При действии внешних нагрузок в нескольких плоскостях возникает пространственный косой изгиб, в этом случае изогнутая ось стержня – пространственная кривая.

На рис. 9.2 действующие моменты M_x и M_y положительны. От этих составляющих моментов возникают нормальные напряжения, которые на основе принципа независимости действия сил для точки с координатами x и y определяются по формуле

, (9.1)

где M_x и M_y – изгибающие моменты в рассматриваемом поперечном сечении; J_x и J_y – главные центральные моменты инерции сечения; x и y – координаты точки, в которой определяется напряжение (подставляются в формулу со своими знаками).

а	б
Рис. 9.2

Таким образом, косой изгиб заменяется двумя плоскими изгибами в плоскостях xOz и yOz.

В поперечных сечениях стержня, кроме изгибающих моментов M_x и M_y, возникают и поперечные силы Q_x и Q_y. Но ввиду того, что при расчетах на прочность касательные напряжения весьма невелики по сравнению с нормальными напряжениями, их влиянием на прочность пренебрегают.

9.2. Распределение напряжений по сечению. Положение нейтральной линии. Условие прочности

Вычислив напряжения в ряде точек поперечного сечения, можно построить эпюру напряжений. Если полученные напряжения откладывать в виде отрезков из соответствующих точек перпендикулярно плоскости поперечного сечения, то концы всех отрезков расположатся на некоторой плоскости, уравнение которой выражается формулой (9.1). Эта плоскость представляет пространственную эпюру напряжений. Примерный вид плоскости напряжений показан на рис. 9.3

Рис. 9.3

Если поперечное сечение стержня таково, что любая его центральная ось является главной (квадрат, круг, кольцо), то независимо от положения силовой плоскости изгиб будет прямым.

Рассмотрим произвольное сечение стержня, находящегося в условиях косого изгиба (см. рис. 9.2, б).

В сечении действует изгибающий момент М_и, не совпадающий ни с одной из главных осей инерции. Пусть линия действия изгибающего момента в сечении составляет с осью x угол , положительное направление которого отсчитывается от оси абсцисс к оси ординат. В соответствии с принятым правилом указанный момент является положительным.

Разложим вектор момента М_и на составляющие:

и ,

представив тем самым косой изгиб как сочетание двух плоских изгибов в главных плоскостях инерции стержня. Направление векторов суммарного момента и его составляющих устанавливаем по известному из теоретической механики «правилу буравчика».

Введем для составляющих моментов следующее правило знаков: момент считается положительным, если в первой четверти координатной плоскости (то есть при x > 0 и y > 0) он вызывает растягивающие напряжения.

Угловой коэффициент k₁ следа плоскости момента представляет собой тангенс угла :

Для расчета на прочность необходимо определить положение опасного поперечного сечения по длине стержня и опасных точек в этом сечении. Положение опасного сечения определяется непосредственно по условию прочности. Для установления опасных точек в поперечном сечении необходимо знать положение нейтральной линии, поскольку нормальное напряжение пропорционально расстоянию от нее. Следовательно, наиболее удаленные от нейтральной линии точки и будут опасными.

Нейтральной линией, как известно, называется геометрическое место точек, где нормальные напряжения  равны нулю. Подставляя условие  = 0 в соотношение (9.1), получаем уравнение нейтральной линии

(9.2)

Здесь х₀ и у₀ – координаты произвольной точки нейтральной линии. Это уравнение представляет собой уравнение прямой, проходящей через начало координат (центр тяжести сечения) и не совпадающей ни с одной из главных осей, отсюда

(9.3)

Преобразуем выражение (9.3) к виду

Обозначая угол наклона нулевой линией к оси Ох через α (см. рис. 9.2, а), получим

(9.4)

Из формулы (9.4) следует, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости изгибающего момента.

Обозначим угловой коэффициент нейтральной линии:

.

Так как в общем случае J_x  J_y, то условие перпендикулярности прямых не соблюдается, поскольку

.

При этом нейтральная линия отклоняется от вектора изгибающего момента M_и в сторону оси наименьшей жесткости (tg   tg ,   ).

Иллюстрацией к данному выводу является рис. 9.4. На рис. 9.4, а изображено сечение, у которого J_x  J_y. По формуле (9.4) получим, что tg α  tg , т.е. α  . Это значит, что нейтральная линия отклоняется от перпендикуляра к линии действия суммарного момента в сторону оси у.

Jx  Jy Jx  Jy
а	б
Рис. 9.4

На рис. 9.4, б показано сечение, для которого . При этомtg α  tg , α  , следовательно, нейтральная линия отклоняется в сторону оси x.

Если J_x = J_y (сечение имеет более двух осей симметрии – квадратное, круглое, кольцевое и т.д.), то все центральные оси сечения являются главными, а значит, суммарный момент лежит всегда в одной из главных плоскостей. В этом случае изгиб является плоским.

После определения положения нейтральной линии к контуру сечения (при произвольном его очертании) проводятся касательные линии, параллельные нейтральной оси. Точки касания и определяют положение наиболее напряженных точек сечения (точки A и B на рис. 9.2, а).

Для стержня, изготовленного из пластичного материала, условие прочности будет иметь вид

(9.5)

где и– координаты опасных точек.

Для стержня из хрупкого материала составляются два условия прочности:

(9.6)

где и– допускаемые напряжения на растяжение и сжатие.

Для сечений, имеющих две оси симметрии и точки, одновременно наиболее удаленные от обеих главных осей (прямоугольник, двутавр и подобные им), опасными являются те угловые точки, в которых напряжения от обоих изгибающих моментов имеют одинаковый знак.

Условие прочности в данном случае имеет вид

(9.7)

где W_x и W_y – осевые моменты сопротивления сечения.

Для подбора сечения балки при косом изгибе формулу (9.7) преобразуем к виду

откуда

(9.8)

Обозначим выражение, стоящее в скобках, через M_расч:

(9.9)

где .

При определении размеров прямоугольного сечения =   – это отношение обычно задается, что позволяет вычислить W_x, а затем размеры b и h. При подборе номера стандартного прокатного профиля (двутавр, швеллер) учитывается, что отношение для всей совокупности профилей изменяется в довольно узких пределах: для двутавров = 7–12; для швеллеров – 3–10.Из приведенных интервалов выбирается среднее отношение и по формуле (9.8) вычисляется W_x, затем по сортаменту для соответствующего профиля берется уточненное отношение для выполнения следующего приближения. Процесс заканчивается, когда в результате последующей итерации расчет приводит к тому же номеру профиля.

Положение опасного сечения определяется по условию (9.9).