	12	4	2	0

Проверить, используя критерий , подчиняются ли результаты стрельбы биноминальному закону распределения. Уровень значимости принять равным 0,10.

7. Считая, что зависимость между случайными величинами имеет вид квадратного трехчлена, методом наименьших квадратов найти оценки параметров этой зависимости по выборке:

х	0,07	0,31	0,61	0,99	1,29	1,78	2,09
у	1,34	1,08	0,94	1,06	1,25	2,01	2,60

Вариант 16.

5. Давление в камере контролируется двумя манометрами. Для сравнения точность этих приборов их показания фиксируются одновременно. По результатам 10 замеров несмещенные оценки получились следующими: средних – 15,3 и 16,1, дисперсии – 0,0 и 0,15. Используя двусторонний и односторонний критерии, проверить на уровне значимости 0,1 гипотезы о равенстве средних и дисперсии. Генеральная совокупность предполагается распределенной нормально.

6. Семь монет подбрасывались одновременно 1536 раз. Каждый раз отмечалось число выпавших гербов. Получены следующие данные:

Число гербов	0	1	2	3	4	5	6	7
частота	12	78	270	456	386	252	69	13

Пользуясь критерием , проверить согласие гипотезы о наличии биноминального распределения с опытными данными. Уровень значимости принять равным 0,05.

7. Себестоимость в рублях одного экземпляра книги в зависимости от тиража в тыс. экз. характеризуется данными, собранными издательством в течении ряда лет:

Тираж	1	2	3	5	10	20	30	50
Себестоимость	10,15	5,52	4,08	2,85	2,11	1,62	1,41	1,30

100	200
1,21	1,15

Подобрать коэффициенты для гиперболической зависимости вида методом наименьших квадратов.

Вариант 17.

5. На двух станках А и Б производят одну и ту же продукцию, контролируемую по внутреннему диаметру изделия. Из продукции станка А взята выборка из 16 изделий, а из продукции со станка Б – выборка из 25 изделий. Выборочные оценки средних и дисперсий контролируемых размеров при и при . Генеральные совокупности распределены нормально. Используя двусторонний критерий, проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий контролируемых размеров в продукции обоих станков, если уровень значимости принять равным: а) 0,05; б) 0,10.

6. Ниже приведены отклонения диаметров валиков от заданного размера:

Границы интервалов	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25
частота	15	75	100	50	10

Проверить, используя критерий , гипотезу о согласии наблюдений с законом нормального распределения на уровне значимости 0,05.

7. В результате продувок в аэродинамической трубе для модели самолета были получены данные (см. табл.) о зависимости угла отклонения руля высоты от скорости воздушного потока :

Методом наименьших квадратов найти оценки параметров этой зависимости.

Скорость м/с	80	90	10	110	120	140
Угол отклонения	-3˚44΄	-2˚58΄	-2˚16΄	-1˚39΄	-1˚21΄	-0˚38΄
Число измерений	8	12	11	9	14	6

160	180	200
-0˚07΄	0˚10΄	0˚35΄
9	12	10

Вариант 18.

5. При исследовании влиянии двух типов покрытия на удельную проводимость телевизионных трубок получены следующие результаты (в условных единица):

№ трубки	1	2	3	4	5	6
Тип 1	6	5	12	9	10	-
Тип 2	14	11	0	5	6	8

Можно ли на основании этих данных считать, что тип покрытия влияет на удельную проводимость трубок. Уровень значимости принять равным 0,10.

6. Цифры 0,1,2,…,9 среди 800 первых десятичных знаков числа появились 74, 92, 83, 79, 80, 73, 77, 75, 76, 91 раз соответственно. Проверить с помощью критерия гипотезу о согласии этих данных с законом равномерного распределения при уровне значимости 0,10.

7. Результаты равноточных измерений глубины проникновения тела в преграду при различных значениях его удельной энергии (т.е. приходящейся на единицу площади соприкосновения) приведены в таблице:

Энер-гия	41	50	81	104	120	139	154	180	208	241	250
Глу-бина	4	8	10	14	16	20	19	23	26	30	31

250	269	301
31	36	37

Подобрать линейную зависимость вида: и найти оценку коэффициента корреляции рассматриваемых величин.

