Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика»

1. Элементы теории множеств. Множество и подмножество. Объединение и пересечение множеств. Разность множеств. Дополнение множества.

2. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Понятие о матрице. Определители 2-го и 3-го порядка, их свойства.

3. Алгебраические дополнения и миноры.

4. Вычисление определителей. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера.

5. Алгебра матриц. Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

6. Трехмерное пространство. Векторы, линейные операции над векторами. Проекция вектора на вектор.

7. Базис. Координаты вектора. Модуль и направляющие косинусы вектора.

8. Скалярное произведение векторов и его свойства.

9. Векторное произведение векторов и его свойства.

10. Смешанное произведение векторов и его свойства.

11. Аксиоматическое определение линейного векторного пространства. Примеры.

12. Линейная независимость системы векторов.

13. Базис и размерность линейного пространства.

14. Аксиоматическое определение скалярного произведения. Евклидово пространство.

15. Векторное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

16. Векторное уравнение прямой, канонические и параметрические уравнения прямой.

17. Точка пересечения прямой и плоскости. Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости.

18. Линейные операторы. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

19. Изменение матрицы линейного оператора при преобразовании базиса.

20. Вывод канонических уравнений эллипса, гиперболы, параболы.

21. Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду.

22. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

23. Числовая функция одной и нескольких переменных.

24. Предел последовательности. Теорема о единственности предела.

25. Предел функции одной переменной в точке и в бесконечности.

26. Предел функции нескольких переменных в точке и в бесконечности.

27. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших величин.

28. Простейшие свойства бесконечно малых величин. Сравнение бесконечно малых величин.

29. Простейшие свойства пределов.

30. Предельный переход в неравенствах.

31. Признаки существования пределов. Замечательные пределы.

32. Непрерывность функции одной переменной.

33. Непрерывность функции на отрезке, свойства непрерывных на отрезке функций.

34. Производная и дифференциал функции одной переменной.

35. Сводка правил вычисления производной.

36. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных.

37. Свойство инвариантности формы полного дифференциала.

38. Производные сложных функций одной переменной. Производные сложных двух переменных.

39. Производные неявных функций одной и нескольких переменных.

40. Производные и дифференциалы высших порядков функций одной и двух переменных.

41. Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.

42. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

43. Представление функций по формуле Тейлора.

44. Возрастание и убывание функций. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования локального экстремума.

45. Исследование функции на выпуклость и вогнутость, точки перегиба, асимптоты кривой.

46. Дифференциальная форма формулы Тейлора. Формула Тейлора для числовой функции нескольких переменных.

47. Локальные экстремумы функции нескольких переменных.

48. Производная по направлению. Градиент.

49. Условные экстремумы функций нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа. Задачи линейного программирования.

50. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Примеры.

51. Таблица основных первообразных. Примеры.

52. Замена переменных в неопределенном интеграле. Примеры.

53. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Примеры.

54. Определенный интеграл, его свойства. Примеры.

55. Вывод формулы Ньютона-Лейбница.

56. Замена переменных в определенном интеграле. Примеры.

57. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Примеры.

58. Несобственные интегралы с бесконечными пределами, их основные свойства. Примеры.

59. Несобственные интегралы от неограниченных функций, их основные свойства. Примеры.

60. Теоремы о сходимости несобственных интегралов. Примеры.

61. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.

62. Уравнения с разделяющимися переменными. Примеры.

63. Однородные уравнения. Примеры.

64. Линейное уравнение первого порядка. Примеры.

65. Уравнение Бернулли. Примеры.

66. Уравнения в полных дифференциалах. Примеры.

67. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.

68. Уравнения, допускающие понижение порядка. Примеры.

69. Однородные линейные дифференциальные уравнения. Понятие общего решения. Примеры.

70. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Примеры.

71. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Примеры.

72. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений методом вариации произвольных постоянных. Примеры.

73. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Примеры.

74. Числовые ряды. Сходимость и расходимость рядов. Сходимость положительных рядов.

75. Теоремы о сходимости, основанные на сравнении положительных рядов.

76. Необходимый признак сходимости. Достаточные признаки сходимости положительных рядов (признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши).

77. Достаточные признаки сходимости положительных рядов (признак Даламбера).

78. Достаточные признаки сходимости положительных рядов (радикальный признак Коши).

79. Достаточные признаки сходимости положительных рядов (интегральный признак Коши).

80. Знакопеременные ряды, условная и абсолютная сходимость.

81. Сходимость знакочередующихся рядов. Признак Лейбница.

82. Функциональные ряды. Точка сходимости, область сходимости.

83. Степенные ряды, теорема Абеля, область сходимости и радиус сходимости степенных рядов.

84. Ряд Тейлора. Приложения рядов Тейлора.

85. Ряды Фурье.

86. Предмет теории вероятностей. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.

87. Классическое и статистическое определение вероятности.

88. Теоремы сложения вероятностей.

89. Теоремы умножения вероятностей.

90. Формула полной вероятности.

91. Формула Байеса.

92. Схема Бернулли.

93. Случайные величины. Законы распределения случайной величины.

94. Ряд распределения. Функция распределения F(x). Ее свойства.

95. Плотность распределения f(x). Ее свойства.

96. Числовые характеристики случайных величин (M(x), D(x), (x), α_к(x), μ_к(x)).

97. Законы распределения дискретных случайных величин (биномиальное, Пуассона).

98. Законы распределения непрерывных случайных величин (нормальное, равномерное).

99. Законы больших чисел. Понятие о центральной предельной теореме.

100. Двумерная случайная величина. Закон распределения. Функция распределения. Плотность распределения.

101. Условный закон распределения двумерной случайной величины. Корреляция. Регрессия.

102. Элементы математической статистики.