Порядок выполнения лабораторной работы.

Пример. Найти решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

на отрезке [0, /2] со смешанными краевыми условиями

при a₀ = 1, a₁ = 2, b₀ = 3, b₁ = -1, A = 4, B = 6 методом прогонки с n = 10 и n = 20, по правилу Рунге оценить точность расчета при n = 20, сравнить решение с точным у_т = 2 sin x. Положив a₁ = b₁ = 0, вычислить коэффициенты А и В, найти решение полученной краевой задачи с краевыми условиями первого типа методом прогонки с n = 10 и n = 20, по правилу Рунге оценить точность расчета при n = 20, сравнить решение с точным.

1. Проводим расчет для n = 10 и заданной краевой задачи со смешанными краевыми условиями. Вид рабочего листа табличного процессора MS Excel приведен на рисунке.

Отрезок интегрирования [0; /2], поэтому при n = 10 шаг интегрирования равен h = /20, который заносится в ячейку В4=" =ПИ()/20". Значения коэффициентов краевых условий a₀ = 1, a₁ = 2, b₀ = 3, b₁ = -1, A = 4, B = 6 заносятся в ячейки В6:В11. В ячейках Е6:Е9 вычисляются коэффициенты ₁ , ₁ , ₂ , ₂ уравнений для краевых условий приведенной формы разностной схемы по формулам (10): ячейка Е6="=-B7/(B6*B4-B7)", Е7="=B10*B4/(B6*B4-B7)", Е8="=B9/(B8*B4+B9)", Е9="=B11*B4/(B8*B4 +B9)".

В диапазоне A12:N23 программируем алгоритм метода прогонки. В данном случае коэффициенты исходного уравнения имеют вид p(x) = x, q(x) = x², . В диапазоне A12:N12 размещены заголовки столбцов, в диапазоне А13:А23 – номера узлов разностной сетки. В диапазоне В13:В23 вычисляем координаты узлов разностной сетки: В13="0" (начальная точка x₀ = 0), В14="=B13+$B$4" (x₁ = x₀ + h), протяжкой формулы из В14 в диапазон В15:В23 определяем координаты остальных узлов. Вычисляем коэффициенты исходного уравнения в узлах разностной сетки: С13="=B13" (p(x₀) = x₀), D13="=B13^2" (),Е13="=2*B13^2*SIN(B13)+2*B13*COS(B13)-2*SIN(B13)" (), протяжкой формул из диапазонаС13:Е13 в диапазон С14:Е23 определяем остальные коэффициенты исходного уравнения.

По формулам (9) вычисляем коэффициенты приведенной формы разностного уравнения для внутренних узлов: F14=" =1-C14*$B$4/2" (а₁), G14="=2-D14*$B$4^2" (с₁), Н14="=1+C14*$B$4/2" (b₁), I14= "=-($B$4^2)*E14" (f₁), протяжкой формул из диапазона F14:I14 в диапазон F15:I22 определяем остальные коэффициенты приведенной формы.

Программируем прямую прогонку. По формуле (13) вычисляем коэффициент ₁ : J14=" =E6". По формуле (15) вычисляем коэффициент ₁: К14="=E7". По формуле (14) вычисляем коэффициент ₂ : J15=" =H14/(G14-F14*J14)". По формуле (16) вычисляем коэффициент ₂: К15="=(F14*K14+I14)/(G14-F14*J14)". Протяжкой формул из диапазона J15:K15 в диапазон J16:K23 определяем остальные коэффициенты прямой прогонки.

Программируем обратную прогонку. По формуле (17) вычисляем значение функции в правой границе сетки у₁₀ : L23=" =(E9+E8*K23)/(1-J23*E8)". Вычисляем значение функции в остальных узлах сетки, начиная с предпоследнего по формуле (18): L22=" =J23*L23+K23" (у₉), протягиваем формулу из L22 в диапазон L22: L13.

Вычисляем точное значение функции у_т = 2sin x: М13= "=2*SIN(B13)" и протягиваем формулу в диапазон М14:М23. По формуле вычисляем фактические ошибки расчета:N13="=ABS(M13-L13)" и протягиваем формулу в диапазон N14:N23. Вычисляем максимальное значение ошибки :I9="=МАКС(N13:N23)". Максимальная ошибка составила 0,108638. Вычисления при n = 10 для исходной задачи закончены.

2. Проводим расчет для n = 20 и заданной краевой задачи со смешанными краевыми условиями. Для этого скопируем расчетный лист для n = 10 и внесем в него необходимые изменения. Вид рабочего листа табличного процессора MS Excel приведен на рисунке.

Шаг разностной сетки для данного случае равен h = /40, который заносится в ячейку В4="=ПИ()/40". Протягиваем до 20 нумерацию узлов разностной сетки в диапазоне ячеек А13:А33. Формулы из диапазона В22:N22 (соответствующие 9-му узлу) протягиваются в диапазон В23:N33 (до 20-го узла). Очищаются ячейки F33:I33. В ячейке L33="=(E9+E8*K33)/(1-J33*E8)" вычисляется по формуле (17) значение функции в правой границе сетки у₂₀ . Изменяем диапазон при выборе максимального значения фактической ошибки :I9="=МАКС(N13:N33)". Максимальная ошибка составила 0,059537. Вычисления при n = 20 для исходной задачи закончены.

Максимальная ошибка при расчете исходной краевой задачи реализована при i = 0 для расчета с n = 10, при этом значение функции составило y_i(h)=0,108638. Для расчета с n = 20 этому узлу также соответствует узел i = 0, при этом значение функции составило y_i(h/2)=0,059537. Краевая задача со смешанными краевыми условиями имеет 1-ый порядок аппроксимации, поэтому прогноз ошибки по правилу Рунге производится по формуле:

,

который хорошо согласуется с фактической ошибкой 0,059537.

3. Проведем расчет для краевой задачи с краевыми условиями 1-го типа. Так как точное решение у = 2 sin x, то с учетом того, что по условию a₀ = 1, a₁ = 0, b₀ = 3, b₁ = 0, находим остальные константы граничных условий:

A = 12sin(0) = 0, B=32sin(/2) = 6.

Вносим коэффициенты краевых условий на оба расчетных листа и сразу же получаем результаты расчета. Вид рабочих листов табличного процессора MS Excel приведен на рисунках. Максимальная ошибка при расчете данной краевой задачи реализована при i = 4 для расчета с n = 10, при этом значение функции составило y_i(h)=1,175258. Для расчета с n = 20 этому узлу соответствует узел i = 8, при этом значение функции составило y_i(h)=1,175494. Краевая задача с краевыми условиями 1-го типа имеет 2-ой порядок аппроксимации, поэтому прогноз ошибки по правилу Рунге производится по формуле:

который хорошо согласуется с фактической ошибкой 7,6210 ^-5.