6. Определенный интегрл,приложение. Несобственный интеграл.
6.1 Интегральная сумма. Определенный интеграл.
Рисс.1) На отрез [а,в]задана неприр. ф-я Разобьем отрез. [а,в]произвольным образом на n частей:
а=хо; х1,х2,…….хn-1,хn, при этом хo<х1<х2<…<хn
Обозначим ∆х1=х1-х0; ∆х2=х2-х1
,….., ∆xn=xn-xn-1 –длины типичных отрезков
На каждом из частичн. отр. [xi-1;xi], где i=1,2,….,n
Произвольным образом выбираем точку Сi
В каждой из этих точек вычислим значение ф-ии f(c1),f(c2)….,f(cn) и составим сумму :
??n=f(c1)* ∆x1+f(c2)* ∆x0+…..+f(cn)* ∆xn (6.1.1)
Опред.: эта сумма назыв. Интегральной суммой для ф-ии f(x) yf jnh [a;b]
Гео метрический смысл интегральной суммы
Интегр.сумма зависит от способа разбиения отр. [a;b] на частичные отрезки [xi-1;xi] и выбора опорных точек Сi внутри частичных отрезков.
Обозначим наибольшую из длин отрезков при данном разбиение.
Рассмотрим некоторые последов разбиений, при котор((((( ))))и при этом n→∞
Опред.: если при любых разбиениях отрезка [a;b] : (((((()))))) и при любом выборе точке Сi интегральная сумма 6.1.1 стремиться к одному и тому же пределу S:
То этот предел назыв. определ. интегралом от ф-ии f(x) на отр [a;b] и обозначается
Числа a и b соответств. назыв. нижним и верхним пределами интегрирования
Отрезок [a;b] называв.отрезком интегрирования; х-переменная интегриров-я
По определению:
(6.1.2)
Опред.: если предел для 6.1.2 существ, то ф-ю называют ИНТЕГРИРУЕМОЙ на отрезке [a;b]
Геометрич-ки опред. Интеграл
От ф-ии f(x) при a<b и f(x)>=0 равен площади криволинейной трапеции ограниченной графиком ф-ии y=f(x), осью OX и прямыми х=а и х=b
Пример:
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
Т.1 если ф-я y=f(x) непрерывна на отр. [a;b] то она интегрируема на этих отрезках
Y=f(x)€C[a;b] => &&&
Т.2 если ф-я y=f(x) ограничена на отр [a;b] и непрерывна на этом отрез. Всюду за искл. Конечного числа точки разрыва, то она интегрир. на этом отрезке.
Привер: ф-я Дирихле
Ф-я на отр [0;1] неинтегрируема
6.2 Свойства определен. Интегр.
1. a=b =>
2. a<b ???? => ???? и
3. Свойство аддитвности
=>
4. =>
5. определ. интеграл от алгебраич суммы нескольких ф-й равен алгебраич .сумме интеграл-ов от слагаемых
=>
Свойства 4 и 5 назыв. Линейными свойствами опред интеграла
6. f(x)>=0 =>
7. если выполняется f(x)<=g(x), f(x) и g(x) =>
Свойство монотонности
8. если m и M наименьш. И наиб. Знач ф-ии f(x) на отр [a,b], где a<=b и => справедливо равенство:
Доказательство:
=>(по свойст 7)==>
(по свойст 4)=>
Геометрический смысл доказанных неравенств.
Если f(x)>=0,то S кривол.трак. то SaA1B1b =<SaABb=<SAA2B2b
9. если существует интеграл и выполнятся неравенство:
Модуль интеграла не превосходит интеграла модуля Док-во: справедливо соотношение
если а) f(x)>0 б)f(x)<0 по свойст. 7 получим:
=>( ) =>
=>
10. если сущ.интегр. (проверь так ли, у оли не понятно), и для всех х[a,b],, k-const , a<b и
Это сво-во следует из сво-ва 9 с учетом сво-ва 4 и 7 .
11. Т.о среднем
Если ф-ия y=f(x) непрерывна на отр. [a,b] тогда на этом отрезке найдется точка С: выполняется равенство:
Док-во:
Из св-ва 8 => m(b-a) => m=>
причем
по усл. f(x) неприрыв. ф-ия и обязательно принимает хотя бы 1 раз значение зключительное между m и M => C [a,b] , => (((((((()))))))))
=> - формула среднего значения а f(c)-среднее знач. Ф-ии на отр. [a,b]
Геометрич. Смысл:
Площадь ограниченная криволин-й трапецией, осью ОХ, прямыми х=а, х=b площадь равнове???????? Площади прямоугольн. Высотой f(c) и основанием длиной (b-a)
12. Определенный интеграл зависит только от подъинтегральной функции f(x) и отрезка интегрирования [a;b] и не зависит от переменной интегрирования, которую можно обозначать любой буквой.
Определенный интеграл по симметричному отрезку.
13. Если f(x) – четная функция
f(-x)=f(x) из этого следует что
14. Если f(x) – нечетная функция
f(-x)=-f(x) из этого следует что
Свойства 13, 14 будут доказаны, когда будет «замена переменной в определенном интеграле».
6.3 Производная от интеграла по его верхнему пределу.
