Рабочая тетрадь по начертательной геометрии

9.3.1 Построение линии пересечения поверхностей методом вспомогательных секущих плоскостей Задача Построить проекции линии пересечения сферы Ø и тора ψ. Определить видимость.

1. Даны поверхности вращения общего положения.

2. Случай проницания.

3. Линия пересечения - пространственная замкнутая кри-

вая, распадающаяся на две кривые с общей точкой 3.

4. Построение опорных точек 1, 2, 3, 4, 4', 5, 5' и проме-

жуточных 6, 6', 7, 7', 8, 8' точек линии пересечения вы-

полнено по алгоритму:

а. Г׀׀П2

б. ГI Ø=l; ГI ψ=К (окружность)

в. l I К=6, 7, 8, 9

5. Точки 1, 2, 3 - очерковые относительно П2 определяем с

помощью плоскости ∑ - общей плоскости симметрии

׀׀П2.

6. Точки 4, 4', 5, 5' (очерковые относительно П1) опреде-

ляем с помощью плоскостей ∑' и ∑''.

7. Найденные точки соединяем плавными кривыми.

8.Определяем видимость.

52

Задача 36 Построить проекции линии пересечения конуса и сферы. Записать алгоритм решения (символическая

запись).

Алгоритм:

1______________________________________

______________________________________

2______________________________________

______________________________________

3______________________________________

______________________________________

4______________________________________

______________________________________

53

Задача 37 Построить проекции линии пересечения конуса и пирамиды. Записать алгоритм решения.

Алгоритм:

1______________________________________

______________________________________

2______________________________________

______________________________________

3______________________________________

______________________________________

4______________________________________

______________________________________

54

9.3.2 Способ вспомогательных концентрических сфер Задача Построить проекции линии пересечения поверхностей цилиндра (Г) и конуса (ψ). Определить видимость.

1. Заданы две поверхности вращения.

Оси поверхностей пересекаются. Имеется общая плоскость симметрии λ, параллельная П2. Проекция ли-

ни пересечения на П1 совпадает с очерком цилиндра в пределах очерка конуса.

2. Линия пересечения - пространственная замкнутая

кривая 1-4-3-5-2-5'-3'-4'-1.

3. Опорные точки: 1, 2, - экстремальные, найдены с по-

мощью общей плоскости симметрии λ. Очерковые от-

носительно П1, точки 3 и 3' определены из условия при-

надлежности очерковым образующим.

4. Промежуточные точки: 4, 4', 5, 5' найдены с помо-

щью вспомогательной сферы (Ф) с центром в точке 0, со-

осной с заданными поверхностями, по алгоритму: 1. Ф (0, Rmin < R < Rmax), Ф - сфера

2. ФI Г=а ФI ψ=b a, b - окружности

3. a I b=4, 4'

5. Найденные точки соединены плавной кривой с учетом

видимости.

55

Задача 38 Построить проекции линии пересечения заданных поверхностей вращения.

а)

б)

56

9.3.3 Способ вспомогательных эксцентрических сфер Задача Построить проекции линии пересечения конуса и части тора.

Так, как оси заданных поверхностей не пересекаются, то не могут быть применены в качестве вспомогательных по-

верхностей концентрические сферы.

Для нахождения центров вспомогательных эксцентрических сфер построены окружности сечения тора плоскостями , λ, Σ.

Искомые центры находятся в точках (например 0) пересе-

чения перпендикуляров к плоскостям этих окружностей вос-

ставленных из их центров, с осью конуса вращения.

Дальнейшие построения понятны из чертежа.

57

Задача 39 Построить проекции линии пересечения заданных поверхностей.

58

9.3.4 Особые случаи пересечения кривых поверхностей Теорема Монжа. Если две поверхности второго порядка описаны вокруг сферы (или вписаны в нее), то линия их

пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соеди-

няющую точки пересечения линий касания.

Задача Построить линию пересечения конуса и цилиндра описанных вокруг сферы. Определить Видимость.

1.Заданы две поверхности вращения, описанные вокруг сферы Ф.

2.На основании теоремы Монжа искомая линия пересечения рас-

палась на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую 5-6 соединяющую точки пересечения ли-

ний а касания сферы Ф и конуса D и b - касания сферы Ф и цилиндра ψ.

3.Опорные точки. Экстремальные (они же очерковые относительно П2) точки A, B, C, D построены с помощью общей плоскости симметрии λ. Очерковые относительно П1 точки E, E', F, F' определены из условия принадлежности горизонтальным очёрковым образующим цилиндра после построения проекции линии пересечения на П2.

4.Промежуточные точки линии пересечения найдены из условия принадлежности их поверхности конуса D на соответствующих параллелях.

5. Найденные	точки	соединены плавной кривой с учетом видимо-
сти. Точки E,	E', F, F'	на П1, являются точками смены видимости.

59

Задача 40 Построить проекции линии пересечения заданных поверхностей.

а)

б)

60

10. Развертка поверхности

Плоская фигура, полученная совмещением поверхности с плоскостью без складок и разрывов, называется разверт-

кой поверхности. Между поверхностью и ее разверткой существует взаимно однозначное точечное соответствие. На-

пример, длина участка на поверхности равна длине участка на развертке; прямой линии на поверхности соответствует прямая на развертке. Не всякой прямой на развертке соответствует прямая на поверхности.

Задача Построить боковую развертку усеченного цилиндра.

Цилиндр разворачивается в прямоугольник, одна сторона которого равна Пd, а другая h (высота цилиндра). По-

строение развертки боковой поверхности цилиндра, усеченного фронтально-проецирующей плоскостью Р, показано на

чертеже.

61