Математика для заочников

	a) y 2x3					9x2				12x 7
18	б) y				x2	5
					x	2
	a) y 2x3					15x2				36x 32
19	б) y				x2	5
					x	3
	a) y 2x3					3x2				36x 20
20	б) y				x2	15
					x	4
	a) y 2x3					3x2				36x 21
21	б) y				x2	9
					x
	a) y 2x3					15x2				36x 32
22	б) y				x2	8
					x	1
	a) y 2x3					15x2				24x 4
23	б) y				x2	21
					x	2
	a) y 2x3					9x2				24x 61
24	б) y				x2	16
					x	3
	a) y 2x3					9x2				24x 56
25	б) y				x2	12
					x	4
	a) y 2x3					15x2				24x 2
26	б) y				x2	25
					x

21

	a) y x3		9x2			24x 18
27	б) y	x2	24
		x	1
	a) y x3		3x2			24x 26
28	б) y	x2	32
		x	2
	a) y x3		3x2			24x 21
29	б) y	x2	27
		x	3
	a) y x3		9x2			24x 17
30	б) y	x2	7
		x	4

Решение типовых примеров для контрольной работы № 2.

Задание № 1

1.

Найти неопределенный интеграл

ln x 6 dx

x

Решение. Применим подстановку t

ln x , тогда dt

dx

и

x

ln x 6 dx

t

6

dt

1

t

7

C

1

ln x

7

C ;

x

7

7

2.

Найти интеграл

e3x3 5

x2dx.

Решение. Применим подставку t=3x3 – 5.

Тогда dt

9x2dx;

1

dt

x2dx, откуда

9

3x 3

5

2

t

1

1

t

1

3x 3 5

e

x

dx e

dt

e

C

e

C .

9

9

9

Задание № 2

Найти интеграл

3x

1

dx

x2

6x

13

22

Решение. Преобразуем знаменатель дроби, стоящей под знаком

интеграла следующим образом:

x2 – 6x+13 = x2 – 6x + 9 + 4 = (x - 3)2 + 22. Тогда после подстановки t = x - 3 получаем

							3x		1				dx										3x					1							dx							3 t					3				1		dt
		x2					6x 13														x 2 2							22																t2				22
							3t		8		dt							3t						dt										8						dt					3	ln t 2								4		8	arctg	t			C
					t 2				22								t 2	22													t 2						22
																																												2												2	2
	3		ln				x		3 2						4			4arctg									x	3									C				3		ln x2						6x					13			4arctg			x	3		C
	2																											2													2																				2
причем, при																вычислении																		интеграла															3t						dt	воспользуемся
																																																t 2				4
заменой переменной z = t2+4, тогда dz = 2tdt, откуда
				3t					dt			3				2tdt									3					dz								3	ln z					C					3	ln t 2						4	C .
		t 2					4					2 t 2								4 2 z																	2											2
Итак, учитывая, что t = x – 3, имеем
							3x		1				dx						3		ln				x			3 2									4			4arctg								x			3				C
		x2
							6x				13							2																														2
				3		ln x2					6x				13						4arctg									x				3					C .
2																												2

Задание № 3

1.Найти интеграл 3x 7 cos5xdx .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям

udv

uv vdu

Положим

u = 3x+7,

dv = cos5xdx,

тогда

du = 3dx,

v

cos5xdx

1

sin 5x .

5

Следовательно,

3x

7

cos5xdx

1

3x 7

sin 5x

3

sin 5xdx

5

5

1

3x

7 sin 5x

3

cos5x

C .

5

25

23

2.Найти интеграл arctg4xdx .

Решение.

Положим

u = arctg4x,

dv = dx,

тогда

du

4

dx,

v = x.

1

16x2

Отсюда

arctg4xdx

x arctg4x

4

xdx

.

1 16x2

Применяя в последнем интеграле подстановку t = 1+16x2,

получаем, dt

32xdx, следовательно,

xdx

4

dt

1

1

ln 1 16x2

4

ln

t

C .

