Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

________________________________________________________________

сложную задачу. Среднее арифметическое в этом случае может оказаться неэффективной оценкой, но его все равно целесообразно использовать, так как, согласно выражению (32), стандартное отклонение среднего арифметического при любом законе рас-

пределения в n раз меньше стандартного отклонения результата измерения.

Задавшись доверительной вероятностью Р, можно по нижней кривой на рис. 52

определить параметр t, показывающий самое большое количество S ˆ , на которое по-

Qn

лученное экспериментально значение среднего арифметического ˆ может отличаться

Qn

от его математического ожидания М( ˆ ), отождествляемого со значением измеряемой

Qn

величины Q. C той же вероятностью значение измеряемой величины Q находится в

ˆ				ˆ
интервале [ Qn - t S		ˆ	;	Qn + t S		ˆ	]. Форма записи этой измерительной информации при-
	Qn				Qn
ведена выше.

Если согласно априорной информации результат измерения подчиняется симметричному закону распределения вероятности, то его среднее арифметическое значение тоже подчиняется симметричному закону. В этом случае вместо нижней кривой на рис. 52 можно пользоваться средней, показанной пунктиром.

6.2.2. Многократное измерение с неравноточными значениями отсчета

Для того, чтобы найти оценку среднего значения результата измерения (отождествляемого со значением измеряемой величины) при многократном измерении с неравноточными значениями отсчета, воспользуемся универсальным методом отыскания эффективных оценок числовых характеристик любых законов распределения вероятности случайных величин, разработанным Р.А. Фишером. Он называется методом максимального правдоподобия.

Сущность метода максимального правдоподобия заключается в следующем. Многомерная плотность распределения вероятности системы случайных значе-

ний p(Q1 , Q2 ,...Qn ) рассматривается как функция числовых характеристик закона распределения вероятности. Эта функция

L = p(Q1,Q2 ,...Qn ,Q,σQ2 ,...),

называемая функцией правдоподобия, показывает, насколько то или иное значение каждой числовой характеристики "более правдоподобно", чем другие. Функция правдоподобия достигает максимума при значениях переменных, являющихся их наиболее эффективными оценками. Последние, следовательно, находятся из условия:

		ˆ	ˆ	2		= max ,
L Q ,Q ,...Q ,Q ,σ				Q	, ...
	1 2 n

что равносильно совместному решению уравнений:

153

И.Ф. Шишкин. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ

________________________________________________________________

∂L = 0 ;

∂ ˆ

Q

∂L = 0 ;

∂σˆQ2

...............

Для упрощения вычислений функцию правдоподобия иногда логарифмируют. Так как логарифм является монотонной функцией, то L и ln L достигают экстремума при одних и тех же значениях переменных. Наиболее эффективные оценки числовых характеристик, следовательно, могут определяться из совместного решения уравнений:

∂ln L = 0 ;

∂ ˆ

Q

∂ln L = 0 ;

∂σˆQ2

................

При многократном измерении с неравноточными значениями отсчета, подчиняющимися нормальному закону распределения вероятности, функцию правдоподобия можно представить в виде

(Q1 −

)2

(Q2 −

)2

1

n

(Qi −

)2

Q

Q

Q

1

−

1

−

1

−

∑=

L =

2 σQ2

2 σQ2

=

2

σQ2 i

e

1

e

2

e

i

1

,

n

n

σQ

2 π

σQ

2 π

(2 π)2

∏σQi

1

2

i=1

если все значения отсчета, полученные, например, с помощью разных средств измерений, являются независимыми. Логарифмирование левой и правой частей этого уравнения дает:

1

n

(Q

−

)

