Напряженное состояние пород в области горных выработок.

Основные уравнения теории упругости :

Выделяют три группы уравнений:

1. Статические уравнения, которые отражают условия равновесия (например, элементарного параллелепипеда dx,dy,dz в декартовой системе координат);

2. Геометрические уравнения, связывающие деформации элемента тела с перемещениями его точек U, V, W соответственно по координатам x, y,z;

3. Физические уравнения, учитывающие механические свойства горных пород (для упругих пород – это обобщенный закон Гука).

Для сплошных однородных и изотропных горных пород имеем:

1. Статические уравнения:

а) Приравнивая сумму проекций всех сил на оси x, y,z последовательно:

(2.15)

где X, Y, Z – составляющие интенсивности (т.е. отнесенной к единице объема) объемной внешней нагрузки (например, веса тела или силы инерции)

б) приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно осей x, y,z получим известный закон парности касательных напряжений:

(2.16)

2. Геометрические уравнения:

а) вытекающий из определения деформаций (уравнения Коши):

(2.17)

б) вытекающие из условия сплошности (неразрывности) среды – уравнения совместности деформаций:

(2.18)

3. Физические уравнения (обобщенный закон Гука для линейно-упругих изотропных тел):

(2.19)

где Е – модуль Юнга (модуль продольной упругости); G – модуль сдвига;  - коэффициент Пуассона.

Имеем два основных метода (способа) решения уравнений (2.15) – (2.19):

1. метод напряжений;

2. метод перемещений.

В методе напряжений за основные неизвестные функции принимают шесть функций напряжений (_X, _Y, _Z, _XY, _YZ, _ZX). Для постоянной объемной силы (X, Y, Z)=const из уравнений совместности с использованием уравнений Гука и уравнения равновесия получают для них следующую систему уравнений (уравнений Бельтрами):

(2.20)

где ,- оператор Лапласа.

Найдя из шести уравнений шесть неизвестных функций _X, _Y, _Z , _XY, _YZ, _ZX, затем из уравнений закона Гука находим деформации, а интегрирую уравнения Коши – перемещение (при соответствующих граничных условий).,

В методе перемещений за основные неизвестные принимаются три функции – перемещения U, V, W точек тела по координатам x, y, z соответственно, а в качестве разрешающих – три уравнения равновесия (2.15), которые с учетом закона Гука и геометрических уравнений дают три уравнения равновесия, выраженные через перемещения (уравнение Ламе):

(2.21)

где ,- параметр Ламе (2.22)G – модуль сдвига.

Граничные условия для уравнения (2.21) формулируют, например, приравнивая функции U, V, W на границе заданной перемещениям (если рассматриваемая деформация тела вызывается заданными принудительными перемещениями его поверхности.

Если же на поверхность тела действует заданная поверхностная нагрузка р, то предварительно в уравнениях заменить напряжения через перемещения U по известной разработанной схеме.

Обобщенный закон Гука – формулы (2.4) – (2.5) для плоской задачи (_Z=0, _Z=0):

1. в декартовых координатах (x, y) имеет вид:

где _X, _Y – нормальные напряжения по осям х и y соответственно; _XY – касательное напряжение в плоскости х,у; _X, _Y – относительные деформации по осям х и у соответственно; Е – модуль Юнга;  - коэффициент Пуассона; ;;.

В полярных координатах связь между перемещениями (по оси r – U) и (по оси  - V) и между соответствующими относительными деформациями _r, _, _r имеют вид:

Статические уравнения. Эти уравнения выражают равенство нулю сумм проекций всех сил, действующих на элемент (d₂, d₃) на радиальные направления r и на перпендикулярное ему тангенциальное направление dS():

где

R и T – компоненты *радиальная и тангенциальная) внешних объемных нагрузок.