Линейность преобразований

Простейшими преобразованиями между двумя ИСО являются линейные. Например, длякоординатыx ивремениt можно записать:

где A_i,B_i,C_i — некоторые постоянные коэффициенты, которые могут зависеть от единственного параметра — относительной скоростиv. Линейность преобразований обычно связывается с однородностьюпространства и времени.

Вообще говоря, можно показать, что в общем случае преобразования между двумя ИСО должны быть дробно-линейными функциямикоординат и времени с одинаковымзнаменателем^{[8] [9]}. Для этого достаточно использовать определение ИСО: если некоторое тело имеет постоянную скорость относительно одной инерциальной системы отсчёта, то его скорость будет постоянна и относительно любой другой ИСО.

Для получения линейных преобразованийнеобходимо выполнение более сильного требования: если два объекта имеют одинаковые скорости относительно однойинерциальной системы отсчёта, то их скорости будут равны и в любой другой инерциальной системе^[10].

[Править] Согласование единиц измерения

Чтобы измерения, выполненные в различныхИСО, можно было между собой сравнивать, необходимо провести согласованиеединиц измерениямежду системами отсчёта. Так, единицы длины могут быть согласованы при помощи сравненияэталоновдлины в перпендикулярном направлении к относительному движению инерциальных систем отсчёта. Например, это может быть кратчайшеерасстояниемеждутраекториямидвух частиц, движущихся параллельно осям x и x' и имеющих различные, но постоянные координаты (y, z) и (y',z'). Поэтому при относительном движении систем вдоль оси x можно считать, что y'=y, z'=z.

Для согласования единиц измерения времениможно использовать идентично устроенные часы, например,атомные. Другой способ согласования единиц времени — это соглашение о некотором значении относительной скорости систем отсчёта. Если начало системы S' (x'=0) движется соскоростьюv вдоль оси x системы S, то еготраекторияв этой системе будет иметь вид x=vt. Аналогично, начало системы отсчёта S (x=0) движется относительно S' со скоростью -v, поэтому имеет траекторию x'=-vt'. При этом событие совпадения начал отсчёта систем выбирается за начальный момент времени (t'=t=0, когда x'=x=0). Эти соглашения позволяют записать преобразования в следующем виде:

где коэффициенты γ(v), σ(v) зависят от относительной скорости систем отсчёта и для своего определения требуют дополнительных предположений.

Изотропность пространства

Пространство в инерциальных системах отсчётапредполагаетсяизотропным(нет выделенных направлений). Это приводит к тому, чтоγ(v) является чётной функциейскорости:γ( − v) = γ(v).

Рассмотрим, например, измерение длинынекоторого объекта (линейки), неподвижного в системе отсчёта S'. Если одновременно(Δt = 0) в системе S измерить координаты «начала» и «конца» линейки, то её длина Δx' = γ(v)Δx не должна зависеть от направления (знака) скорости v, откуда следует, что функцияγ(v) является чётной.

Принцип относительности

Ключевым для аксиоматики специальной теории относительности является принцип относительности, утверждающий равноправиеинерциальных систем отсчёта. Это означает, что все физические процессы в инерциальных системах отсчёта описываются одинаковым образом. Совместно с остальными постулатами, перечисленными выше, принципа относительности достаточно, чтобы получить явный вид преобразований координат и времени междуИСО.

Для этого необходимо рассмотреть три инерциальные системы S1, S2 и S3. Пусть скоростьсистемы S2 относительно системы S1 равнаv₁, скорость системы S3 относительно S2 равна v₂, а относительно S1, соответственно, v₃. Записывая последовательность преобразований (S2, S1), (S3, S2) и (S3, S1), можно получить следующее равенство:

Доказательство 

Так как относительные скорости систем отсчёта v₁ и v₂ произвольные и независимые величины, то это равенство будет выполняться только в случае, когда отношение σ(v) / v равно некоторой константе α, единой для всех инерциальных систем отсчёта, и, следовательно,.

Существование обратного преобразования между ИСО, отличающегося от прямого только заменой знака относительной скорости, позволяет найти функцию .

Доказательство

Таким образом, с точностью до произвольной константы α, получается явный вид преобразований между двумя ИСО. О численном значении константыα и её знаке без обращения к экспериментуничего сказать нельзя. Еслиα > 0, то удобно ввести обозначение α = 1 / c². Тогда преобразования принимают следующий вид:

и называются преобразованиями Лоренца. Из дальнейшего анализа станет ясно, что константаимеет смысл максимальнойскоростидвижения любого объекта. Подобный выводпреобразований Лоренцастал известен спустя 5 лет после известной статьиЭйнштейна1905 года, благодаря работамИгнатовского, Франка и Роте (см.исторический очерк).