Теорема Барроу.
Пусть в определенном интеграле нижний предел постоянный, а верхний изменяется, тогда будет изменяться значение интеграла, т.е. при рассмотренном условии интеграл есть функция своего верхнего предела.
При постоянной а, этот интеграл будет собой представлять функцию верхнего предела
Теорема Барроу: Если f(x) – непрерывная функция на [a;b] и - функция верхнего предела, то тогда от x {производная от функции верхнего предела равна подынтегральной функции}.
Доказательство: Пусть -приращение аргумента ,тогда приращение функции Ф(х) будет равно:
{по условию}={для первого слагаемого в алгебраической сумме применим св-во 3}={св-во 11(т. О среднем)}=
{с учетом }= {по условию f(x) – непрерывная функция}.
Из теоремы Барроу следует что
6.4 Формула Ньютона – Лейбница
Теорема: Если
Если F(х) – есть какая-либо первообразная от функции f(х), которая непрерывна на [a,b], тогда справедлива формула Н.-Л.
Доказательство: Пусть F(x) – некоторая первообразная от функции f(x), то по теореме Барроу
Две любые первообразные от данной функции отличаются на постоянное слагаемое – С.
Воспользуемся {знак двойной подстановки}
По св-ву 12 () и получим формулу Н. – Л.
Вывод: формула Н.- Л. позволяет вычислить определенный интеграл в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции.
Примеры:
1)
2)Вычислить среднее значение функции: f(x)=x на отрезке [0,n/2]
6.5 Замена переменной в определенном интеграле
Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], t - новая переменная, такая что x=g(t).
Пусть функция g(t) – непрерывна на отрезке [], имеет
1) - непрерывную производную на этом отрезке.
2)
3)тогда справедлива формула замены переменой в определенном интеграле.
6.5.1
Доказательство: Пусть F(x) первообразная для f(x) по определению первообр.
Интегрируя оба равенства в пределах от a до b получаем
по формуле Н. – Л.
По условию 2 теоремы: Правые части последующих выражений равны, то равны и левые—что и доп. формулу замены переменной в определенном интеграле.
Замечание: при вычислении определенного интеграла по 6.5.1 к старой переменной не возвращаемся.
Примеры:
1)
=
2) Формула дл интеграла по симметричному отрезку от -а до а
=
четная функция
нечетная функция
3)
6.6 Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Пусть U(x), V(x)
Докажем формулу интегрирования по частям в определенном интеграле
- формула интегрирования по частям.
Пример:
=
6.7 Несобственные интегралы
В определенном интеграле
1)[a,b]
2)
Возникает необходимость распространить определенный интеграл на случай:
1)бесконечного промежутка интегрирования
2)разрывной подынтегральной функции
Признаки сходимости несобст-ых Интег-ов с бесконечн. Предел.
Т.1 Если для x
;
Т.2 Для случая ф-ии х выполняется неравенство 0 и
-расходятся.
Т.3 для случая ф-ия f(x) имеющий знак в бесконечном промежутке,
Если dx , этот абсолютно сходящийся .
6.7.2 от неограниченных ф-ий. Несобственный 2-го рода.
Сущ-ет у=f(x) определена и непрерывна для всех х принадлежащих на [a,b) в (.) х=b либо определена, либо имеет бесконечный разрыв.
Определение ф-ии f(x) в (.) по определению равен:
(6.7.2.1)
Если предел в правой части сущ-ет и конечен, то несобственный наз-ся Сходящимся, в противном случае (предел не сущ-ет или = , наз-ся Расходящимся.
Пусть ф-ия у=f(х) не прерывна на [a,b] в (.) х=с ф-ия или неопределенно либо имеет бесконечн разрыв , то по определению , , то ,
(6.7.2.2)
Если предел в правой части сущ-ет и конечен , то Интег-ал назыв-ся Сходящимся, в противном случае Расходящимся!
Если ф-ия у=f(x) имеет бесконечный разрыв в (.) х=с или неопределена, где асb , тогда
(6.7.2.30)
Если сходится одновременно оба Интег-ла в Прав. Части , то сходится Интег-л и в левой части. Если хотя бы один из Интег-лов в Прав-й части расходится, то расходится и Интег-л в левой части.
Если функция у=f(x) на отрезке [a,b], где она определена и непрерывна, и имеет конечное число (.) разрыва тогда несобственный Интеграл определяется следующим образом:
Если каждый из несобственных в правой части равенства сходится, то сходятся в левой части, если хотя бы один из них расходится, то расходится и исходный .
Признаки сходимости несобственных от разрывных фун-ий.
Т.1 Если на промежутке [a,b) ф-я у=f(x) и g(x) определены и непрерывны в (.) x=b эти ф=ии имеют разрыв для всех ,
Из геометрич. смысла определённого интеграла для областей задаваемых соотношениями a x b, y1(x)yy2(x) справедлива формула для вычисления S области , ограниченной графиками ф-ий y1(x), y2(x) и прямыми x=a, x=b.
Если область задана с соотношениями cyd , g1(y)x g2(y), то
Если прямая линия задана параметрически ,x(t), y(t) , непрерывн. диф. на отрезке . x(=a; x()=b