3.2.4.1. Построение математической модели

1) Рассчитаем прибыль на одну деталь. Расчеты сведем в табл. 40.

2) Рассчитаем целевую функцию – прибыль предприятия от деталей, изготовляемых за один час работы.

Обозначим Х₁ – число выпускаемых в час деталей А;

Х₂ – число выпускаемых в час деталей В.

Тогда чистая прибыль за час составит

Z = 27,38 * Х₁ +37,8 * Х₂. (6)

Таблица 40

Затраты на обработку одной детали (у.е.)		Деталь А	Деталь В
Стоимость обра-ботки детали на одном станке (у.е.)	S1	24/30=0.8	24/30=0.8
	S2	21/50=0.42	21/25=0.84
	S3	18/20=0.9	18/40=0.45
Общие затраты на обработку (у.е.)		0,8+0,42+0,9=2,12	0,8+0,84+0,45=2,09
Покупная цена заготовки (у.е.)		30	40
Общие затраты на одну деталь (у.е.)		30+2,12=32,12	40+2,09=42,09
Продажная цена одной детали (у.е)		59,5	79,89
Прибыль на одну деталь (у.е.)		59,5-32,12=27,38	79,89-42,09=37,8

3) Значения Х нельзя выбирать произвольно. Рассмотрим ограничения, накладываемые на эти переменные. Таких ограничений два.

Первое. По физическому смыслу переменных. Количество выпускаемых деталей не может быть отрицательным, т.е.

Х₁ >= 0,

X₂ >= 0. (7)

Второе. По мощности оборудования.

Для станка S1. На этом станке в час может быть обработано 30 деталей А или 30 деталей В, отсюда получаем неравенство

Х₁ / 30 + Х₂ / 30 <= 1. (8)

Для станка S2. На этом станке в час может быть обработано 50 деталей А или 25 деталей В, отсюда получаем неравенство

Х₁ / 50 + Х₂ / 25 <= 1. (9)

Для станка S3. На этом станке в час может быть обработано 20 деталей А или 40 деталей В, отсюда получаем неравенство

Х₁ / 20 + Х₂ / 40 <= 1. (10)

Сведем уравнения (3) – (5) в систему:

(11)

Избавляясь от знаменателей в системе уравнений (11), получаем

(12)

Итак, математическую модель задачи составляют уравнение (6) и неравенства (7) и (12). Нужно найти такие значения переменных Х1 и Х2, которые доставляют максимум целевой функции (6) при выполнении ограничений (7) и (12).

3.2.4.2. Разработка начального плана выпуска продукции в эт

1. В ячейках А3:С4 ЭТ (табл. 41 и табл. 42) разместим исходные данные о переменных Х₁ и Х₂ .

Будет считать, что план выпуска составляет 1 деталь А в час и 1 деталь В в час.

2. В ячейках Е3:F5 поместим данные о коэффициентах левой части системы неравенств (12).

3. В строках 6-8 введем информацию о целевой функции:

а) в ячейках В8 и С8 разместим коэффициенты перед переменными в целевой функции Z;

б) в ячейку D8 введем формулу для вычисления значения целевой функции.

Можно ввести формулу =В4*В8+С4*С8, а можно воспользоваться функцией =СУММПРОИЗВ(В4:С4;В8:С8) (=SUMPRODUCT(В4:С4;В8:С8)).

4. В строках 9-13 разместим данные для проверки выполнения системы ограничений (12):

а) в ячейку А11 введем формулу для вычисления левой части первого неравенства из системы (12).

=СУММПРОИЗВ(В4:С4;E3:F3) (=SUMPRODUCT(В4:С4;E3:F3)).

В ячейке A13 формула =СУММПРОИЗВ(В$4:С$4;E5:F5)

(=SUMPRODUCT(В$4:С$4;E5:F5)).

2.5. В ячейки F11:F13 введем правые части неравенств системы (12).

Таблица 41

	A	B	C	D	E	F
1	Оптимизация плана выпуска продукции
2	ПЕРЕМЕННЫЕ			КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ В СИСТЕМЕ ОГРАНИЧЕНИЙ
3	ИМЯ	Х1	Х2	ДЛЯ S1	1	1
4	ЗНАЧЕНИЕ	1	1	ДЛЯ S2	1	2
5				ДЛЯ S3	2	1
6	Целевая функция
7	Коэффициенты при переменных			Значение целевой функции
8		27,38	37,8	65,18
9	Система ограничений
10	Значения левой части					Правая часть
11	2					30
12	3					50
13	3					40

Таблица 42

		A		B		C	D	E	F
1	Оптимизация плана выпуска продукции
2	ПЕРЕМЕННЫЕ						КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ В СИСТЕМЕ ОГРАНИЧЕНИЙ
3	ИМЯ			Х1		Х2	ДЛЯ S1	1	1
4	ЗНАЧЕНИЕ			1		1	ДЛЯ S2	1	2
5							ДЛЯ S3	2	1
6	Целевая функция
7	Коэффициенты при переменных						Значение целевой функции
8			27,38		37,8		=СУММПРОИЗВ(B4:C4;B8:C8)
9	Система ограничений
10	Значения левой части								Правая часть
11	=СУММПРОИЗВ(B$4:C$4;E3:F3)								30
12	=СУММПРОИЗВ(B$4:C$4;E4:F4)								50
13	=СУММПРОИЗВ(B$4:C$4;E5:F5)								40

В OpenOffice.org Calc строки 9-13 примут вид.

9	Система ограничений
10	Значения левой части	Правая часть
11	=SUMPRODUCT(B$4:C$4;E3:F3)	30
12	=SUMPRODUCT(B$4:C$4;E4:F4)	50
13	=SUMPRODUCT(B$4:C$4;E5:F5)	40