Вариант 19.

5. Чтобы определить, какое влияние оказывает температура окружающей среды на систематическую ошибку угломерного инструменты, проведены измерения горизонтального угла объекта утром (10˚С) и днем (26˚С). Результаты измерений следующие:

Утром	38,2	36,4	37,7	36,1	37,9	37,8	-	-
Днем	39,5	38,7	37,8	38,6	39,2	39,1	38,9	39,2

Можно ли считать, что температура окружающей среды влияет на систематическую ошибку угломерного инструмента? Уровень значимости принять равным 0,05, распределение ошибок считать нормальным.

6. Отсчет по шкале измерительного прибора производится приблизительно в долях деления шкалы. В таблице приведено 200 результатов отсчета (последняя цифра). Установить, пользуясь критерием , согласуются ли наблюдения с законом равномерной плотности, при котором вероятность появления любой цифры одна и та же. Уровень значимости - 0,05.

Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Частота появления	35	16	15	17	17	19	11	16	30	24

7. Найти параметры зависимости между переменными Х и У по данным выборки:

х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
у	16,50	13,75	13,31	12,50	13,52	12,75	12,30	12,83	12,28	12,34

Вариант 20.

5. Во время испытания радиодальномера проведено 16 независимых измерений дальности до контрольного объекта. Обработка результатов измерений дала следующие значения оценок средней и дисперсии ошибок радиодальномера: -0,03 км и 0,0324 соответственно. После юстировки устройства произведено еще 18 независимых измерений и получены оценки: 0,05 км и 0,0225 .

Можно ли считать, что юстировка не повлияла на систематическую ошибку радиодальномера? Уровень значимости -0,10.

6. Результаты наблюдений за среднесуточной температурой воздуха в течении 320 суток приведены в таблице:

Границы интервалов	-40 - -30	-30 - -20	-20 - -10	-10 – 0	0 – 10
Частота	5	11	25	42	88

10 – 20	20 – 30	30 – 40	40 – 50	50 – 60
81	36	20	8	4

Проверить с помощью критерия , с каким из двух законов распределения – нормальным или Симпсона (законом треугольника) – лучше согласуется статистическое распределение при уровне значимости 0,03.

7. Найти оценки параметров модели по данным выборки:

х	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0
у	0,4	0,3	1,0	1,7	2,1	3,4	4,1	5,8	7,7	9,4	11,4	13,6

6,5	7,0	7,5	8,0
15,6	18,6	21,2	24,1

Вариант 21.

5. При исследовании стабилизатора напряжения самолета на стенде проведено 9 независимых испытаний и получена оценка дисперсии выходного напряжения, равная 0,08 . В полете проведено еще 15 испытаний, в результате которых оценка дисперсии входного напряжения оказалась равной 0,13 . Есть ли основание полагать, что факторы, воздействующие на стабилизатор в полете, оказывают существенное влияние на его точность? Уровень значимости – 0,10.

6. С помощью контрольного прибора было измерено расстояние (в микронах) центра тяжести детали от оси ее наружной цилиндрической поверхности для 602 деталей:

Границы интервалов	0-16	16-32	32-48	48-64	64-80	80-96	96-112
Частота	40	129	140	126	121	45	19

112-128	128-144	144-160
8	3	1

Проверить, используя критерий , согласуются ли наблюденные данные с законом распределения Рэлея: , оценку параметра а которого определить по оценке математического ожидания r, используя формулу . Уровень значимости принять равным 0,05.

7. Найти оценку для параметров модели по выборке

х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
у	2,11	2,45	2,61	2,73	2,75	2,81	2,87	2,91	2,96	3,03

11	12
3,05	3,12

Вариант 22.

5. На двух станках производят одну и ту же продукцию, контролируемую по внутреннему диаметру изделия. Из продукции первого станка была взята выборка из 13 изделий, а из продукции второго – из 25 изделий. Выборочные оценки средних и дисперсий контролируемых размеров для первой выборки 38,3 мм и 3,08 , для второй – 36,8 мм и 1,44 . Используя двусторонний критерий на уровне значимости 0,10, проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий контролируемого размера в продукции станков.