Контрольная работа №2 (30 вариантов)

1. Вычислить неопределенный интеграл.

2. Вычислить определенные интегралы.

3. Решить дифференциальное уравнение.

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

5. Исследовать сходимость ряда.

6. Задан закон распределения дискретной случайной величины X. Построить многоугольник распределения вероятностей. Найти математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение

Вариант №1

6.

Возможные значения случайной величины X	1	2	3	4	5
Вероятности значений случайной величины X	0,1	0,1	0,2	0,3	0,3

Вариант №2

6.

Возможные значения случайной величины X	1	3	5	7	9
Вероятности значений случайной величины X	0,2	0,1	0,2	0,1	0,4

Вариант №3

4.

6.

Возможные значения случайной величины X	2	4	6	8	10
Вероятности значений случайной величины X	0,3	0,3	0,1	0,1	0,2

Вариант №4

6.

Возможные значения случайной величины X	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
Вероятности значений случайной величины X	0,4	0,3	0,1	0,1	0,1

Вариант №5

6.

Возможные значения случайной величины X	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
Вероятности значений случайной величины X	0,2	0,2	0,2	0,3	0,1

Вариант №6

6.

Возможные значения случайной величины X	0,1	0,3	0,5	0,7	0,9
Вероятности значений случайной величины X	0,2	0,2	0,3	0,2	0,1

Вариант №7

6.

Возможные значения случайной величины X	1	5	10	15	20
Вероятности значений случайной величины X	0,5	0,2	0,1	0,1	0,1

Вариант №8

6.

Возможные значения случайной величины X	1	3	4	6	10
Вероятности значений случайной величины X	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Вариант №9

6.

Возможные значения случайной величины X	0	5	6	8	10
Вероятности значений случайной величины X	0,1	0,2	0,2	0,4	0,1

Вариант №10

6.

Возможные значения случайной величины X	0	9	10	11	20
Вероятности значений случайной величины X	0,2	0,2	0,1	0,1	0,4

Вариант №11

6.

Возможные значения случайной величины X	1	3	5	10	12
Вероятности значений случайной величины X	0,4	0,1	0,3	0,1	0,1

Вариант №12

6.

Возможные значения случайной величины X	0	3	5	8	11
Вероятности значений случайной величины X	0,3	0,1	0,1	0,3	0,2

Вариант №13

6.

Возможные значения случайной величины X	2	3	4	8	10
Вероятности значений случайной величины X	0,2	0,1	0,4	0,1	0,2

Вариант №14

6.

Возможные значения случайной величины X	7	9	11	18	20
Вероятности значений случайной величины X	0,2	0,1	0,1	0,2	0,4

Вариант №15

6.

Возможные значения случайной величины X	1	3	10	15	21
Вероятности значений случайной величины X	0,5	0,1	0,1	0,2	0,1

Вариант №16

6.

Возможные значения случайной величины X	10	20	25	30	35
Вероятности значений случайной величины X	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Вариант №17

6.

Возможные значения случайной величины X	0	7	8	10	12
Вероятности значений случайной величины X	0,2	0,2	0,4	0,1	0,1

Вариант №18

6.

Возможные значения случайной величины X	3	5	6	9	11
Вероятности значений случайной величины X	0,1	0,4	0,3	0,1	0,1

Вариант №19

6.

Возможные значения случайной величины X	0,3	0,7	0,8	0,9	1,0
Вероятности значений случайной величины X	0,1	0,1	0,1	0,3	0,4

Вариант №20

6.

Возможные значения случайной величины X	0,1	0,3	0,7	0,9	1,0
Вероятности значений случайной величины X	0,5	0,2	0,1	0,1	0,1

Вариант №21

6.

Возможные значения случайной величины X	0,1	0,3	0,5	0,7	0,9
Вероятности значений случайной величины X	0,2	0,2	0,3	0,2	0,1

Вариант №22

6.

Возможные значения случайной величины X	0	9	10	11	20
Вероятности значений случайной величины X	0,2	0,2	0,1	0,1	0,4

Вариант №23

6.