2

Q

lnL = −

∑

i

− C,

2

2 i=1

σQ

i

ˆ

где С от Q не зависит. Решая при

уравнение

Q = Q

∂lnL

n

1

ˆ

∑

ˆ

= −

(Qi − Q ) = 0 ,

2

∂Q

i=1

σQi

получим:

n

1

∑

Qi

ˆ

2

i

Q =

i=1 σQ

,

n

1

∑

2

i=1

σQ

i

154

Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

________________________________________________________________

или

ˆ	+ g2 Q2	+ ... + gn Qn .
Q = g1 Q1

Это так называемое среднее взвешенное, при вычислении которого отдельные значения результата многократного измерения суммируются с "весами", обратно пропорциональными их дисперсиям:

	1
gi =		σQ2			.
	n		i
	∑		1
			2
	i=1		σQ
				i

Тем самым более точным значениям результата измерения придается больший вес. Наличие нормирующего множителя в виде суммы в знаменателе последнего выражения обеспечивает выполнение условия нормировки:

n

∑gi =1.

i=1

Математическое ожидание среднего взвешенного

	ˆ	n	n	n		n
М(Q ) =М(∑giQi ) = ∑M(gi Qi ) = ∑gi M(Qi ) = Q ∑gi = Q .
		i=1	i=1	i=1		i=1

Таким образом, среднее взвешенное является не только эффективной, но и несме-

щенной оценкой среднего значения результата измерения.

Дисперсия среднего взвешенного

1

2

1

n

1

∑

n

n 2

2

2

2

1

2

n

n

σQi

2

n

σQi

i=1

σQi

σ

ˆ

= D

gi Qi

=

∑

D(gi Qi )=

∑

gi

D(Qi )=

∑

σQ

=

∑

=

=

.

n

2

2

n

Q

∑

1

i

n

n

1

i=1

i=1

i=1

i=1

∑i=1

i=1

1

1

∑i=1

∑

∑

σQ2

σQ2

2

2

i

i=1

σQi

i=1

σQi

i

Легко видеть, что при равноточных значениях отсчета отсюда вытекает формула

(31).

155

И.Ф. Шишкин. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ

________________________________________________________________

Пример 58. Измерения меры длины, являющейся рабочим эталоном, выполненные приборами разной точности, дали результаты, приведенные в табл. 29.

												Таблица 29
	Порядковый				Отклонение от номинального значения меры, мкм
	номер			Вертикальный				Машина		Машина		Миниметр с ценой деления
	измерения
				оптиметр				типа Цейсс		типа Сип		1 мкм
1			11,3				10,8			9,8	10,4
2			-				11,1			10,7	11,2
3			-				10,9			-	10,1
4			-				-			-	9,9

Известно, что результат измерения вертикальным оптиметром подчиняется нормальному закону распределения вероятности со стандартным отклонением 0,4 мкм; при измерении машиной типа Цейсс — соответственно, 0,8 мкм; машиной типа Сип — 0,7 мкм; миниметром с ценой деления 1 мкм — 0,5 мкм. Каково отклонение размера от номинального значения?

Решение. Заменив дисперсии в выражении для среднего взвешенного их оценками, получим:

1

l

+

1

l

2

+...

+

1

l

n

1

ˆ

l =

S 2l1

S 2l2

S 2ln

.

1

+

1

+... +

1

S 2l

S 2l

2

S 2l

n

1

	Подстановка известных значений S l														и измеренных отклонений li дает:
														i
			1	11,3 +	1	(10,8 +11,1			+10,9)+						1					(	9,8 +10, 7)								+		1	(10, 4	+11, 2	+10,1+9,9)
ˆ	l =	0,16			0, 64										0, 49																0, 25				=10,65 мкм.
										1		+			3			+					2		+	4
									0,16						0,64						0, 49					0, 25
	Стандартное отклонение						ˆ	l :			S		ˆ		=						1			=			1		= 0,18 мкм.
														l				n				1				31
																	∑
																						2
																	i=1					S l
																							i

Поскольку все li подчиняются нормальному закону распределения вероятности, постольку нормальному закону подчиняется и их среднее взвешенное. Поэтому отклонение меры длины от номинального значения

L = (10,3. . . 11) мкм с доверительной вероятностью 0,95.

156