16x2

1

32

t

8

8

1

16x2

Отсюда arctg4xdx

xarctg4x

ln 1

C .

8

Задание № 4

Вычислить площадь, ограниченную параболами y = 2x2 – x – 2,

y = - x2 + x – 1.

Решение.

Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол.

Для этого приравняем правые части их уравнений:

2x2 – x – 2 = - x2 + x – 1. Отсюда 3x2 – 2x – 1 = 0, D = 4 + 4∙3 = 16,

Рисунок 3

24

2		4	1,	2		4	1
x1				x1
		6				6	3

Вычисление площади осуществляем по формуле:

	b
S	f2 x f1 x dx,
	a

где f1(x), f2(x) – кривые, ограничивающие фигуру (f2(x) f1(x)). В нашем случае

	1				x2	x 1 2x2
S							x 2 dx
	1
	3
	1				3x2	2x 1 dx	3 x		3	2	x	2	x
														1
														1
	1						3				2
														3
		3

34

27

Задания к контрольной работе № 2

Задание №1

Найти неопределенные интегралы способом подстановки (методом замены переменной)

x	dx

1																	16
	xe 2 dx
																				x ln x
2			x								dx						17
																						sin x cos xdx
	3
			x2
							1
3				x									dx				18	3								x 4
																									2
			4				x2												x				e				dx
				x		3												arccos2																	dx
4															dx		19															x
																																		1 x2
			6x4				5
5																	20				sin x								dx
			cos x sin xdx
																				cos 2 x
6	(ln x)						3 dx										21						x		2							dx
												x
																				2x				3			3
		arctgx						dx
7																	22				5x4						3						x3 dx
	1			x 2
																	25

8

cos x

dx

23

x2

ex3 1dx

3 sin x

9

e x

2

xdx

24

x 3

dx

8x 4

1

10

x

dx

25

x

dx

2

x4

2x 2

3

dx

11

ln xdx

26

arcsin

2

x

x

1 x 2

x

12

dx

27

arctgx

dx

1

2x 2

1

x2

13

x

dx

28

ln x

3

dx

2x 4

5

x

dx

14

29

1

2x 2 xdx

x ln x

15

cos x

dx

30

sin x

dx

3 cos x

sin2 x

Задание №2

Найти неопределенные интегралы, используя выделение полного квадрата

1

2x

1

dx

16

3x

1

dx

x2

4x

13

x2

12x

5

2

1

dx

17

x

3

dx

x2

8x 17

x2

x 1

3

x

2

dx

18

6x

1

dx

x2

2x 2

x2

6x 2

4

9x

dx

19

2x

3

dx

x2

2x 10

x2

6x 7

5

x

1

dx

20

3x

4

dx

x2

12x

7

x2

12x

7

6

4x

1

dx

21

8x

7

dx

x 2

4x

8

x 2

10x

29

26

7					5x		8			dx		22					11x		3			dx
				x 2		2x			5							x 2	6x			13
8					3x		2			dx		23					10x		7			dx
				x 2		4x			8							x 2	8x			20
9					8x			3			dx	24					3x		11					dx
				x 2		6x			10							x 2	16x			68
10					7x		3			dx		25					5x	16				dx
				x 2		4x			5							x 2	2x			17
11					9x		10				dx	26					3x	11				dx
				x 2		6x			10							x 2	8x			20
12					3x		10				dx	27					17 x		5					dx
				x 2	8x				10							x 2	12x			40
13					3x			7			dx	28					12x		7					dx
				x 2	8x				17							x 2	16x			65
14					5x		2			dx		29					8x		7			dx
				x 2		2x			5							x 2	2x		17
15					7x			3			dx	30					17 x		3			dx
				x 2		6x			13							x 2	8x			32

