Рабочая тетрадь по начертательной геометрии

Задача 31 Построить точки пересечения прямых линий с многогранниками.

42

Задача 32 Построить точки пересечения прямых с поверхностями вращения.

43

9. Позиционные задачи. Пересечение поверхностей

Две поверхности пересекаются по линии (совокупности линий), которая одновременно принадлежит каждой из них.

В зависимости от вида и взаимного положения поверхностей линия их пересечения может быть замкнутой плоской или пространственной ломаной (пересечение многогранников), плоской или пространственной кривой (пересечение кривых поверхностей). Пересечение может быть полным (проницание), когда все образующие или ребра одной поверхности пе-

ресекаются с другой поверхностью, или частичным (врезка). При проницании линия пересечения распадается на две замкнутые самостоятельные кривые или ломаные. Линию пересечения строят по отдельным точкам - опорным и проме-

жуточным. В первую очередь определяют опорные точки: на ребрах многогранников, экстремальные и очерковые. Для нахождения общих точек применяют принцип принадлежности или используют вспомогательные поверхности: плоско-

сти или сферы.

Последовательность решения задач на построение линии пересечения поверхностей:

1. Выясняем вид и расположение заданных поверхностей относительно друг друга (врезка или проницание) и плос-

костей проекций (задана ли проецирующая поверхность); 2. Определяем характер линии пересечения (замкнутая ломаная, совокупность плоских кривых, замкнутая кривая);

3.Определяем опорные точки (на ребрах многогранников, экстремальные и очерковые);

4.Определяем промежуточные точки (если строим кривую линию);

5.Соединяем найденные точки (ломаной, или кривой). Определяем видимость проекций линии пересечения и очерков поверхностей, обводим чертеж.

44

9.1 Построение линии пересечения многогранников

Линия пересечения многогранников - замкнутая пространственная ломаная линия (случай врезки), или две замкну-

тые ломаные (случай проницания). Вершины ломаной - точки пересечения ребер первого многогранника с гранями вто-

рого и ребер второго многогранника с гранями первого, а стороны - линии пересечения граней многогранников. Реше-

ние задачи заключается в нахождении вершин или сторон ломаной. В первом случае задача сводится к многократному построению точки пересечения прямой (ребра) с плоскостью, во втором - к многократному построению линии пересече-

ния двух плоскостей.

45

Задача 33 Построить линии пересечения многогранников. Определить видимость.

а)	Алгоритм решения:

46

б)	Алгоритм решения:

47

9.2 Построение линии пересечения многогранной и кривой поверхностей

Линия пересечения кривой и многогранной поверхностей является совокупностью нескольких плоских кривых, ка-

ждая из которых - результат пересечения кривой поверхности с одной из граней многогранника. Эти плоские кривые

попарно пересекаются в точках пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью.

Задача Построить линию пересечения призмы и конуса. Определить видимость.

1. Задана кривая поверхность (конус) и многогранная призма. Случай врезки Призма занимает проеци- рующее положение относительно П3.

2. Проекция линии пересечения совпадает с про- фильным очерком призмы в пределах очерка конуса. Линия пересечения состоит из частей эллипса (точки

1-С-Е-А-F-D-1>>'), окружности (1-4-2-2'-4'-1') и гипер-

болы (2-5-3-5'-2'), которые пересекаются в точках на ребрах призмы (1, 1', 2 и 2').

3. Опорные точки: на ребрах призмы (1, 1', 2 и 2'), высшая и низшая точки эллипса А и В, точки С и D ограничивают малую ось эллипса, очерковые - 3, Е, F, 4, 4'.

4. Промежуточные точки 5 и 5' для построения ги- перболы. Все точки найдены из условия их принад- лежности поверхности конуса.

5. Полученные точки соединим плавными кривыми с учетом видимости. Эллипс на П2 не виден, так как принадлежит невидимой грани призмы.

Задача 34 Построить проекции линии пересечения цилиндра и призмы. Определить видимость.

49

9.3 Построение линии пересечения кривых поверхностей

Линия пересечения двух кривых поверхностей в общем случае (случай врезки) представляет собой пространствен-

ную кривую, которая может распадаться на две или более части (случай проницания). Опорные точки: экстремальные и

очерковые. Экстремальные точки находят с помощью общей плоскости симметрии заданных поверхностей. Точки ли-

нии пересечения (опорные и промежуточные) находим из условия принадлежности (если одна из заданных поверхно-

стей является проецирующей), или с помощью вспомогательных поверхностей.

Задача Построить линию пересечения конуса и цилин-

дра.

1. Заданы кривые поверхности. Случаи врезки. Цилиндр за- нимает проецирующее положение на фронтальной плоско- сти проекций.

2. Линия пересечения - пространственная замкнутая кривая, фронтальная проекция которой совпадает с проекцией ци- линдра на П2 в пределах очерка конуса.

3. Опорные точки: А, С и С' являются экстремальными отно- сительно П1: А - высшая точка, С и С' низшие. D и D' - очер- ковые (точки смены видимости относительно П1). Точки 1, 1' и 2, 2' - очерковые относительно П3. Точки 3 и 3' - точки ка- сания образующих конуса и цилиндра также являются экс- тремальными. Точка В - очерковая относительно П2.

4. Промежуточные точки 4, 4' и 5, 5'. Опорные и промежу- точные точки найдены по принципу принадлежности точки поверхности конуса (с помощью параллелей).

5. Соединив полученные точки плавной кривой с учетом ви- димости, получим горизонтальную проекцию линии пересе- чения заданных поверхностей.

50

Задача 35 Построить проекции, линии пересечения поверхностей вращения.

а)

б)

51