§ 3 Определенный интеграл п.1 Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

а) Площадь криволинейной трапеции.

Пусть функция непрерывна на отрезке и . Рассмотрим фигуру, ограниченную отрезками прямых и графиком функции . Такую фигуру называют криволинейной трапецией.

Разобьем отрезок на n частей точками , , где . Проведем через эти точки прямые, параллельные оси . Криволинейная трапеция разобьется на n криволинейных трапеций. Обозначим . Пусть , где . Тогда сумма равна площади ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников шириной и высотой . Ясно, что при достаточно мелком разбиении площадь криволинейной трапеции будет мало отличаться от площади полученной ступенчатой фигуры.

б) Движение с переменной скоростью.

Допустим, точка движется вдоль прямой со скоростью . Надо найти положение точки в момент времени t, т.е. функцию .

Зная промежуток времени , разобьем его точками . Пусть . При достаточно мелком разбиении

, где .

Тогда .

Чем меньше , тем точнее получится пройденный путь .

Т.е. , где .

П.2 Определение интеграла Римана

Пусть функция определена на отрезке . Разбиением Т отрезка называется множество точек , таких, что . Обозначим – частичный отрезок разбиения, – длину того отрезка разбиения. назовем мелкостью разбиения Т. Возьмем на каждом отрезке разбиения произвольную точку . Получим разбиение с отмеченными точками.

Сумма называется интегральной суммой для функции при заданном разбиении Т и фиксированных отмеченных точках .

О. Число I называется определенным интегралом от функции по отрезку , если для такое, что для любого разбиения Т, мелкость которого меньше , и при любом выборе отмеченных точек выполняется неравенство:

.

Обозначается определенный интеграл .

Данное определение интеграла означает, что число I является пределом интегральных сумм при мелкости разбиения , стремящейся к нулю, т.е. , причем предел этот не зависит от выбора отмеченных точек .

Если для функции существует число I, то функцию называют интегрируемой (по Риману) на отрезке , и говорят, что существует интеграл от функции на отрезке .

П.3 Необходимое условие интегрируемости функции

Теорема Если функция интегрируема на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство. Пусть функция интегрируема на отрезке . Тогда существует число I, удовлетворяющее определению интеграла. В частности, для , т.е.

.

Зафиксируем разбиение Т с мелкостью . Допустим, что не ограничена на отрезке . Тогда она не ограничена по крайней мере на одном из отрезков разбиения Т. Будем для определенности считать, что не ограничена на отрезке .

Зафиксируем точки и обозначим .

Получим .

Отсюда .

Но это значит, что ограничена на . Мы пришли к противоречию с предположением. Значит, ограничена на ■

Замечание. Из ограниченности функции не следует её интегрируемость. Например, функция Дирихле ограничена, но не интегрируема на отрезке . Действительно, если взять Q, то . Если взять из R\Q, то . Т.к. предел интегральных сумм не должен зависеть от выбора отмеченных точек , то в данном случае его не существует.