Математическая физика

Варианты контрольных работ

Контрольная работа состоит из 5 заданий.

Номер варианта определяется по последней цифре номера зачётной книжки

Задание 1

Определить тип уравнения и привести к каноническому виду

1) u_xx-2u_xy-3u_yy+u_y=0

2) u_xx-6u_xy+10u_yy+u_x-3u_y=0

3) 4u_xx+4u_xy+u_yy-2u_y=0

4) u_xx-9u_yy=0

5) u_xx-4u_yy=0

6) 9u_xx+2u_xy+u_yy=0

7) 4u_xx-2u_xy+u_yy=0

8) 16u_xx+8u_xy +u_yy=0

9) u_xx-4u_xy-3u_yy-2u_x+6u_y=0

10) (1/9)u_xx+(1/4)u_yy=0

Задание 2

Найти области на плоскости (х,у) в которых уравнение 1 имеет указанный тип.

№ варианта	Уравнение	Тип
1	Uxx-4xuxy+(4-y^2)uyy=0	гиперболический
2	Yuxx+2xuxy+uyy=0	гиперболический
3	Uxx+xuxy-yuyy=0	эллиптический
4	2uxx+yuxy-xuyy=0	гиперболический
5	(y^2-1)uxx-2xuxy+uyy=0	эллиптический
6	Uxx+2yuxy+(x^2-1)uyy=0	гиперболический
7	Uxx+xuxy-yuyy=0	эллиптический
8	(y^2+1)^2uxx+4(y^2+1)uxy=0	параболический
9	(y^2+1)uxx-x(uxy+uyy)+y(ux+uy)=0	гиперболический
10	Y^2uxx+2yuxy+(x^2+y^2)uyy-2xyu=0	гиперболический

Задание 3.

Найти решение волнового уравнения методом характеристик (методом Даламбера) и форму струны в момент t :

№ варианта	Уравнение	u|t=0	ut|t=0	t
1	utt=uxx	u|t=0=x^2	ut|t=0=4x;	2
2	utt=4uxx	u|t=0=x^2	ut|t=0=x	10
3	utt=9uxx	u|t=0=sin x	ut|t=0=x	
4	utt=uxx	u|t=0=sin x	ut|t=0=x+cos x	
5	utt=9uxx	u|t=0=x	ut|t=0=x^2+1	1
6	utt=4uxx	u|t=0=x^2+x	ut|t=0=1	5
7	utt=1/9uxx	u|t=0=x^2	ut|t=0=x	9
8	9utt=uxx	u|t=0=27x^3	ut|t=0=1	3
9	utt=4uxx	u|t=0=x+cosx	ut|t=0=1	
10	utt=4uxx	u|t=0=x	ut|t=0=cos x	

Задание 4

Решить уравнение колебания струны, закрепленной на концах, методом Фурье

№ варианта	Уравнение	u|t=0	ut|t=0	отрезок
1	utt=4uxx	u|t=0=x	ut|t=0=4;	0<x<1
2	utt=9uxx	u|t=0=cos x	ut|t=0=0	0<x<2
3	utt=uxx	u|t=0=sin x	ut|t=0=0	0<x<π
4	utt=4uxx	u|t=0=x	ut|t=0=1	0<x<1
5	utt=uxx	u|t=0=sin x	ut|t=0=1	0<x<π
6	utt=9uxx	u|t=0=x^2	ut|t=0=0	0<x<2
7	utt=uxx	u|t=0=x	ut|t=0=0	0<x<4
8	utt=16uxx	u|t=0=x	ut|t=0=1	0<x<1
9	utt=9uxx	u|t=0=cosx	ut|t=0=0	0<x<π
10	utt=uxx	u|t=0=x	ut|t=0=cos x	0<x<π

Задание 5

Решить уравнение теплопроводности для случая неограниченного стержня, удовлетворяющее начальному условию распределения температуры стержня

№ варианта	Уравнение	u|t=0
1	ut=4uxx	u|t=0=1
2	ut=9uxx	u|t=0=4
3	ut=uxx	u|t=0=x
4	ut=4uxx	u|t=0=1
5	ut=uxx	u|t=0= x
6	ut=9uxx	u|t=0=x
7	ut=uxx	u|t=0=2
8	ut=16uxx	u|t=0=1
9	ut=9uxx	u|t=0=x
10	ut=uxx	u|t=0=x