- 76 - - 76 - - 76 -

Некоторые сведенья из математики

Степени мнимой единицы:

.

Комплексная плоскость.

Умножение вектора на j – поворот на 90 градусов против часовой стрелки, деление на j - поворот на 90 градусов по часовой стрелке.

Степенные ряды

Из них следуют формулы Эйлера:

Комплексная форма представления гармонических функций

[2, с. 61]

Воспользуемся формулами Эйлера:

Гармонический сигнал можно представить, как сумму двух сигналов:

В линейной системе, для которых справедлив принцип суперпозиции, прохождение сигналов и можно рассматривать независимо. Умножение входного сигнала на постоянный коэффициент (в данном случае это 1/2 или 1/2j) не влияет на частотные характеристики, так как они определяются отношением сигналов на выходе и на входе.

Таким образом, для определения реакции звена на гармонический сигнал достаточно рассмотреть прохождение лишь одного из двух идентичных сигналов (e^jt или e^-jt). Поэтому пользуются символической записью, производя замену: , а иногда и замену [2].

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Общее решение.

Движение линейной динамической системы описывается уравнением

Уравнение, правая часть которого равна нулю , называется однородным. Решение однородного уравнения называется общим решением. Общее решение описывает свободное движение системы, т.е. движение системы при отсутствии возмущений (переходный процесс, свободное движение).

Порядок уравнения (n), совпадает с порядком высшей производной уравнения.

Линейность системы определяется тем, что коэффициенты a_k не зависят от переменной x (координаты системы). В стационарных системах коэффициенты a_k не зависят от переменной t (времени).

Решение однородного уравнения имеет вид , где С – произвольная постоянная величина,  в общем случае комплексное число.

В этом легко убедиться непосредственной подстановкой, учитывая, что:

После сокращения множителя получен уравнение степени n относительно переменной . Этот уравнение называется характеристическим уравнением [2] ДУ. Из полученных соотношений следует:

Функция действительно является решением ДУ однако не при произвольном значении параметра , а только в том случае, когда  является корнем характеристического уравнения. Экспоненциальные функции называют собственными функциями линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Очевидно, что функция , где C – произвольная постоянная, также является решением ДУ.

Число корней характеристического уравнения равно порядку дифференциального уравнения (1, 2, …,n). Корни могут быть действительными, попарно сопряженными мнимыми или комплексными. Корни могут быть кратными.

Характеристическое уравнение может быть записано в виде:

.

При отсутствии кратных корней решение однородного ДУ может быть записано в виде суммы:

,

где Ck – константы, определяемые начальными условиями. Возможность представление всего решения в виде суммы отдельных решений следует из линейности уравнений и принципа суперпозиции.

Действительные корень, скажем, ₁ дают слагаемые вида x₀₁(t)=C₁exp(1t).

Пара комплексных сопряженных корней скажем,

₂₁= ₂+j₂ и ₂₂=₂-j₂

дают два слагаемых x₀₂ (t)=C₂₁exp(₂t+j₂t)+ C₂₂exp(2t-j2t). Частота ₂ – одна из собственных частот системы. Решение может быть записано в виде

.

Каждой паре комплексно-сопряженных или мнимых корней соответствует собственная частота системы. При кратных корнях значения собственных частот совпадают.

Свободное движение системы затухает, т.е. lim _t x₀(t)=0, при условии, что действительные части корней характеристического уравнения лежат в левой части комплексной плоскости (в данном случае, при условии ₂ <0) .

Это и есть условие устойчивости линейной системы.

Физическая система устойчива, если любые малые вариации условий, в которых она функционирует, приводят лишь к малым изменениям в поведении (реакции) системы.

Устойчивость линейных систем состоит в том, что эффект от малых возмущений мал [8].

Для устойчивых нелинейных систем более строго потребовать, чтобы при малых вариациях возмущений изменения в поведении (реакция) системы оставались конечными.

Частное решение дифференциального уравнения – это решение уравнения с правой частью, отличной от нуля

.

Функция g(t) – внешнее воздействие. Каждому виду воздействия соответствует свое частное решение, которое отыскивается методами, описываемыми в пособиях по решению ДУ.

Частное решение при экспоненциальном воздействии.

Полагаем, что в правой части уравнения – экспоненциальный сигнал с постоянной амплитудой A и произвольной частотой , в общем случае, не совпадающей с собственными частотами системы:

.

Решение ищется в виде экспоненциального сигнала той же частоты , но с неизвестной амплитудой (b) и фазой ():

.

Для сокращения записей введена комплексная амплитуда B. Подстановка и дифференцирование дает:

.

Таким образом, найдено частное решение для этого воздействия. В общем случае амплитуда A может быть тоже комплексной, т.е. A=Ae^j.

Для представления выходного сигнала x₁ (t) в показательной форме надо умножить числитель и знаменатель на сопряженное со знаменателем комплексное число, и разделить действительную и мнимую часть:

Для упрощения преобразований вводится оператор дифференцирования , который условно считается алгебраической величиной

В частности,

Тогда дифференциальное уравнение запишется в виде:

.

Отметим, что в уравнении x=x(t) – функция времени.

Правая часть уравнения может содержать производные возмущающего воздействия:

Формальное отношение

называется передаточной функцией [18]. Позже будет показано, что для физически реализуемых систем должно выполняться условие nm.

Формальная замена pj преобразует передаточную функцию в частотную передаточную функцию

Используется также термин частотная характеристика (например, [29, с. 88]).

Частотная передаточная функция динамического объекта - отношение комплексной амплитуды выходного гармонического сигнала к комплексной амплитуды входного гармонического сигнала в установившемся режиме.

Частотная передаточная функция может быть представлена в форме

Функция U() – четная, V() – нечетная относительно . Модуль и фаза частотной передаточной функции

,

A() – амплитудная частотная характеристика (амплитудно-частотная характеристика),  () – фазовая частотная характеристика (фазово-частотная характеристика).

Иными словами, если входной сигнал g(t)=G_mcos(t+), то выходной сигнал в установившемся режиме x(t)=A()G_mcos(t++ ()).

Частотную передаточную функцию можно изобразить графически в виде годографа на комплексной плоскости. Годограф частотной передаточной функции -

геометрическое место точек конца вектора W(j) при изменении частоты  от нуля до бесконечности (минус бесконечности).

Для линейных систем применим принцип суперпозиции. Поэтому решение задачи прохождения гармонического сигнала через динамическую позволяет найти реакцию системы на любой сигнал, который может быть представлен в виде суммы конечного или бесконечного числа гармонических сигналов. Иными словами, любого сигнала f(t), для который существует преобразование Фурье (ряд или интеграл):

.

Необходимым условием существования интеграла Фурье абсолютная интегрируемость функции:

.

Если входной сигнал (g(t)) может быть преобразован по Фурье, то сигнал на выходе системы (x(t)) может быть найден в результате последовательности преобразований:

.

Требование абсолютной интегрируемости сигнала в задачах управления часто

не может быть выполнено.