Задание № 3

Найти неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям

1	(x2	1) sin xdx			16	e x sin xdx
2	6x2arctg2xdx				17	x2e 3xxdx
3	x ln(x2		2)dx		18	e 2 x cos xdx
4	x2 cos 4xdx				19	x2 cos				x	dx
									2
5	ln xdx				20	arctg3xdx
6	(2x	1) sin 3xdx			21	x 3 ln xdx
7	(x	1)e 2 x dx			22	(3x			7) cos 5xdx
8	x cos 2xdx				23	(12x				2)sin 3xdx
	arctg2xdx
9					24	3 x			ln 2xdx
				27

10	(5x			1) ln xdx	25	x sin 8xdx
11	(8x			2) sin 5xdx	26	arccos xdx
12	(x			3)e 2 x dx	27	arcsin 2xdx
13					28	(2x	1) cos 3xdx
		x ln 3xdx
14	(2x			8)e 7 x dx	29	(8x	10) sin 7xdx
15	arccos4xdx				30	ln 8xdx

Задание № 4

Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами

1	y	x2											16	y		x2									x			1
	y	2							x2					y					x2								x	4
														y		1				x		2					x	1
2	y	x		2					3x				17		4
	y				x2						3x									3
														y										x	2			2x	5
																			4
														y	1					x		2					x	3
	y	3x					2			4x		2
3													18		2
	y				x2						3x	1								1
														y										x	2			3x	2
																			2
4	y 2x2										4x 1		19	y x2											x 2
	y			2x2							12x 3			y					x2								2x 4
5	y 3x2									4x 3			20	y x2											2
	y				x2						2x	5		y	1							x2
	y		1			x		2			x	1		y			1				x			2			2x		5
6		2											21		4
						1															3
	y								x	2	3x 6			y										x		2		x	1
					2														4

28

	y	1			x	2		x	2				y	1				x	2	3x		2
7		2										22		2
					1													1
	y						x	2	5x		7		y						x	2	x	3
			2												2
	y	1			x	2		3x 2
8		3										23	y 2x2							6x 3
					2								y	2x2							x	5
	y						x	2	2x		4
			3
9	y 2x2							6x 3				24	y x2						3x 4
	y			x2				x	5				y				x2			x	8
													y	1				x	2	3x 1
10	y 3x2							5x 1				25		2
	y			x2				2x		1								1
													y						x	2	x	2
															2
11	y x2						3x 1					26	y 2x2							4x 7
	y			x2				2x 5					y				x2			x 1
12	y 2x2							6x 1				27	y 2x2							3x 1
	y			x2				x 1					y				x2			2x 9
	y	1			x	2		2x 4
13		3										28	y 2x2							6x 2
					2								y				x2			x	4
	y						x	2	x	2
			3
14	y x2						5x 3					29	y x2						2x 4
	y		3x2					2x 1					y				x2			x 2
													y	1				x	2	3x 2
15	y x2						2x		5			30		2
	y			x2				x	1									1
													y						x	2	7x	3
															2

29

Вопросы к экзамену

1.Понятие предела функции в точке и в бесконечности.

2.Основные теоремы о пределах. Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов.

3.Непрерывность функции в точке и на интервале.

4.Определение производной, ее геометрический смысл.

5.Правила вычисления производной. Таблица производных.

6.Исследование функции на интервалы монотонности. Точки экстремума.

7.Исследование функции на интервалы выпуклости. Точки перегиба.

8.Асимптоты кривой.

9.Общая схема исследования функции.

10.Дифференциал функции.

11.Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

12.Первообразная функции и неопределенный интеграл.

13.Правила вычисления неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

14.Методы вычисления неопределенного интеграла.

15.Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

16.Основные свойства определенных интегралов.

17.Методы вычисления определенного интеграла.

18.Вычисление площадей плоских фигур.

19.Основные понятия теории вероятностей: события, вероятность события, частота события, случайная величина.

20.Сумма и произведение событий, теоремы сложения и умножения вероятностей.

21.Дискретные случайные величины. Ряд, многоугольник и функция распределения.

22.Непрерывные случайные величины. Функция и плотность распределения.

23.Формула полной вероятности.

30