Точка и прямая Задача 1

По двум заданным проекциям трех точек А, В и С построить их третьи проекции. По­строить три проекции точки K, симметричной точке А относительно элемента симметрии, указанного в задании. Построить аксонометрические проекции точек А, В, С и K и определить их положение в пространстве.

Индивидуальное задание представлено на рис.1.1.

1. Поле чертежа делим на шесть равных частей (рис.1.2), в которых будут расположены:

(1) – ортогональные проекции точек АиK;

(2) – аксонометрические проекции точек АиK;

(3) – ортогональные проекции точки В;

(4) – аксонометрическая проекция точки В;

(5) – ортогональные проекции точки С;

(6) – аксонометрическая проекция точки С.

2. Перечерчиваем заданные проекции точки Ав ячейку (1) и строим ее третью проекцию по двум заданным. Из имеющихся проекций проводим линии проекционной связи, перпендикулярные осям проекций (рис.1.3) и определяем координатные отрезкиОА_x,ОА_y,ОА_z, равные соответствующим координатам точкиА:

ОА_x=x_А,ОА_y=y_А,ОА_z=z_А.

Вследствие того, что ось y при образовании эпюра совмещается с плоскостью чертежадважды, координатаy_Аимеет два изображения:

y_A = OAy_1 = OAy_3.

Фронтальная проекция точки Аопределяется координатамиx_А = ОА_x,z_А = ОА_z:

А = (А_xА  x)  (А_zА  z).

Профильная проекция точки Аопределяется координатамиy_А = ОА_y3,z_A = ОА_z:

А = (А_y3 А  y_3)  (А_zА  z).

На пересечении линий проекционной связи с осями проекций отмечаем точки А_x,А_y3,А_z.

3. Строим третью (горизонтальную) проекцию точкиА– точкуА(рис.1.4), которая определяется координатамиx_А =ОА_x;y_А =ОА_y1:

А = (А_xА  x)  (А_y1А  y_1).

Для определения точки А_у1 проводим дугу окружности с центром в точке О радиусом ОА_у3. Перенос осуществляется с оси у_3 на соответствующее по знаку направление оси у_1 (и наоборот).

4. В ячейке (2) (см. рис.1.2) строим аксонометрическую проекцию точкиА. Вычерчиваем аксонометрические оси в косоугольной диметрической фронтальной проекции с коэффициентами искаженияk_x = 1;k_y = 0,5;k_z= 1 (рис.1.5).

На аксонометрических осях откладываем координатные отрезки точки А:

OА_х=x_А,ОА_y= 0,5y_А,ОА_z=z_А.

5. Строим проекции А,А,А(рис.1.6):

А= (А_хАy)(А_yАx);

А= (А_хАz)(А_zАx);

А= (А_yАz)(A_zАy).

6. Строим аксонометрическую проекцию точки А(рис.1.7):

(АА)z; (АА)y; (АА)x.

7. В ячейке (3) (см. рис.1.2) строим ортогональные проекции точки В. Определяем координаты точкиВ(рис.1.8):

ОВ_x=x_В,ОВ_y1 = ОВ_y3=y_B(y_В= 0B_y1B_y3О),ОВ_z=z_В.

8. Строим третью (профильную) проекцию точкиВ–В(рис.1.9). Профильная проекцияВопределяется координатамиy_В=ОВ_y3иz_В=ОВ_z:

В= (В_y3Вy_3)(В_zВz).

ВB_z;Вz.

9. В ячейке (4) (см. рис.1.1) откладываем на аксонометрических осях координатные отрезки точкиВ(рис.1.10):

ОВ_x=x_В;ОВ_y= 0,5y_В;ОВ_z=z_В

(y_В= 0B_yлежит в начале координат).

10. Строим проекции В,В,В(рис.1.11):

В= (В_xВy)(В_yВx),ВВ_x;

В= (В_xВz)(В_zВx);

В= (В_yВz)(В_zВy),ВВ_z.

11. Строим аксонометрическую проекцию точки В:

(ВВ)z; (ВВ)y; (ВВ)x.

Точка Влежит в плоскости₂и совпадает со своей фронтальной проекциейВ. На эпюре показывают только проекции точек, поэтому на рис.1.9 точкаВне показана, несмотря на то, что в пространстве она совпадает со своей фронтальной проекциейВ.

12. В ячейке (5) (см. рис.1.2) строим ортогональные проекции точки С. Определяем координаты точкиС(рис.1.12):

ОС_x=x_С ,ОС_y1 = ОС_y3=y_С ,ОС_z=z_С

(x_С= 0;z_С= 0С_xС_zО).

13. Строим третью (фронтальную) проекцию точкиС–С(рис.1.13), которая определяется координатамиx_С=ОС_x= 0,z_С=ОС_z= 0. ТочкаСсовпала с точкамиС_x,C_zи точкойО.

14. В ячейке (6) (см. рис.1.2) откладываем на аксонометрических осях координатные отрезки (рис.1.14):

ОС_x=x_С= 0;ОС_y= 0,5y_С;ОС_z=z_С= 0.

15. Строим проекции С,С,С(рис.1.15):

С= (С_xСy)(С_yСx),СС_y;

С= (С_xСz)(С_zСx),СО;

С= (С_yСz)(С_zСy),СС_y.

16. Строим аксонометрическую проекцию точки С:

(СС)z; (СС)y; (СС)x.

Точка Cпринадлежит осиyи совпадает сСиС.

17. Строим проекции точкиK, симметричной точкеА(элемент симметрии указан внизу индивидуального задания).

Определяем координаты точки K. По абсолютной величине координаты точкиKравны координатам точкиА, но отличаются знаком:

а) если элементом симметрии является начало координат (точкаО), то у точкиKменяется знак координат по всем трем осям;

б) если элементом симметрии является ось проекций (осьx,yилиz), то меняется знак координат по двум другим осям;

в) если элементом симметрии является плоскость проекций (плоскость₁,₂или₃), то меняется знак координаты по оси, перпендикулярной этой плоскости проекций.

В нашем примере элемент симметрии – плоскость проекций₁, следовательно, меняется знак координат только по осиz:

x_K = x_А,y_K = y_А,z_K = -z_А;

ОK_x = ОА_x,ОK_y = ОА_y,ОK_z = –ОА_z.

Возвращаемся к чертежу с ортогональными проекциями точки Аи откладываем на осях координаты точкиK. Отмечаем точкиK_x,K_y(K_y1иK_y3) иK_z(рис.1.16).

18. Строим ортогональные проекции точкиK(K,KиK) (рис.1.17) аналогично проекциям точкиА.

19. Строим аксонометрическую проекцию точки K(рис.1.18) аналогично аксонометрической проекции точкиА.

20. Определяем местоположение точек А и K. Для этого можно воспользоваться двумя способами.

В первом случае, сопоставляя положение точек А и K (рис.1.18) с принятой нумерацией октантов, приходим к выводу, что точка А находится во II октанте, а точка K – в III.

Во втором случае необходимо определить знаки координат рассматриваемых точек (табл.1).

Таблица 1

Точка	x	y	z
А	+	–	+
K	+	–	–

Сопоставляя знаки координат точек А и K со знаками прямоугольных координат в различных октантах, определяем, что точка А находится во II октанте, а точка K – в III.

Местоположение точек ВиСбыло установлено в процессе решения задачи (точкаВлежит в плоскости₂, а точкаС– на осиy). В свободном месте чертежа вычерчиваемтабл.2.

Таблица 2

А	K	В	С
II	III	2	y