Возможные значения случайной величины X	1	3	5	7	9
Вероятности значений случайной величины X	0,2	0,1	0,2	0,1	0,4

Вариант №24

6.

Возможные значения случайной величины X	1	2	3	4	5
Вероятности значений случайной величины X	0,1	0,1	0,2	0,3	0,3

Вариант №25

6.

Возможные значения случайной величины X	1	3	4	6	10
Вероятности значений случайной величины X	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Вариант №26

6.

Возможные значения случайной величины X	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
Вероятности значений случайной величины X	0,2	0,2	0,2	0,3	0,1

Вариант №27

6.

Возможные значения случайной величины X	2	4	6	8	10
Вероятности значений случайной величины X	0,3	0,3	0,1	0,1	0,2

Вариант №28

6.

Возможные значения случайной величины X	1	5	10	15	20
Вероятности значений случайной величины X	0,5	0,2	0,1	0,1	0,1

Вариант №29

6.

Возможные значения случайной величины X	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
Вероятности значений случайной величины X	0,4	0,3	0,1	0,1	0,1

Вариант №30

6.

Возможные значения случайной величины X	0	5	6	8	10
Вероятности значений случайной величины X	0,1	0,2	0,2	0,4	0,1

Методические указания к выполнению контрольной работы №2

Задача 1.

а)

Решение. Обозначим:

формула интегрирования по частям дает:

б) Вычислить интеграл методом замены переменной:

Решение. Выполняем замену переменной, дифференциру­ем это соотношение, подставляем результаты в подынтеграль­ное выражение, находим полученный интеграл и возвращаемся к заданной переменной х:

Задача 2.

Решение. Вводим новую переменную интегрирования, полагая дифференцируем:

;

Задача 3.

Решить дифференциальное уравнение.

а) .

Решение. Выразим производную через дифференциалы переменных: , умножим обе части уравнения на dx и разложим коэффициент при dy на множители:

Далее разделим переменные в данном уравнении, деля обе его части на :

и, интегрируя, находим общий интеграл:

б) Найти общее решение линейного уравнения: .

Решение. Убедившись, что данное уравнение линейное, полагаем тогда и данное уравнение преобразуется к виду:

или

Так как одну из вспомогательных функций и или v можно взять произ­вольно, то выберем в качестве v какой-либо частный интеграл уравнения v'-v ctgx = 0.

Тогда для отыскания и получим уравнение u'v= sin x.

Решая первое из этих уравнений, найдем v; разделяя переменные и интег­рируя, найдем его простейший, отличный от нуля частный интеграл:

Подставляя v во второе уравнение и решая его, найдем и как общий инте­грал этого уравнения:

Зная u и v, находим искомую функцию у:

.

Задача 4.

Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 2х и y = 3x²

Решение: найдем абсциссы точек пересечения прямой y = 2х и параболы у = 3  х², Решая систему уравнений:

получим x₁ =  3, х₂ = 1. Искомая площадь равна:

Задача 5.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Предел общего члена , то есть общий член не стремится к нулю. Необходимый признак сходимости ряда не выполнен и поэтому данный ряд является расходящимся.

Решение. Необходимый признак сходимости ряда в данном случае выполняется,

нельзя утверждать сходимость такого ряда.

На самом деле этот ряд расходится. В литературе его называют гармоническим.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение.

Подберем для сравнения сходящийся ряд

(начиная со второго члена это бесконечная убывающая геометрическая прогрессия); но члены данного ряда не больше соответствующих членов сходящегося ряда; поэтому наш ряд также сходится.

Задача 6.

Задан закон распределения дискретной случайной величины X. Построить многоугольник распределения вероятностей. Найти математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение

Возможные значения случайной величины X	1	2	3	4	5
Вероятности значений случайной величины X	0,1	0,3	0,4	0,15	0,05

Решение.

1. Построение многоугольника распределения вероятностей показано на рисунке ниже.

Рис. 1. Многоугольник распределения вероятностей

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины определяем по формуле

3. Среднее квадратическое отклонение: