- •1. Разработка алгоритмов с простой структурой
- •1.2. Запись и вычисление логических выражений
- •Перечень логических формул:
- •Варианты задания
- •1.4. Обработка векторов в цикле с ветвлением
- •1.5. Нахождение экстремумов на множестве значений
- •Варианты задания
- •1.6. Вычисления в цикле по рекуррентным формулам
- •1.7. Управление циклом по сложному условию
1.7. Управление циклом по сложному условию
Выполняя задание, используйте цикл, завершаемый либо после использования 20 заданных значений (0,1; 0,2; 0,3; … ; 2,0) аргумента x заданной функции F(x), либо ранее, при выявлении характерной точки.
Точка x* локального минимума (локального максимума) функции F характеризуется тем, что в достаточно малой ее окрестности все значения функции больше (меньше) F(x*). Признаком прохождения локального экстремума является изменение знака приращения функции: при прохождении максимума — с плюса на минус, а при прохождении минимума — с минуса на плюс. Нуль функции F(x) — это аргумент x**, обращающий функцию в нуль. Для выявления нуля непрерывной функции достаточно найти близкие значения аргумента x < x, такие, что . Тогдаx < x** < x.
Задание. Для выявления характерной точки изменяйте x с шагом 0,1, начиная от точки 0,1 (предел x = 2), вычисляйте F(x) и применяйте соответствующий критерий. Используйте цикл с предусловием или постусловием, заканчивающийся при выявлении искомой точки либо после прохождения 20 указанных значений аргумента x.
В каждом варианте задания указана функция F(x) и две характерные точки; найдите каждую из этих точек.
Варианты задания
1 – e x/3/5 +ln (x + 0,1); нуль функции; локальный максимум.
e –x/7+ln (x+1)+(5x – 3)/(x3 +1); нуль функции; локальный максимум.
x2 e x–2 – arctg (x (x + 2)2); локальный минимум; нуль функции.
e–2x + x2 – 3; локальный минимум; нуль функции.
sin (3x +1); нуль функции; локальный максимум.
1,5 x2 e x/20 – 4+ 1; локальный минимум; нуль функции.
3x– π x2; локальный максимум; нуль функции.
(x4 – 13x2 + 25)/π локальный максимум; нуль функции.
; локальный минимум; нуль функции.
–x3; локальный максимум; нуль функции.
ln x – e –x/5 ; локальный минимум; нуль функции.
x – e –x+2 cos 2x; нуль функции; локальный максимум.
x– x3 локальный максимум; нуль функции.
2 – (4 + x3e –x)/(x – x2 + 1); локальный минимум; нуль функции.
cos (x – 2)/(x + 0,2); нуль функции; локальный максимум.
50 (x + 0,2)2 e –3x – 1 – 0,5; локальный максимум; нуль функции.
/(1,9 + 1,5x2) – 1; нуль функции; локальный максимум.
+ e –x/7 – x3; локальный максимум; нуль функции.
/ (x2 – 2x + 2); нуль функции; локальный максимум.
x2 – e2x/x + 14; локальный максимум; нуль функции.
10 e –x/3 ln (x + 1,2) – 5; нуль функции; локальный максимум.
1 – /(x – x2 + 3); локальный максимум; нуль функции.
; локальный минимум; нуль функции.
2x e –x + локальный максимум; нуль функции.
/(x2 +1); локальный минимум; нуль функции.
e x/5 – 5x2 e –x ln x; локальный максимум; нуль функции.
3x– 2x2 + 1; локальный максимум; нуль функции.
(x4 – 7x2 + 11)/7; локальный максимум; нуль функции.
+ e –x (x–1) – x2/5; локальный максимум; нуль функции.
1– ex/5+(1/(x+5) +e –x) ln (x +1); локальный максимум; нуль функции.
1.8. Итерационное вычисление нуля функции F
При решении уравнения F(x) = 0 методом дихотомии переменными являются границы области, в которой находится корень. Исходные границы задают так, чтобы знак функции F на границах был различен. Проверяют знак функции в средней точке x текущей области: точкой x заменяют ту границу, где знак функции такой же. Подобное сокращение вдвое области выполняют многократно, пока ее размер не станет меньше E — допустимой погрешности значения корня. Функция F должна быть непрерывной в области поиска корня.
Совпадение знаков двух величин проверяется просто: только в этом случае произведение величин положительно.
Первые шаги рассмотренного про-цесса показаны на рис. 1.1. На первом шаге заменяется левая граница. Второй шаг приведет к замене правой границы. В цикле реализации шагов требуется ветвление для выбора одной из границ и замены ее. Прогноз числа шагов затруднителен. Обычно мы не знаем число повторений итерационного цикла.
Задание. Найдите корень уравнения F(x) = 0, используя в качестве F(x) заданную формулу из табл. 1.1. Все формулы таковы, что нуль функции F(x) находится между точками a = 0,1 и b = 1.
.
Рис. 1.1