Лабораторная работа № 18 «Решение задач эллиптического типа» Элементы теории

Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа:

(1)

Уравнение (1) называется уравнением Пуассона.

Будем искать его решение, непрерывное в прямоугольнике:

и принимающее на границе Г заданные значения

(2)

Задача, определяемая уравнением (1) и условием (2), называется задачей Дирихле (первой краевой задачей).

Для численного решения задачи (1)-(2) введем в сетку:

,

где

и обозначим через - сеточную функцию, заданную на;h_х и h_у – шаги сетки по координатам х и у.

Аппроксимируем каждую из вторых производных на трехточечном шаблоне:

Обозначим . (3)

Пользуясь этими выражениями, заменим (1) разностным уравнением:

(4)

К этому уравнению надо присоединить краевые условия:

(5)

Граница сетки состоит из всех узлов (0, n ), (m , 0 ), (M , n), (m ,N), кроме вершин прямоугольника (0, 0), (M , 0 ), (M , N), (0,N), которые не используются. Разностное уравнение (3) записано на пятиточечном шаблоне:

.

Схему (4) часто называют схемой "крест". Можно показать, что схема "крест" имеет второй порядок аппроксимации.

Выразим из разностного уравнения (4) значение сеточной функции y_mn :

(6)

Будем рассматривать простейший вариант задачи Дирихле, когда на каждой из четырех границ прямоугольника заданы постоянные значения искомой функции:

(7)ой функции.кции. простейший вариант задачи Дирихле, когда на каждой из четырех границ прямоугольника заданы постоянные значен

Разностная система уравнений (6)-(7) замкнута относительно (M-1)(N-1) неизвестных значений сеточной функции y_mn .

Система уравнений (6)-(7) приведена для применения метода простой итерации. Считая, что на k-ой итерации значения сеточной функции известны, ее значения на итерацииk + 1 вычисляем по формуле (6), привлекая в необходимых случаях известные граничные условия (7):

(8)

Для реализации алгоритма (8) необходимо получить начальные значения для неизвестных. Получим их с помощью линейной интерполяции по граничным значениям: сначала по переменной х (строкам), потом по переменной у (столбцам).

Линейную интерполяцию по строкам проведем по формуле:

(9)

Линейную интерполяцию по столбцам проведем по формуле:

(10)

За начальные значения принимаем полусумму полученных величин:

(11)

В принципе, алгоритм обладает хорошей устойчивостью и в качестве начального приближения можно взять, например, нулевые значения параметров. Предложенный способ начального приближения адаптирован к граничным условиям и поэтому может обеспечить более быструю сходимость к решению.

Максимальную погрешность текущего приближения оценим по формуле:

(12)

Рассматриваемая задача имеет очевидную физическую интерпретацию. Рассчитывается температурное поле в тонкой плоской теплопроводящей пластине (прямоугольнике), теплоизолированной с плоских торцов, тонкие торцы которой имеют заданную температуру, а внутри пластины распределены тепловые источники (или стоки) с заданной интенсивностью f.