Варианты

Численно решить уравнение колебаний струны длиной l c шагом h на m временных шагов:

при следующих исходных данных:

1. l = 1, h = 0,025, m = 150

2. l = 1, h = 0,04, m = 100

3. l = 2, h = 0,1, m = 150

4. l = 1, h = 0,05, m = 100

5. l = 2, h = 0,1, m = 150

6. l = 1, h = 0,04, m = 200

7. l = 2, h = 0,08, m = 100

8. l = 1, h = 0,025, m = 150

9. l = 2, h = 0,05, m = 150

10. l = 1, h = 0,02, m = 100

11. l = 2, h = 0,04, m = 100

12. l = 1, h = 0,025, m = 150

13. l = 1, h = 0,02, m = 100

14. l = 1, h = 0,05, m = 150

15. l = 2, h = 0,1, m = 150

16. l = 1, h = 0,04, m = 150

17. l = 2, h = 0,08, m = 150

18. l = 1, h = 0,025, m = 150

19. l = 2, h = 0,05, m = 150

20. l = 1, h = 0,02, m = 200

21. l = 2, h = 0,04, m = 100

22. l = 1, h = 0,05, m = 150

23. l = 2, h = 0,1, m = 150

24. l = 1, h = 0,04, m = 200

Вид рабочего листа Расчет

Вид рабочего листа Динамика

Вид диаграммы на рабочем листе Расчет для задачи б)

Заключение

1. Для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка применялись методы Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта 4-го порядка точности на сетках с удвоением числа шагов разностной сетки. Для оценки точности использовалось правило Рунге, проведено сравнение приближенного и точного решений.

2. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности обобщался для численного решения системы 2-х обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка и обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка. Методом Рунге оценивалась точность полученного решения, которая сравнивалась с фактической погрешностью решения.

3. При аппроксимации краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на равномерной разностной сетке получена система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Для ее решения использован вариант метода исключения переменных, называемый методом прогонки. По правилу Рунге оценена погрешность расчета на мелкой сетке, которая сравнивалась с фактическим результатом.

4. Для расчета температурного поля в тонкой теплопроводящей пластине использовалось неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа. Для аппроксимации дифференциального уравнения использовалась явная разностная схема "крест", а полученная система линейных алгебраических уравнений решалась методом простой итерации.

5. Процесс распространения тепла в одномерном стержне описывался дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка параболического типа. Аппроксимация дифференциального уравнения проводилась с помощью безусловно-устойчивой разностной схемы Кранка-Николсона. Для разных типов физических граничных условий приведена их формализация в виде смешанного краевого условия 3-го типа.

6. В качестве примера дифференциального уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа рассмотрено уравнение колебаний тонкой струны под действием внешней силы. Исходная начально-краевая дифференциальная задача аппроксимировалась явной трехслойной разностной схемой с ограничением на шаг временной переменной. При численном моделировании исследовалась зависимость динамики колебаний от вынужденных внешних воздействий и условий на концах струны.