1.5. Нахождение экстремумов на множестве значений

Экстремум — это максимум или минимум на множестве значений.

Задание. Составить и испытать циклическую программу для получения результата, указанного в варианте задания, выбрав значения векторов X, Y, число n элементов вектора, величину A — в вариантах 26, 27. Если экстремальное значение повторяется, а найти надо его номер, считайте результатом номер первого по порядку экстремума.

Варианты задания

1. Номер наименьшего по абсолютной величине элемента вектора X.

2. Наибольший элемент в векторе X и наименьший — в векторе Y.

3. Наибольшая по абсолютной величине разность соседних элементов в векторе X.

4. Номер наибольшего из отношений X_k /Y_k, k = 1, 2 , 3, … , n.

5. Номер наибольшей среди сумм ,m = 2, 3, … , n.

6. Произведение наименьшего элемента вектора X и наибольшего элемента вектора Y.

7. Сумма квадратов значений наибольшего и наименьшего элементов вектора X.

8. Наименьшая по абсолютной величине разность X_k–Y_k, k =1,2, … , n.

9. Наибольшая среди сумм ,m = 2, 3, … , n.

10. Номер наибольшей разности |X_k| – | X_{n – k+ 1} |, k = 1, 2 , 3, … , n.

11. Наименьшее из значений X_k² + 2/X_k, k = 1, 2 , 3, … , n.

12. Номер наименьшего из значений X_k² – Y_k², k = 1, 2 , 3, … , n.

13. Значение (X_min+ Y_min)/2, где X_min (Y_min) — наименьший элемент вектора X (вектора Y).

14. Номер m наибольшего среди произведений ,m = 2, 3, … , n.

15. Номер наибольшего элемента X_k и наибольшее значение |X_k |.

16. Номер наименьшего из значений X_k^Yk, k = 1, 2 , 3, … , n.

17. Наибольшее из отношений ,m = 2, 3, … , n

18. Разность наибольшей и наименьшей абсолютной величины элемента вектора X.

19. Наименьшее из значений X_k² – X_k–1² и соответствующий номер k.

20. Номер наибольшего из значений ,k = 1, 2 , 3, … , n.

21. Наименьшее из произведений ,m = 2, 3, … , n.

22. Наибольшая среди сумм ,m = 2, 3, … , n.

23. Наименьшая сумма X_k² + X_k+1 и соответствующий ей номер k.

24. Номер наименьшего из значений Y_k²– , k = 1, 2 , 3, … , n.

25. Наибольшее из значений | X_k ·Y_{n– k+1}|, k = 1, 2 , 3, … , n.

26. Элемент вектора X, для которого разность (X_k – A) максимальна.

27. Номер элемента вектора X, имеющего ближайшее значение к A.

28. Два наибольших (хотя бы и равных наибольших) произведения X_k–1 X_k и номер k первого их сомножителя.

29. Наибольшее число подряд идущих отрицательных элементов вектора X (хотя бы и один элемент или 0).

30. Наибольшее число подряд идущих пар (X₁,Y₁), (X₂,Y₂), (X₃,Y₃), … , (X_k,Y_k), … , (X_n,Y_n), в которых X_k < Y_k.

1.6. Вычисления в цикле по рекуррентным формулам

Задание. Составьте программу суммирования начальных членов заданного ряда при заданном аргументе x, пока абсолютная величина члена ряда не станет меньше E (малая величина, например 0,0000001).

Вычисляйте члены ряда по рекуррентным формулам, которые выведите, анализируя выражение общего члена ряда. Для тестирования программы используйте |x| ≤ 1.

Правильное значение суммы ряда приблизительно равно значению контрольной формулы (см. ниже перечень контрольных формул; номера ряда и номер формулы совпадают). В противном случае для нахождения ошибки проверьте вычисления по шагам, в отладочном режиме, используя удобное значение x = 1.

Пример выполнения задания для пункта № 0 перечня рядов. Обозначим j номер члена ряда. Если x < 1, имеем дело с быстро убывающим рядом, т.е. число суммируемых членов невелико. Тем не менее, можно значительно ускорить суммирование, если свести к минимуму число умножений при получении очередного члена ряда. Вместо возведения в степень (2j –1) будем увеличивать на 2 текущую степень x, а текущее значение знаменателя zn будем получать, умножая предыдущее на два новых сомножителя (2j–3), (2j–2). Кроме x, zn и E, потребуются переменные chis (числитель), slag (член ряда) = chis/zn, Sum (сумма). Ниже дана одна из возможных схем суммирования:

chis = x, zn = 1, slag = x, Sum = 0,

ВЫПОЛНЯТЬ // Строим цикл с постусловием

slag = chis/zn,

Sum = Sum + slag,

j = j+1, chis = –chis · x · x,

zn = zn (2j–3) (2j–2) // chis и slag меняют знак!

ПОКА НЕ СТАНЕТ ИСТИНОЙ |slag| < E.

Схему можно усовершенствовать. Если предусмотреть переменную со значением x², а в цикле вместо j изменять (на 2) переменную со значением 2j, исчезнут еще три умножения при вычислении очередного члена ряда.

В примере использовано разложение в ряд произведения x·cos x. Возможное несовпадение значений x·cos x, Sum — признак ошибки в подготовке и/или построении цикла. Программируя цикл, нужно тщательно выверять исходные значения и порядок записи действий.

Перечень бесконечных рядов

0. x – x³/2! + x⁵/4! – x⁷/6! + x⁹/8! – x¹¹/10! ± …

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23. 

24. 

25. 

26. 

27.

28.

29.

30.

Перечень контрольных формул

№	Формула	№			Формула