- •Тема 2 векторная алгебра
- •Задачи по теме «Векторная алгебра»
- •3.2 Кривые второго порядка
- •Задачи по теме «Кривые второго порядка»
- •Поверхности второго порядка
- •1. Эллипсоид. Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид
- •3. Конус второго порядка (рис. 25). Каноническое уравнение конуса имеет вид
- •Поверхности, заданные уравнениями
- •Поверхности, заданные в декартовой системе координат уравнением
ТЕМА 1
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
1. 1. Матрицы и определители
1.2. Система линейных уравнений
Задачи по теме «Линейная алгебра»
Задача 1. Вычислить определитель III-го порядка:
а) по правилу треугольников ,
б) по теореме разложения , используя свойства определителей .
Решение.
а)
б) прибавим вторую строку сначала к первой, а затем к третьей строкам. Полученный определитель разложим по элементам второго столбца , , :
Ответ:
Задача 2. Используя свойства определителей и теорему разложения , вычислить определитель IV порядка:
Решение.
Ответ:
Задача 3. Даны матрицы А и В. Найти матрицу где
Решение. Найдем слагаемые матрицы С, потом подставим их в правую часть равенства.
5
6
4
Ответ:
4
Задача 4. Решить данную систему линейных уравнений:
а) по формулам Крамера ;
30
б) матричным методом ;
31
в) методом Гаусса .
32
Решение.
а) Формулы Крамера:
.
30
Так как т.е. определитель системы отличен от нуля, система имеет единственное решение. Остается найти , подставив найденные и в любое из уравнений системы, например в первое:
Проверка: подставим найденные значения , , в каждое уравнение системы:
Ответ: , , .
б) Матричный метод:
Введем обозначения
- матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, матрица системы;
- матрица из неизвестных системы;
- матрица из свободных членов системы.
С помощью этих матриц данную систему уравнений можно записать так:
.
Решив это уравнение относительно матрицы (матрицы неизвестных) ,
31
,
найдем решение системы.
Составим матрицу , обратную по отношению к матрице, т.е. :
:
7
1. (см решения этой системы по формулам Крамера).
14
2. Составим матрицу (присоединенную), элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы :
, где ,
а именно - произвольный элемент новой матрицы; - алгебраическое дополнение элемента матрицы ; - минор этого элемента.
3. Транспонируем полученную матрицу , имеем .
6
4. Запишем .
Остается найти матрицу :
,
т.е. , отсюда по получим Ответ:
в) Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) .
Выполняя элементарные преобразования над строками данной матрицы, стараемся придать ей «форму трапеции», т.е. обращаем в нули элементы, расположенные под главной диагональю матрицы, исключая неизвестные:
~ ~
+
Полученная матрица равносильна исходной. Восстановим систему уравнений, соответствующую последней матрице (выполним «обратный ход»):
Ответ: , , .
Замечание 1. Если ранг матрицы системы и ранг ее расширенной матрицы равны, т.е. , то система совместна .
22
В нашем примере .
Если, кроме того, , где - число неизвестных, то система имеет единственное решение. В нашем примере .
26
32
Задача 5. Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса: , , .
33
34
а)
Решение.
~ ~ .
Делаем «обратный ход»:
Последнее уравнение не имеет решений.
23
Ответ: система противоречива, т.е. не имеет решений .
Замечание 2. Проанализировав последнюю матрицу, можно заметить, что , а , т.е. решений у системы нет .
23
б)
Решение.
~ ~ .
Система уравнений, соответствующая этой матрице, имеет вид
Так как число уравнений меньше числа неизвестных, то система неопределенная, т.е. имеет бесконечно много решений . Допустим - любое действительное число, тогда
27
или а
Проверка: Допустим , тогда ,, подставим эти значения неизвестных в систему:
Ответ: или .
Замечание 3. В нашем примере легко увидеть по матрице, полученной в результате элементарных преобразований, что , но число неизвестных . Число свободных переменных (у нас это ). Так как - любое действительное число, у системы уравнений бесконечно много решений, определяемых по формулам, приведенным в ответе.
27
в)
Решение.
~ ~ .
Запишем систему уравнений, соответствующую последней матрице, отбросив «лишнюю» строку:
Так как число уравнений меньше числа неизвестных, то система неопределенная, т.е. имеет бесконечно много решений .
29
Пусть - любое действительное число – свободная переменная, выразим через нее и :
.
Проверка: положим , тогда , .
Ответ: или .
25
Замечание. Однородная система уравнений всегда совместна . В примере , а - число неизвестных; значит, система неопределенная, - число свободных переменных . У нас в примере это .
29
г)
Решение.
