математика даны вершины
.doc1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
1-10. Даны четыре вектора =(а1,а2,а3), =(b1,b2,b3), =(c1,c2,c3), =(d1,d2,d3) в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
1. =(1;1;0), =(0;1;-2), =(1;0;3), =(2;-1;11).
2. =(1;0;2), =(-1;0;1), =(2;5;-3), =(11;5;-3).
3. =(2;0;1), =(1;1;0), =(4;1;2), =(8;0;5).
4. =(0;1;3), =(1;2;-1), =(2;0;-1), =(3;1;8).
5. =(1;2;-1), =(3;0;2), c=(-1;1;1), =(8;1;2).
6. =(1;4;1), =(-3;2;0), =(1;-1;2), =(-9;-8;3).
7. =(0;1;-2), =(3;-1;1), =(4;1;0), =(-5;9;-13).
8. =(0;5;1), =(3;2;-1), =(-1;1;0), =(-15;5;6).
9. =(1;0;1), =(0;-2;1), =(1;3;0), =(8;9;4).
10. =(2;1;0), =(1;0;1), =(4;2;1), =(3;1;3).
11-20. Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4. Найти:1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж.
11. А1(1;3;0), А2(4;-1;2), А3(3;0;1), А4(-4;3;5).
12. А1(-2;-1;-1), А2(0;3;2), А3(3;1;-4), А4(-4;7;3).
13. А1(-3;-5;6), А2(2;1;-4), А3(0;-3;-1), А4(-5;2;-8).
14. А1(2;-4;-3), А2(5;-6;0), А3(-1;3;-3), А4(-10;-8;7).
15. А1(1;-1;2), А2(2;1;2), А3(1;1;4), А4(6;-3;8).
16. А1(9;5;5), А2(-3;7;1), А3(5;7;8), А4(6;9;2).
17. А1(0;7;1), А2(4;1;5), А3(4;6;3), А4(3;9;8).
18. А1(5;5;4), А2(3;8;4), А3(3;5;10), А4(5;8;2).
19. А1(6;1;1), А2(4;6;6), А3(4;2;0), А4(1;2;6).
20. А1(7;5;3), А2(9;4;4), А3(4;5;7), А4(7;9;6).
21. Даны две вершины треугольника А(2;2), В(3;0) и точка пересечения его медиан D(3;1). Найти координаты вершины С.
22. Дано уравнение одной из сторон квадрата x + 3y – 7 = 0 и точка пересечения его диагоналей Р(0;-1), найти уравнения трех остальных сторон квадрата.
23. Составить уравнения сторон треугольника АВС, если известны координаты его вершин А(-3;3), В(5;-1) и точка пересечения его высот М(4;3).
24. Найти координаты центра окружности, описанной около треугольника с вершинами А(0;5), В(1;-2), С(-6;5).
25. Даны уравнения двух сторон треугольника 4х – 5у + 9 = 0 и х + 4у – 3 = 0. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке Р(3;1).
26. Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин В(-4;-5) и уравнения двух его высот 5х + 3у – 4 = 0 и 3х – 8у – 13 = 0.
27. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С(4;-1), а также уравнения высоты 2х – 3у + 12 = 0 и медианы 2х + 3у = 0.
28. Через точку М(4;3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.
29. Даны две вершины треугольника А(-10;-13), В(-2;3) и С(2;1). Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины С.
30. Даны уравнения двух сторон квадрата 4х – 3у + 3 = 0, 4х – 3у - 17 = 0 и одна из его вершин А(2;-3). Составить уравнения двух других сторон этого квадрата.
31. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(4;4) и от оси абсцисс. Сделать чертеж.
32. Составить уравнение линии, каждая точка которой удалена от точки А(2;0) вдвое дальше, чем от оси ординат. Сделать чертеж.
33. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(-2;0), чем от точки В(1;0). Сделать чертеж.
34. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от начала координат и от прямой 3х + 16 = 0 относятся как 3 : 5. Сделать чертеж.
35. Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от точек А(6;0) и В(2;0) относятся как 2 : 1. Сделать чертеж.
36. Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки А(3;0) вдвое дальше, чем от прямой х = 1. Сделать чертеж.
37. Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от точки А(-2;0) и от точки В(2;0) относятся как 3 : 4.Сделать чертеж.
38. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(1;3) и от прямой у + 1 = 0. Сделать чертеж.
39. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(1;0) втрое больше расстояния от прямой у = -2. Сделать чертеж.
40. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(4;2) равно расстоянию от оси ординат. Сделать чертеж.
41-50. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:
1) построить линию по точкам, начиная от = 0 до и придавая значения через промежуток ;
2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;
3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.
41. 42. 43. 44.
45. 46. 47. 48.
49. 50.
2. Элементы линейной алгебры
51-60. Дана система линейных уравнений
Доказать совместность системы и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
51. 52. 53.
54. 55. 56.
57. 58. 59.
60.
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее , , через , , .
61. 62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71-80. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.
71. 72. 73. 74.
75. 76. 77. 78.
79. 80.
81-90. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.
81. 82. 83.
84. 85. 86.
87. 88. 89.
90.
91-100. Дано комплексное число z. Требуется:
1) записать его в алгебраической и тригонометрической формах;
2) найти все корни уравнения .
91. 92. 93. 94. 95. 96.
97. 98. 99. 100.
3. Введение в математический анализ
101-110. а) найти область определения функции;
б,в) построить графики функций при помощи преобразований графиков
основных элементарных функций.
101. а) ; б) ; в) .
102. а) ; б) ; в) .
103. а) ; б) ; в) .
104. а) ; б) ; в) .
105. а) ; б) ; в) .
106. а) ; б) ; в) .
107. а) ; б) ; в) .
108. а) ; б) ; в) .
109. а) ; б) ; в) .
110. а) ; б) ; в)
111-120. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
111. а) ; б) ;
в) ; г) .
112. а) ; б) ;
в) ; г) .
113. а) ; б) ;
в) ; г) .
114. а) ; б) ;
в) ; г) .
115. а) ; б) ;
в) ; г) .
116. а) ; б) ;
в) ; г) .
117. а) ; б) ;
в) ; г) .
118. а) ; б) ;
в) ; г) .
119. а) ; б) ;
в) ; г) .
120. а) ; б) ;
в) ; г) .
121-130. Заданы функция и два значения аргумента х1 и х2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
121. 122. .
123. . 124. .
125. . 126. .
127. . 128. .
129. . 130.
131-140. Задана функция . Найти точки разрыва, если они существуют. Сделать схематический чертеж.
131. 132. 133.
134. 135. 136.
137. 138. 139.
140.
4. Производная и ее приложения
141-150. Найти производные данных функций.
141. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
142. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
143. а) ; б) ; в) ; г) ;
д) .
144. а) ; б) ; в) ; г) ;
д) .
145. а) ; б) ; в) ; г) ;
д) .
146. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
147. а) ; б) ; в) ; г) ;
д) .