Рабочая тетрадь по начертательной геометрии

Задача Определить относительное положение прямых.

Точка пересечения горизонтальных проекций скрещивающихся прямых является горизонтальной проекцией двух горизонтально конкурирующих точек 1 и 2, принадлежащих прямым l и m.

Точка пересечения фронтальных проекций скрещивающихся прямых является фронтальной проекцией двух фрон-

тально конкурирующих точек 3 и 4. По горизонтально конкурирующим точкам 1 и 2 определяется взаимное положение прямых l и m относительно П1. Фронтальная проекция 12 точки 1, принадлежащей прямой l, расположена выше, чем фронтальная проекция 22 точки 2, принадлежащей прямой m (направление взгляда показано стрелкой). Следовательно,

прямая l расположена над прямой m.

По фронтально конкурирующим точкам 3 и 4 определяется взаимное положение прямых l и m относительно фрон-

тальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция 41 точки 4, принадлежащей прямой l, расположена ниже, чем го-

ризонтальная проекция 31 точки 3, принадлежащей прямой m (направление взгляда показано стрелкой). Следовательно,

прямая l расположена перед прямой m.

12

Задача 7 Определить относительное положение прямых a, b, c.

Прямые a и b -_________________________________

Прямые a и c -_________________________________

Прямые c и b -_________________________________

При помощи конкурирующих точек определить взаимное поло-

жение скрещивающихся прямых относительно:

Задача 8 Через точку М провести фронталь f,

скрещивающаяся с прямой n и расположенная над ней.

При помощи конкурирующих точек определить взаимное положение скрещивающихся прямых от относительно:

а) П1 -____________________________________	П1 -_________________________________________
б) П2 -____________________________________	П2 -_________________________________________

13

Проекции прямого угла, одна сторона которого параллельна какой либо плоскости проекции.

Теорема: Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая является прямой общего по- ложения, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций без искажения, т. е. в прямой же угол.

Задача Построить проекции прямого угла между скре-

щивающимися прямыми h и l.

Решение задач выполнено на основании теоремы о про-

ецировании прямого угла.

Задача Построить проекции прямого угла DBC, если BC׀׀П1.

14

Задача 9 Через середину отрезка [AB] провести линию n,	Задача 10 Достроить горизонтальную проекцию
n [AB], n I m.	прямоугольника ABCD.

Алгоритм решения:

Алгоритм решения:

__________________________________________ __________________________________________

__________________________________________ __________________________________________

__________________________________________ __________________________________________

__________________________________________ __________________________________________

15

3.Комплексный чертеж плоскости

3.1Принадлежность прямой и точки плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой линии, принадлежащей плоскости. Прямая принад-

лежит плоскости, если имеет с этой плоскостью общую точку и параллельна какой либо прямой этой плоскости. Прямая линия принадлежит плоскости, если имеет с этой плоскостью две общие точки.

Задача Построить произвольные линии и точки, принадлежащей плоскости Г(a I b).

Построение проекций точки и прямой, принадлежащих данной плоскости общего по-

ложения, выполняется на основании следующих аксиом:

1.Через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая;

2.Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки этой прямой при-

надлежат данной плоскости (или прямая, проходящая через любые две различные точки плоскости, принадлежит этой плоскости). Очевидно, что точка, принадлежащая прямой, расположенной в плоскости, принадлежит этой плоскости. Следовательно,

точка М принадлежит плоскости Г(a I b), так как она принадлежит одной из прямых,

задающих плоскость, в данном случае прямой а. При этом М2 а2 М1 а1.

Для построения прямой l, принадлежащей плоскости Г(a I b), достаточно провести ее через две какие-нибудь точки, принадлежащей этой плоскости, например точки 1 и 2.

Одна из этих точек может быть несобственной (прямая а >׀׀а). Точку, принадлежащую плоскости Г(a I b), можно взять на одной из построенных прямых.

16

Задача 11 По разноименным проекциям точек M и N	Задача 12 С помощью линий уровня построить в
построить отрезок [MN], принадлежащий плоскости	плоскости Г(m I n) треугольник ABC, фронтальная
Г(AB I BC).	проекция A2B2C2 которого задана.

Задача 13 Достроить горизонтальную проекцию плоского

пятиугольника ABCDE.

17

3.2 Плоскости частного положения (проецирующие и уровня)

Задача 14 По наглядному изображению построить комплексные чертежи		-ка ABC.
а)	б)	в)

18

г)

д)

е)

19

4. Позиционные задачи. Определение общих элементов простейших геометрических фигур из условия принадлежности

При пересечении геометрических фигур с проецирующей плоскостью одна из проекций их общего элемента совпа-

дает с проекцией проецирующей плоскости (которая вырождается в прямую линию). Поэтому решение этого типа задач сводится к построению второй проекции искомой геометрической фигуры.

4.1 Пересечение прямой линии с проецирующей плоскостью

Задача Построить проекции точки К (К1;К2) пересе-	1 Плоскость Г пересекает линию n в точке К, горизон-
чения прямой l (l1;l2) с плоскостью Г(А1В1С1; А2В2С2).	тальная проекция которой определяется в пересечении
	горизонтальных проекций проецирующей плоскости Г и
	прямой n.
	2 Фронтальную проекцию точки К определим по линии
	связи по принадлежности прямой n.
	3 Видимость на П2 определим с помощью фронтально
	конкурирующих точек 1 и 2. Видим точку 1, принадле-
	жащую отрезку АС. Прямая n невидима до точки пересе-
	чения К, в которой видимость меняется на обратную.
	Участок К-2 находится за плоскостью Г, поэтому неви-
	ден.

20

4.2 Пересечение прямой линии общего положения с плоскостью общего положения Задача 15 Построить проекции точки пересечения

прямой l (l1;l2) с плоскостью Г(А1В1С1; А2В2С2). Опреде-

лить видимость.

Точку пересечения прямой с плоскостью общего по-

ложения строят в следующем порядке:

1. Через заданную прямую АВ проводят вспомогатель-

ную проецирующую плоскость ∑.

2. Строят линию пересечения 1-2 вспомогательной плос-

кости ∑ и заданной плоскости Г.

3. В пересечении построенной линии 1-2 с заданной пря-

мой АВ отмечают искомую точку К.

Всимволической записи схема имеет вид:

1.АВ ∑

2.∑I Г=m

3.АВI m=к

21