~
Запишем систему уравнений, соответствующую последней матрице, т.е. выполним «обратный ход»:
Ответ: .
25
Замечание. Так как однородная система линейных уравнений всегда совместна , а из последней матрицы, полученной из матрицы систем путем элементарных преобразований, видно, что , т.е. , то данная однородная система имеет единственное решение, т.е. нулевое решение.
28
Тема 2 векторная алгебра
Задачи по теме «Векторная алгебра»
Задача 1. Даны векторы и . Найти вектор .
Решение. Так как вектор - линейная комбинация векторов и , используем теорему о свойстве линейных операций над векторами , т.е. сведем данные в задаче линейные операции над векторами к таким же операциям над их координатами:
3
5
;
;
.
Ответ: .
Задача 2. Даны векторы , , . Выяснить, можно ли принять векторы и за базисные, и если можно, то выразить вектор через них. Найти координаты вектора относительно базиса и .
Решение.
а) Вначале проверим коллинеарность векторов и , составив и сравнив отношения их одноименных координат . Из этого неравенства следует, что векторы и неколлинеарны, значит, линейно независимы, т.е. могут быть приняты за базис .
4
5
б) В базисе и выразим вектор , как их линейную комбинацию: , где и - неизвестные пока коэффициенты . Используя теорему о свойстве линейных операций над векторами , перейдем в полученном равенстве к координатам:
4
5
Решив эту систему, получим , , подставим их в линейную комбинацию: - это разложение вектора в базисе и , а коэффициенты справа – координаты вектора в базисе и .
Ответ: , или .
Задача 3. Доказать, что точки , , и служат вершинами трапеции. Выяснить, которое из оснований трапеции длиннее другого, во сколько раз.
Решение. Найдем координаты векторов, последовательно соединяющих данные точки . , ; , . Легко увидеть, что векторы и удовлетворяют условию коллинеарности : , . Следовательно, , значит, , т.е. , а . Проверим коллинеарность векторов и : . Значит четырехугольник - трапеция.
5
5
Задача 4. Найти орт и направляющие конусы вектора , если , .
Решение. Найдем координаты вектора : . Его длина по формуле : . Так как орт вектора определяют по формуле , , по
5
7
7
6
.
Ответ: ; .
Задача 5. На материальную точку действуют силы ; ;. Найти работу равнодействующей этих сил при перемещении точки из положения в положение .
Решение. Работа силы на пути вычисляется по формуле : (механический смысл скалярного произведения). Найдем вектор , т.е. , а вектор пути . По формуле скалярного произведения векторов в ДСК получим .
6
5
7
Ответ: .
Задача 6. Даны векторы и . Найти проекцию вектора на направление вектора .
Решение. Чтобы воспользоваться формулой проекции вектора на вектор : , найдем координаты вектора , длину вектора и скалярное произведение
6
5
7
. Теперь подставим в формулу найденные значения .
7
Ответ: .
Задача 7. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .
Решение. Найдем, например, косинус угла , который образует векторы и , координаты которых находим по формулам и : ; .
Далее используем формулу :
, где
;
, .
Замечание: т.к. оказался положительным, то - острый угол; косинус угла, смежного с углом , отличается от знаком.
Задача 8. Даны вершины четырехугольника , , и . Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.
Решение. Если два вектора взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю . Найдем векторы, совпадающие с диагоналями четырехугольника : , . Вычислим скалярное произведение этих векторов : . Диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны
6
5
7
.
7
Задача 9. Векторы и образуют угол . Зная, что , , найти длину вектора .
Решение. Используем формулу :
6
,
т.к. , , .
Ответ: .
Задача 10. Найти площадь треугольника с вершинами в точках , , .
Решение. Рассмотрим векторы и , совпадающие со сторонами данного треугольника : и . Используя геометрический смысл векторного произведения двух векторов : , вычислим сначала векторное произведение : - это вектор. Теперь найдем его модуль : .
.
Ответ: кв.ед.
Задача 11. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где , , а угол между векторами и равен .
Решение. По формулам :
кв. ед.
В решении задачи использован распределительный закон, которому подчиняется векторное произведение векторов и свойства векторного произведения: и , а также формула .
Ответ: кв. ед.
Задача 12. Вычислить объем пирамиды, вершины которой находятся в точках , , .
Решение. Найдем координаты векторов, совпадающих с ребрами пирамиды, прилежащими к одной из вершин ее, например , , . Используя геометрический смысл смешанного произведения
, найдем объем параллелепипеда, а затем – объем пирамиды, который равен объема параллелепипеда. По формуле :
куб. ед.
Ответ: куб ед.
