6.9 Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат.
Пусть линия огранич. плоскую фигуру задана в полярной системе координат.
Пример: Вычислить длину окружности: x2+y2=R2
Вычислить длину 4-ой части окружности, расположенной в I квадранте(х≥0, y≥0):
Если уравнение кривой задано в параметр-ой форме: , функции x(t), y(t) определены и непрерывны вместе со своими производными на отрезке [α,β]. Производная , тогда сделав подстановку в формулу: и учитывая что
получим внесем множитель под знак корня и получим окончательно
Замечание: Задана плоская кривая , можно также рассматривать функцию, заданную параметр-ки в пространстве, тогда добавится функция z=z(t) и формула
Пример: Вычислить длину астроиды, которая задаётся уравнением: x=a*cos3(t), y=a*sin3(t), a>0
Вычислить длину 4-ой части:
по формуле
Длина дуги плоской кривой, заданной в полярной системе координат:
Пусть в полярной системе координат задано уравнение кривой: - непрерывная функция, вместе со своей производной на отрезке [α,β].
Формулы перехода от полярных координат:
рассматривать как параметрические:
ϕ - параметр, по ф-ле
2
Пр: Вычислить длину кривой : >0
З -ние: вычислим половину длины окружности:
Объём тела, вычисляемый по площади поперечного сечения тела.
Пусть задано тело, ограниченное замкнутой поверхностью и пусть известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох. Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости.
пусть все тело заключено между 2-мя перпендикулярными к оси Ох плоскостями, пересекающими её в точках х=а, х=b (a<b)
Для определения объёма такого тела разобьём его на слои с помощью секущих плоскостей, перпендикулярных к оси Ох и пересекающих её в точках . В каждом частичном промежутке . Выберем
и для каждого значения i=1,….,n построим цилиндрическое тело, образующая которого параллельна Ох, а направляющая представляет собой контур сечения тела плоскостью х=Сi , объем такого элементарного цилиндра с площадью основания S=Ci и высотой ∆хi . Vi=S(Ci)∆xi . Объём всех таких элементарных цилиндров будет . Предел этой суммы, если он существует и конечен при max ∆х 0 называется объёмом данного тела.
. Так как Vn интегральная сумма для непрерывной на отрезке [a,b] функции S(x) то указанный предел существует (т-ма существования) и выражается опр. Интегралом.
- объём тела, вычисляемый по площади поперечного сечения.
Объём тела вращения:
Пусть тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), осью Ох и прямыми x=a, x=b.
Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и неотрицательна на нем, тогда сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной Ох есть круг, радиусом R=y(x)=f(x) . Площадью круга S(x)=Пy2(x)=П[f(x)]2.Подставляя формулу получим формулу для вычисления объёма тела вращения вокруг оси Ох:
Если же вокруг оси Оу вращается криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на [c,d] функцией , то объём такого тела вращения:
Этот же объём может быть вычислен по формуле: . Если линия задана параметрическими уравнениями :
Делая замену переменной получим:
Если линия задана параметрическими уравнениями :
y(α)=c, y(β)=d. Делая замену y=y(t) получим:
Вычислить тела вращения вокруг оси ОУ параболы , .
1способ:
2способ:
2)Вычислить V тела вращения вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной прямой у=0, дугой ( с центом в точке(1;0), и радиусом=1), при .
Площадь поверхности тела вращения
Пусть заданна поверхность образованная вращением кривой у =f(х)вокруг оси Ох. Необходимо определить S этой поверхности при .
Пусть функция у =f(х) определенна и непрерывна, имеет неприр.и неотрицательна во всех точках отрезка [а;в]
Проведем хорды длины которых обозначим соответственно (n-хорд)
по теореме Лагранжа:
Тогда:
Площадь поверхности всей описанной ломанной будет равна
Определение: предел этой суммы, если он и конечен, когда наибольшее звено ломаной max , называется площадью рассматриваемой поверхности вращения.
Можно доказать, сто предел суммы равен приделу интегрированной суммы для р-ий
формула для S поверхности тела вращения =
S поверхности образованной Вращением дуги кривой х=g(x) вокруг оси Оу при
Непрерывна со своей производной
Если кривая заданна параметрически ур-ми x=x(t) , y=t(t) ф-ии x’(t), y’(t),x(t),y(t) определенны на отрезке [a;b],x(a)=a, x(b)=b то сделав замену переменой x=x(t)
Если кривая заданна параметрически сделав замену в формуле получим:
Если уравнение кривой заданно в полярной системе координат
S поверхности вращения вокруг оси будет равно