3. Задание на контрольную работу

3.1. Основные положения

Способы дуговой сварки плавящимся электродом с механизированной подачей электродной проволоки широко распространены в промышленно развитых странах. По некоторым литературным данным до 62% сварных конструкций в странах ЕЭС сваривают механизированными способами сварки плавящимся электродом как в активных газах (СО₂, СО₂+Arи т.п.), так и в инертных (Ar,He,Ar+Heи т.п.). При этом часто требуется уметь произвести оценку теплового состояния вылета электродной проволоки. Это требуется для анализа взаимодействия ряда активных к защитному газу легирующих элементов при использовании электродных проволок, полученных традиционными металлургическими технологиями. Еще более актуальной становиться такая оценка при использовании порошковой проволоки, сердцевина которой может содержать термические нестойкие порошки.

Принципиально, для исследования температурного поля в вылете электродной проволоки затруднительно применять экспериментальные методы исследования в связи с высокой скоростью подачи электродной проволоки, наличия воздействия факела дуги и некоторыми другими причинами.

Поэтому весьма актуальным является построение математической модели температурного поля в вылете электродной проволоки применительно к механизированным способам сварки плавящимся электродом. На рис. 1 дана схема вылета электрода и расположения оси координат ОХ. Начало координат поместили по срезу скользящего токоподвода (мундштука). Последнее оправдано имеющимися в литературе экспериментальными данными о том, что более 90% сварочного тока вводится в электрод вблизи этого сечения токоподвода. Таким образом, система координат является неподвижной относительно скользящего токоподвода и подвижной, относительной электродной сварочной проволоки. Последняя предполагается движущейся относительно токоподвода с постоянной скоростью подачи V_ев направлении оси ОХ (см. рис. 1).

В наиболее общем случае температурное поле в вылете электродной проволоки в системе координат ОХ, подвижной относительно проволоки, описывается следующим одномерным нелинейным уравнением теплопроводности:

(1)

где Т=Т(х,t) – температура,С, в исследуемой точке вылета электродной проволоки с координатойхв момент времениt;

с,,_е– теплофизические свойства металла электродной проволоки - объемная теплоемкость, Дж/м³К; коэффициент теплопроводности, Вт/мК и удельное сопротивление металла, Омм соответственно;

V_е– скорость подачи электродной проволоки, м/с;

 - коэффициент поверхностной теплоотдачи, Вт/м²К;

d– диаметр электродной проволоки, м;

Т_- температура окружающей среды,С;

j– средняя плотность сварочного тока в поперечном сечении электродной проволоки, равная отношению величины сварочного тока к площади поперечного сечения электрода, А/м².

К дифференциальному уравнению в частных производных (1) для возможности его однозначного решения следует поставить так называемые краевые условия – начальные (2) и граничные (3) – (4):

(2)

(3)

(4)

где l– длина вылета электрода (см. рис. 1), м; Т_m– температура плавления металла, для сплавов с относительно широким интервалом кристаллизации ее можно взять как полусумму солидуса и ликвидуса.

Краевая задача (1) – (4) наиболее полно может быть решена только численно, например методом конечных разностей. При этом представляется возможным учесть зависимость теплофизических свойств металла и коэффициента поверхностной теплоотдачи от температуры, если такая экспериментальная информация о металле и условиях теплообмена имеется. Однако это трудоемкая задача и она выходит за рамки настоящей дисциплины.

Поэтому, ниже будут приняты дополнительные допущения для упрощения математической модели (1) – (4) с целью реализации возможности получения аналитического решения для температурного поля в вылете электродной проволоки.

Численные исследования на модели (1) – (4) показывают, что учет поверхностной теплоотдачи (0) практически не сказывается на характере температурного поля в вылете электрода и поэтому можно принять= 0. Эти же исследования показывают, что учет зависимости теплофизических свойств (с,,_е) от температуры не вносит принципиальных изменений в характер температурного поля в вылете электродной проволоки. Поэтому далее указанные теплофизические свойства металла электродной проволоки полагались константами, зависящими только от марки металла.

Анализ результатов численного исследования температурного поля с помощью математической модели (1) – (4) позволил, также, утверждать, что температурное поле в вылете электрода Т(х,t) устанавливается за весьма короткое время, не превышающее величину 2l/V_е, , т.е. перестает зависеть от времени, сохраняя зависимость только от координатых, т.е.Т=Т(х). Это позволяет считать первую производную от температуры по времени в левой части уравнения (1) равной нулю и трансформировать дифференциальное уравнение в частных производных (1) в обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ). Причем, это ОДУ с учетом остальных допущений, сделанных выше, является линейным уравнением второго порядка и имеет вид:

(5)

где а=/с– коэффициент температуропроводности металла электродной проволоки, м²/с.

Для однозначности решения (5) к нему необходимо поставить краевые условия в начальной и конечной точках вылета:

(6)

(7)

Следует заметить, что в высшей математике линейные ОДУ второго порядка стараются свести к виду задачи Коши, т.е. когда в одной точке ставятся два начальных условия – для самой искомой функции и для ее производной. Однако, постановка краевой задачи для линейного ОДУ второго порядка не вносит каких либо принципиальных отличий, по сравнению с задачами Коши.

Нетрудно показать, что краевая задача (5) – (7) допускает построение несложного аналитического решения, имеющего вид:

(8)

Следует заметить, что формула (8) получена как с учетом нагрева вылета электродной проволоки проходящим током, так и с учетом теплового воздействия дуги (см. условия (7)). Нетрудно убедиться, что зона теплового воздействия дуги даже для теплопроводных алюминиевых сплавов не превышает 3 мм, а для сталей 1… 1,5 мм, в то время как вылет электрода редко выбирают менее 15…20 мм. Последние цифры относятся к электродам диаметром 1 мм и с ростом его увеличиваются.

Можно показать, что для температурного поля вне зоны теплового воздействия дуги справедливо следующее асимптотическое приближение формулы (8):

(9)

Справедливость формулы (8) можно доказать с одной стороны подставив в (8) х=0 их=lи получив соответственно условия (6) и (7), а с другой – подставив (8) в ОДУ (5).