Задача 13. Доказать, что четыре данные точки , , лежат в одной плоскости.
Решение. Чтобы решить задачу, достаточно доказать, что три вектора, соединяющие данные точки, компланарны, т.е. лежат в одной плоскости. Смешанное произведение компланарных векторов равно нулю . Введем в рассмотрение векторы , , и вычислим их смешанное произведение:
10
,
что и требовалось доказать.
ТЕМА 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
3.1 Прямая на плоскости
Задачи по теме «Прямая на плоскости»
Задача 1. Через точку провести прямые, параллельные осям координат.
Решение.
а) Если , то по уравнение : , а так как , то (координаты должны удовлетворять уравнению ).
1
б) Если , то по уравнение : , а так как , то (координаты должны удовлетворять уравнению ).
1
Ответ: :; : .
Задача 2. На каком расстоянии от начала координат проходит прямая ?
Решение. Воспользуемся формулой . Чтобы найти расстояние от точки - начала координат – до данной прямой , подставим в левую часть этого уравнения, вместо текущих координат, координаты точки , возьмем полученное число по модулю и поделим его на длину нормального вектора , т.е. на , имеем .
2
Ответ: .
Задача 3. Найти площадь треугольника, образованного прямой и осями координат. Построить эту прямую.
Решение. Приведем уравнение данной прямой к виду «в отрезках на осях» :
, т.е. к виду , где ,
- отрезки, отсекаемые прямой на осях координат.
Треугольник, образованный данной прямой и осями
координат, - прямоугольный, а катеты его равны 3 и 7. Тогда:
кв. ед.
Ответ: кв.ед.
Задача 4. Даны точка и вектор . Через точку провести две прямых, одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна вектору .
Решение.
а) - воспользуемся уравнением , где и - координаты точки, лежащей на прямой, а - направляющий вектор прямой. Приняв за него вектор , получим: или .
б) – воспользуемся уравнением , где точка принадлежит прямой, а вектор – нормаль к прямой, за которую примем вектор : или .
Ответ: : ; : .
Задача 5. Какие углы с осью образуют прямые, проходящие через точки:
а) и ; б) и ; в) и ?
Решение. Используем уравнение прямой, проходящей через две данные точки :
.
а) или , где , т.е. , .
б) или , где , т.е. , .
в) или , где не существует, т.е. , .
Ответ: ; ; .
Задача 6. Найти углы, которые получатся при пересечении двух данных прямых и .
Решение. Воспользуемся формулой : , и - где угловые коэффициенты данных прямых соответственно. Преобразуем уравнение данных прямых к виду : ; . Тогда т.е. угол, который образует первая прямая со второй, ; второй, смежный с ним, который образует вторая прямая с первой, .
Ответ: .
Задача 7. Через точку пересечения прямых и провести две прямые, одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна прямой ( , ).
Решение. Воспользуемся уравнением , где - угловой коэффициент прямой, а - точка, через которую проходит искомая прямая. Вначале найдем точку, как точку пересечения данных прямых, решив совместно их уравнения:
4
а) первая из искомых прямых параллельна прямой , следовательно, ее угловой коэффициент , т.к. уравнение можно записать так: . Подставив в уравнение , найденные параметры получим: или .
9
4
б) вторая из искомых прямых перпендикулярна , следовательно, ее угловой коэффициент . Тогда уравнение второй - искомой прямой: или .
10
Ответ: ; .
Задача 8. Показать, что точки , и лежат на одной прямой.
Решение. Через точки и проведем прямую : , или , или . Чтобы убедиться, что точка тоже лежит на этой прямой, подставим координаты этой точки в полученное уравнение прямой . Задача решена.
8
Задача 9. Даны координаты вершин треугольника: , ,. Найти уравнение медианы , проведенной из вершины к стороне , и вычислить ее длину.
Решение. а) Найдем координаты точки - середины отрезка по формулам:
, ; .
Уравнение медианы составим, используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки и : , или .
б) Длину медианы вычислим по формуле:
.
Ответ: а) ; б) .
Задача 10. Найти точку , симметричную точке относительно прямой .
Решение. Искомая точка симметрична точке относительно прямой , если она лежит на одном с ней перпендикуляре к прямой : , и на одинаковом расстоянии от прямой : .
а) Составим уравнение прямой : , где , т.к. и ; или .
б) Найдем точку – точку пересечения прямых и , решив систему их уравнений:
- проверьте!
в) Так как - середина отрезка . Воспользуемся формулами деления отрезка пополам, приведенными в предыдущей задаче. Подставив в них известные величины и , получим уравнения , . Отсюда , .
Ответ: .